Proiettile: angolo di atterraggio
Un proiettile è lanciato orizzontalmente con $v_0 = 50m/s$ da una torre alta $h = 100m$ rispetto al suolo. In assenza di attriti con quale inclinazione rispetto al suolo arriva il proiettile?
Ho provato a risolverlo e volevo sapere se il procedimento è corretto e come avreste fatto voi per risolverlo.
--
Le coordinate seguono le seguenti leggi:
$x=v_0t$
$y=y_0-1/2 g t^2$
da cui ho ricavato per mezzo della sostituzione con t:
$f(x)=y=y_0-1/2 g (x/v_0)^2$
La derivata di questa funzione è:
$f'(x)=-(g/v_0^2)x$
Con la derivata ho il coefficiente angolare della retta tangente in ogni punto generico x. Dunque calcolando la derivata nel punto x di contatto con il suolo, mi basta calcolare l'arcotangente della derivata per ottenere l'angolo $alpha$ di pendenza della retta tangente.
PUNTO DI CONTATTO CON IL SUOLO:
$100=0-1/2*9.8*x^2/2500$
da cui ricavo:
$x=226m$
DERIVATA IN x=226m:
$f'(226)=-9.8*226/2500=-0.88$
CALCOLO DELL'ANGOLO:
$\alpha=arctan(-0.88)=-41^\circ$ che poi in realtà sarebbero $41^\circ$ scegliendo l'orientazione corretta.
Ho provato a risolverlo e volevo sapere se il procedimento è corretto e come avreste fatto voi per risolverlo.
--
Le coordinate seguono le seguenti leggi:
$x=v_0t$
$y=y_0-1/2 g t^2$
da cui ho ricavato per mezzo della sostituzione con t:
$f(x)=y=y_0-1/2 g (x/v_0)^2$
La derivata di questa funzione è:
$f'(x)=-(g/v_0^2)x$
Con la derivata ho il coefficiente angolare della retta tangente in ogni punto generico x. Dunque calcolando la derivata nel punto x di contatto con il suolo, mi basta calcolare l'arcotangente della derivata per ottenere l'angolo $alpha$ di pendenza della retta tangente.
PUNTO DI CONTATTO CON IL SUOLO:
$100=0-1/2*9.8*x^2/2500$
da cui ricavo:
$x=226m$
DERIVATA IN x=226m:
$f'(226)=-9.8*226/2500=-0.88$
CALCOLO DELL'ANGOLO:
$\alpha=arctan(-0.88)=-41^\circ$ che poi in realtà sarebbero $41^\circ$ scegliendo l'orientazione corretta.
Risposte
L'impostazione va bene .Per trovare la $x$ di impatto ,continua con il calcolo letterale, solo alla fine metti i numeri.
Puoi porre $y=0$ nell'equazione della parabola , e ti ricavi $x^2$ , di cui fai la radice, scarti la radice negativa , e hai :
$x=v_0*sqrt(2*y_0/g) $. Sostituendo i numeri trovi : $x=225,76m$ , coma hai calcolato tu .
Nota che hai invertito , per distrazione , il valore di $y_0=100m$ con $y=0$ nel calcolo del "punto di contatto col suolo"
L'angolo di impatto , considerando l'angolo tra direzione positiva dell'asse e tangente alla parabola nel verso antiorario , è 138°,5 che poi è il supplementare di 41,5° (tangente trigonometrica <0)
Puoi porre $y=0$ nell'equazione della parabola , e ti ricavi $x^2$ , di cui fai la radice, scarti la radice negativa , e hai :
$x=v_0*sqrt(2*y_0/g) $. Sostituendo i numeri trovi : $x=225,76m$ , coma hai calcolato tu .
Nota che hai invertito , per distrazione , il valore di $y_0=100m$ con $y=0$ nel calcolo del "punto di contatto col suolo"
L'angolo di impatto , considerando l'angolo tra direzione positiva dell'asse e tangente alla parabola nel verso antiorario , è 138°,5 che poi è il supplementare di 41,5° (tangente trigonometrica <0)
Grazie mille!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo