Prodotto scalare
Salve,
Studiando il lavoro come prodotto scalare non riesco a convincermi di un passaggio.
Un vettore $A$ può essere scritto come somma vettoriale delle sue componenti vettoriali $Ax*i+Ay*j+Az*k$ dpve $i$,$j$ e $k$ sono i versori e $Ax$, $Ay$ e $Az$ sono i moduli delle componenti vettoriali. Fin qui capisco.
Il prodotto scalare tra $A$ e $B$ si può allora scrivere come: ($Ax*i+Ay*j+Az*k$) scalare ($Bx*i+By*j+Bz*k$) e fin qui ci sono. Quest'ultima scrittura si dovrebbe poi ridurre a $AxBx+AyBy+AzBz$, ecco, come si arriva a questa scrittura? Sembra che la somma delle componenti venga trattata come un polinomio e il prodotto scalare come prodotto tra polinomi. C'è qualche proprietà che viene applicata forse?
Grazie.
Studiando il lavoro come prodotto scalare non riesco a convincermi di un passaggio.
Un vettore $A$ può essere scritto come somma vettoriale delle sue componenti vettoriali $Ax*i+Ay*j+Az*k$ dpve $i$,$j$ e $k$ sono i versori e $Ax$, $Ay$ e $Az$ sono i moduli delle componenti vettoriali. Fin qui capisco.
Il prodotto scalare tra $A$ e $B$ si può allora scrivere come: ($Ax*i+Ay*j+Az*k$) scalare ($Bx*i+By*j+Bz*k$) e fin qui ci sono. Quest'ultima scrittura si dovrebbe poi ridurre a $AxBx+AyBy+AzBz$, ecco, come si arriva a questa scrittura? Sembra che la somma delle componenti venga trattata come un polinomio e il prodotto scalare come prodotto tra polinomi. C'è qualche proprietà che viene applicata forse?
Grazie.
Risposte
"AnalisiZero":
Salve,
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Il prodotto scalare tra $A$ e $B$ si può allora scrivere come: ($Ax*i+Ay*j+Az*k$) scalare ($Bx*i+By*j+Bz*k$) e fin qui ci sono. Quest'ultima scrittura si dovrebbe poi ridurre a $AxBx+AyBy+AzBz$, ecco, come si arriva a questa scrittura? Sembra che la somma delle componenti venga trattata come un polinomio e il prodotto scalare come prodotto tra polinomi. C'è qualche proprietà che viene applicata forse?
Grazie.
Scrivo meglio la formula : $(A_x*hati+A_y*hatj+A_z*hatk)$ * $(B_x*hati+B_y*hatj+B_z*hatk)$
dove $hati, hatj,hatk$ sono i versori degli assi cartesiani ortogonali . Hai studiato le basi del calcolo vettoriale? Dovresti sapere che :
$hati*hati = 1 $
$hati*hatj = 0 $
$hati*hatk = 0 $
e altre 6 analoghe , per i prodotti scalari degli altri versori.
il perchè di quanto sopra dovresti dirmelo tu .
Ora moltiplica ciascun termine della prima parentesi per ciascun termine della seconda , ma tieni presente che si tratta di "prodotto scalare" tra vettori , non prodotto ordinario . E dovresti ottenere il risultato finale :
$A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z$
Il punto è capire perché i termini dentro la parentesi vengono trattati come monomi di un polinomio, cioè come se il prodotto scalare venisse trattato come prodotto tra polinomi. Il prodotto scalare tra i versori l'ho capito, non capisco perché si possono trattare i vettori componenti come monomi. Forse mi sono spiegato male io.
Beh, in ciascuna delle due parentesi hai un vettore, scritto come somma vettoriale delle sue tre componenti cartesiane : per fare il prodotto scalare delle due parentesi , devi prendere ciascun termine della prima e moltiplicarlo scalarmente per ciascun termine della seconda , proprio come se si trattasse del prodotto di due polinomi . Ma sono polinomi un po' particolari , perché sono dei vettori .
Quando scrivi : $A_xhati * B_x hati $ , il risultato è $A_xB_x$ perché il prodotto scalare del versore $hati$ per sé stesso è $=1*1* cos0º = 1 $ ; quando scrivi : $A_xhati * B_y hatj $ ottieni $=0$ , perché $hati*hatj = 1*1*cos (\pi/2) = 0 $ .
E cosí via, perché i vettori si sommano ( vettorialmente) e si moltiplicano , scalarmente o vettorialmente, dipende.
Che ci trovi di strano ? È la "regola" , che è fatta cosí . LA regola è la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma ( si dice cosi ? Spero) , che vale pure per i vettori .
Quando fai il prodotto vettoriale , devi stare attento all'ordine con cui esprimi i prodotti , ma è una questione diversa.
Quando scrivi : $A_xhati * B_x hati $ , il risultato è $A_xB_x$ perché il prodotto scalare del versore $hati$ per sé stesso è $=1*1* cos0º = 1 $ ; quando scrivi : $A_xhati * B_y hatj $ ottieni $=0$ , perché $hati*hatj = 1*1*cos (\pi/2) = 0 $ .
E cosí via, perché i vettori si sommano ( vettorialmente) e si moltiplicano , scalarmente o vettorialmente, dipende.
Che ci trovi di strano ? È la "regola" , che è fatta cosí . LA regola è la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma ( si dice cosi ? Spero) , che vale pure per i vettori .
Quando fai il prodotto vettoriale , devi stare attento all'ordine con cui esprimi i prodotti , ma è una questione diversa.
Chiaramente, facendo rozzi calcoli vettoriali all'americana, non capisci cos'è un prodotto scalare e perché ha quelle proprietà...(nè tantomeno cos'è un vettore...)se farai un po' di geometria le cose saranno piú chiare.
Quindi in breve si spiega con la proprietà distributiva del prodotto scalare rispetto alla somma vettoriale. Grazie.
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