Prodotti tra vettori...

[Charlie Epps]

Come noto esistono due tipi di prodotti tra vettori quello scalare e quello vettoriale;
bene, da cosa è identificato il prodotto vettoriale oltre al modulo, ho sentito parlare del verso e della regola della mano destra, di cosa si tratta?

[cavallipurosangue]

Parlando forse in modo più "fisico" il prodotto scalare tra vettori è una operazione che trasforma due vettori in uno scalare, e diciamo che tale operazione moltiplica il modulo di un vettore per il modulo dell'altro proiettato sul primo. Matematicamente: $T=$$x\cdoty$$=|x||y|\cos\phi$ dove $phi$ è l'angolo compreso tra i due vettori. Quindi lo puoi vedere come la proiezione di un vettore lungo l'altro.
Il prodotto vettoriale, invece dà come risultato un nuovo vettore, il quale ha come direzione quella ortogonale al piano descritto dagli altri due, verso tale da formare una terna destrorsa (regola mano destra) ed intensità: $V=$$x\timesy$$=|x||y|\sin\phi$.

[wedge]

allora, dato uno spazio vettoriale V(K) un prodotto scalare è un operatore <,> che associa a due vettori dello spazio v ed u uno scalare k
con le proprietà di
1) simmetria =
2) additività = +
3) omogeneità = a con $a in K$

il prodotto scalare canonico dello spazio euclideo è quello che ti ha descritto cavalli

il prodotto vettoriale associa invece a due vettori un terzo vettore ad essi ortogonale
gode anch'esso delle proprietà 2 e 3, ma è antisimmetrico, ossia
$a x b = - (b x a)$

la regola della mano destra ti dice che se poni il pollice nella direzione del primo vettore a , l'indice in quella del secondo b, alzando il medio avrai la direzione di a x b. questo ti fa capire intuitivamente l'antisimmetria.

una regola veloce per il calcolo di a x b è

$ a x b = det ((i,j,k),(a1,a2,a3),(b1,b2,b3)) $ ove i,j,k sono i versori della base euclidea