Problemone di meccanica classica (diciamo urti)
Salve, vi espongo un problema da me ideato ma che praticamente non riesco a risolvere, essenzialmente perché non esiste un sistema di assi privilegiato che renda facile lo sviluppo dei calcoli, o almeno credo. L'idea parte dal classico problema dei due muri posti uno di fronte all'altro, a distanza $d$, e una pallina che parte con velocità $v_0$ da un estremo del muro e va verso l'altro, in presenza dell'accelerazione di gravità $g$. Si chiede quanto spazio percorra la pallina prima di toccare terra e quanti rimbalzi faccia. Nel caso del muro è semplice l'esercizio, perché la reazione del muro è sempre orizzontale, quindi il modulo della velocità orizzontale della pallina rimane invariato e di fatto il problema diventa quello della caduta di un grave. Beh, allora possiamo rendere più difficile il problema semplicemente dicendo che al posto dei due muri ci siano due semisfere, di raggio r e poste a distanza $d>2r$. La pallina viene lanciata verso un estremo, ma a causa della gravità scende un pochetto. Quanti rimbalzi farà? dopo quanti secondi toccherà terra? Buon lavoro, sono curioso di vedere in che modo lo risolvete 
Risposte
Prima di tutto faccio la precisazione che il numero di rimbalzi è dipendente dal punto e vettore velocità di partenza, quindi non credo sia possibile rispondere per un caso generale...stessa cosa per il tempo.
A me è venuto in mente questo metodo che espongo per il caso di una pallina puntiforme in un cerchio...poi l'estensione alla sfera è più complicata numericamente ma non concettualmente.
Definisci i 2 semicerchi matematicamente come:
$y=sqrt(R^2-x^2)$
$y=-sqrt(R^2-x^2)$
Poi, dato un punto iniziale $P_0$ e velocità $v_0$ (opportunamente scomposta in $x$ ed $y$) scrivi le equazioni del moto parabolico e le metti a sistema con l'equazione di uno dei 2 semicerchi. Risolvi il sistema (se ha soluzione). Crei il secondo sistema con l'altro semicerchio e lo risolvi. Questo vuol dire che troverai la posizione in cui la pallina incontra uno dei 2 semicerchi, e se entrambi i sistemi hanno soluzione, basterà prendere quello con $t$ minore, cioè il sistema che caratterizza il primo impatto della pallina.
Ora hai posizione, e velocità del primo impatto. Fai la derivata del semicerchio interessato in quel punto e trovi la tangente al cerchio...quindi poi puoi trovare la perpendicolare al cerchio. Ora che hai il vettore velocità ed il vettore normale, crei un vettore velocità nuovo simmetrico rispetto all'asse del vettore normale.
Trovato questo significa che hai la velocità dopo il rimbalzo, ed avendo anche la posizione sai i nuovi $P_0$ e $v_0$ a cui applicare iterativamente il metodo.
Ovvio che una cosa del genere è comodo risolverla con un codice di programma, ed in quello richiede attenzione nel definire bene gli estremi del campo in cui si trova la pallina. Nel senso che devi definire i 2 semicerchi in maniera non ridondante per non rischiare che il programma sbagli nel scegliere la soluzione giusta tra i vari sistemi che risolve.
L'estensione alla sfera comporta soltando la difficoltà di esprimere le equazioni del moto parabolico in 3D, e l'attenzione suddetta nella definizione della sfera. Per questo motivo si necessiterebbe di 8 spicchi di sfera e quindi 8 sistemi da risolvere per ogni tratto tra due impatti.
Quindi mi sa che è mooooolto meglio fare un po' più di fatica iniziale con la carta e poi poter implementare il tutto in sistema di riferimento cilindrico per il 2D e sferico per il 3D...questo implica la risoluzione di un solo sistema per ogni punto d'impatto.
Se le 2 semisfere dovessero essere staccate tra loro (coi poli a distanza maggiore di $2R$, o equivalentemente i centri a distanza maggiore di zero) basterebbe adattare il sistema di riferimento locale ai calcoli. Cioè creare 2 sistemi (cilindrici o sferici) centrati nei due centri, e porre i sistemi di eqauzioni ogni volta rispetto al sistema del semicerchio al quale ci si riferisce...
A me è venuto in mente questo metodo che espongo per il caso di una pallina puntiforme in un cerchio...poi l'estensione alla sfera è più complicata numericamente ma non concettualmente.
Definisci i 2 semicerchi matematicamente come:
$y=sqrt(R^2-x^2)$
$y=-sqrt(R^2-x^2)$
Poi, dato un punto iniziale $P_0$ e velocità $v_0$ (opportunamente scomposta in $x$ ed $y$) scrivi le equazioni del moto parabolico e le metti a sistema con l'equazione di uno dei 2 semicerchi. Risolvi il sistema (se ha soluzione). Crei il secondo sistema con l'altro semicerchio e lo risolvi. Questo vuol dire che troverai la posizione in cui la pallina incontra uno dei 2 semicerchi, e se entrambi i sistemi hanno soluzione, basterà prendere quello con $t$ minore, cioè il sistema che caratterizza il primo impatto della pallina.
Ora hai posizione, e velocità del primo impatto. Fai la derivata del semicerchio interessato in quel punto e trovi la tangente al cerchio...quindi poi puoi trovare la perpendicolare al cerchio. Ora che hai il vettore velocità ed il vettore normale, crei un vettore velocità nuovo simmetrico rispetto all'asse del vettore normale.
Trovato questo significa che hai la velocità dopo il rimbalzo, ed avendo anche la posizione sai i nuovi $P_0$ e $v_0$ a cui applicare iterativamente il metodo.
Ovvio che una cosa del genere è comodo risolverla con un codice di programma, ed in quello richiede attenzione nel definire bene gli estremi del campo in cui si trova la pallina. Nel senso che devi definire i 2 semicerchi in maniera non ridondante per non rischiare che il programma sbagli nel scegliere la soluzione giusta tra i vari sistemi che risolve.
L'estensione alla sfera comporta soltando la difficoltà di esprimere le equazioni del moto parabolico in 3D, e l'attenzione suddetta nella definizione della sfera. Per questo motivo si necessiterebbe di 8 spicchi di sfera e quindi 8 sistemi da risolvere per ogni tratto tra due impatti.
Quindi mi sa che è mooooolto meglio fare un po' più di fatica iniziale con la carta e poi poter implementare il tutto in sistema di riferimento cilindrico per il 2D e sferico per il 3D...questo implica la risoluzione di un solo sistema per ogni punto d'impatto.
Se le 2 semisfere dovessero essere staccate tra loro (coi poli a distanza maggiore di $2R$, o equivalentemente i centri a distanza maggiore di zero) basterebbe adattare il sistema di riferimento locale ai calcoli. Cioè creare 2 sistemi (cilindrici o sferici) centrati nei due centri, e porre i sistemi di eqauzioni ogni volta rispetto al sistema del semicerchio al quale ci si riferisce...
innanzitutto mi pare che i due cerchi abbiano lo stesso centro, e non è il caso descritto nel problema. Poi io cercavo un metodo non iterativo, ma una formula un pochino più generale, dato un punto di partenza e una velocità di partenza determinare il tempo di caduta e il numero di rimbalzi, altrimenti questo problema è facile farlo, come hai detto tu, utilizzando un programma.
Nella maniera piu' semplice devi procedere considerando la forza di gravita g che e' la forza gravitazionale terrestre.Nel caso dei semicerchi la situazione si complica perche' non hai piu' a che fare con due muri ma con una velocita iniziale tangente ad una curva.Per la velocita' iniziale tangente ad un semicerchio devi definirla come forza vettoriale e farti un grafico che possa semplificare quanto possa essere la forza tangente al semicerchio e quindi stabilire la velocita' iniziale e finale del corpo in movimento.Per altri procedimenti ci possono essere tantissimi procedimenti per determinare tutto di questa pallina in movimento ma dato che io le derivate non le conosco posso solo dirti che in maniera semplice devi riguardare la forza di gravita' di quella pallina di peso x per poi procedere per determinare tutto il resto.
[mod="Steven"]Tale messaggio è fortemente inattendibile dal punto di vista fisico.[/mod]
[mod="Steven"]Tale messaggio è fortemente inattendibile dal punto di vista fisico.[/mod]
"Zkeggia":
innanzitutto mi pare che i due cerchi abbiano lo stesso centro, e non è il caso descritto nel problema.
Si, avevo semplificato per non generalizzare molto la procedura, ma le ultime frasi comprendono anche quel problema:
"pizzaf40":
Se le 2 semisfere dovessero essere staccate tra loro (coi poli a distanza maggiore di 2R, o equivalentemente i centri a distanza maggiore di zero) basterebbe adattare il sistema di riferimento locale ai calcoli. Cioè creare 2 sistemi (cilindrici o sferici) centrati nei due centri, e porre i sistemi di eqauzioni ogni volta rispetto al sistema del semicerchio al quale ci si riferisce...
"Zkeggia":
Poi io cercavo un metodo non iterativo, ma una formula un pochino più generale, dato un punto di partenza e una velocità di partenza determinare il tempo di caduta e il numero di rimbalzi, altrimenti questo problema è facile farlo, come hai detto tu, utilizzando un programma.
Per il caso di muri paralleli puoi definire un tempo di caduta come il tempo necessario a toccare terra, cioè la quota più bassa...ma non è da dimenticare che siamo in condizioni di elasticità perfetta, quindi la palla se ne torna su e non si ferma mai.
Per il caso della sfera o cerchio, la zona più bassa (in base a ciò che era stato definito prima come "toccar terra") è un singolo punto...ed una palla che rimbalza ha una probabilità credo quasi nulla di toccare esattamente quel punto perchè in condizioni di perfetta elasticità non succede come nella realtà che ad un certo punto comincia a rotolare sui bordi e pian piano oscillando si ferma...come fai a definire quindi il "toccar terra"? Così ad occhio direi che il moto si estende per un tempo infinito (anche se non ne sono sicuro a causa della deviazione del vettore velocità sui bordi in condizioni di moto orizzontale e verticale non indipendente come succede negli urti elastici all'interno di una sfera).
Può rimanere solo il caso del primo tocco, e non sarebbe difficile risolverlo, ma questo non era strettamente espresso nel problema, quindi ho preferito stare nella generalità...e facendo due esempi a mente ti puoi rendere conto che il caso generale non è risolvibile con una formula, perchè è fatto di passi discreti che potrebbero anche essere anche infiniti per quanto ne ho capito io...poi ovvio che se si definisce meglio "toccar terra" per il caso sferico probabilmente (per quanto complicata) una formula risolutiva c'è...ma esplicitarla penso sia da matti
detta $h$ l'altezza della pallina da terra, cerco il primo istante $t$ tale che $h(t)=0$. Questa mi pare un'ottima formalizzazione del concetto di toccare terra 
.
Certo che il moto è infinito, come d'altronde quello della palla che rimbalza tra i due muri, ma a me interessa sapere quanti rimbalzi fa prima di toccare terra la prima volta. In ogni caso perché dici che non è difficile risolverlo?
.Certo che il moto è infinito, come d'altronde quello della palla che rimbalza tra i due muri, ma a me interessa sapere quanti rimbalzi fa prima di toccare terra la prima volta. In ogni caso perché dici che non è difficile risolverlo?
E' semplice nel caso del primo tocco su una qualunque superficie.
L'$h=0$ non mi sembra una formalizzazione adatta al problema...o meglio...potresti non trovare mai soluzione perchè $h=0$ identifica un singolo punto privo di volume (il polo sud del cerchio o sfera)...penso sia enormemente difficile che la pallina che gode di moto infinito vada a cascare proprio esattamente lì, in quel punto. La formalizzazione non mi sembra adatta perchè in una generalita di velocità iniziali e punti di partenza potrebbe rimbalzare migliaia di volte prima di solo lontanamente avvicinarsi a quel punto...quindi caso mai è più adatta una formalizzazione che comprenda un'area finita in cui la pallina deve andare a finire, perchè le formule esplicite di risoluzione si complicano esponenzialmente ad ogni contatto...mmm, no, forse linearmente perchè basta aggiungere il passo precedente...
L'$h=0$ non mi sembra una formalizzazione adatta al problema...o meglio...potresti non trovare mai soluzione perchè $h=0$ identifica un singolo punto privo di volume (il polo sud del cerchio o sfera)...penso sia enormemente difficile che la pallina che gode di moto infinito vada a cascare proprio esattamente lì, in quel punto. La formalizzazione non mi sembra adatta perchè in una generalita di velocità iniziali e punti di partenza potrebbe rimbalzare migliaia di volte prima di solo lontanamente avvicinarsi a quel punto...quindi caso mai è più adatta una formalizzazione che comprenda un'area finita in cui la pallina deve andare a finire, perchè le formule esplicite di risoluzione si complicano esponenzialmente ad ogni contatto...mmm, no, forse linearmente perchè basta aggiungere il passo precedente...
$h=0$ non è un punto, è una retta, la retta orizzontale che passa per i centri delle semisfere, la pallina ovviamente è supposta puntiforme, quindi credo che la formalizzazione sia adatta. Insomma mi spieghi perché è semplice il caso del primo tocco?
Ahhhh, pensavo che chiamassi altezza nulla la quota più bassa 
Secondo me è semplice perchè un normale sistema...lo faccio per il cerchio anzichè per la sfera, per semplicità di scrittura, ma l'estensione alla sfera è identica.
Ipotizzi un punto di partenza $P_0$ interno ed un vettore velocità iniziale $v_0$:
$P_0=(x_0,y_0)$
$v_0=(v_(x_0),v_(y_0))$
$theta_0=arctg((v_(x_0))/(v_(y_0)))$
il moto parabolico è composto da 2 componenti...orizzontale con $v_x$ costante e verticale accelerato:
$x=x_0+v_(x_0)*t$
$y=y_0+v_(y_0)*t+1/2 g t^2$
e bisogna trovare l'istante ed luogo in cui tocca il bordo da qualche parte..sempre per la solita semplicità considero i 2 semicerchi con centro coincidente (perchè in caso contrario non può che venire un doppio sistema, ed inoltre non si sa cosa possa succedere se la pallina va a finire negli spazi tra i semicerchi (a meno che non siano chiusi, ma non lo so). Comunque:
$R^2=x^2+y^2$
$R^2=(x_0+v_(x_0)*t_1)^2+(y_0+v_(y_0)*t_1+1/2 g t_1^2)^2$
in cui l'unica incognita è $t_1$, e ricavata quella la sostituisci nell equazioni di $(x_1,y_1)$ e si ricava il punto, e volendo la velocità con:
$v_1=sqrt(v_(x_1)^2+v_(y_1)^2)$
Per l'angolo di impatto basta fare:
$theta_1=arctg(v_(x_1)/v_(y_1))$
ed hai i nuovi punti di partenza per fare:
$x=x_1+v_(x_1)*t$
$y=y_1+v_(y_1)*t+1/2 g t^2$
Non credo ci sia la convenienza di usare sistemi di riferimento differenti, perchè in cartesiano si ha il moto parabolico scomponibile...credo si complichi in radiali o altro...
Secondo me è semplice perchè un normale sistema...lo faccio per il cerchio anzichè per la sfera, per semplicità di scrittura, ma l'estensione alla sfera è identica.
Ipotizzi un punto di partenza $P_0$ interno ed un vettore velocità iniziale $v_0$:
$P_0=(x_0,y_0)$
$v_0=(v_(x_0),v_(y_0))$
$theta_0=arctg((v_(x_0))/(v_(y_0)))$
il moto parabolico è composto da 2 componenti...orizzontale con $v_x$ costante e verticale accelerato:
$x=x_0+v_(x_0)*t$
$y=y_0+v_(y_0)*t+1/2 g t^2$
e bisogna trovare l'istante ed luogo in cui tocca il bordo da qualche parte..sempre per la solita semplicità considero i 2 semicerchi con centro coincidente (perchè in caso contrario non può che venire un doppio sistema, ed inoltre non si sa cosa possa succedere se la pallina va a finire negli spazi tra i semicerchi (a meno che non siano chiusi, ma non lo so). Comunque:
$R^2=x^2+y^2$
$R^2=(x_0+v_(x_0)*t_1)^2+(y_0+v_(y_0)*t_1+1/2 g t_1^2)^2$
in cui l'unica incognita è $t_1$, e ricavata quella la sostituisci nell equazioni di $(x_1,y_1)$ e si ricava il punto, e volendo la velocità con:
$v_1=sqrt(v_(x_1)^2+v_(y_1)^2)$
Per l'angolo di impatto basta fare:
$theta_1=arctg(v_(x_1)/v_(y_1))$
ed hai i nuovi punti di partenza per fare:
$x=x_1+v_(x_1)*t$
$y=y_1+v_(y_1)*t+1/2 g t^2$
Non credo ci sia la convenienza di usare sistemi di riferimento differenti, perchè in cartesiano si ha il moto parabolico scomponibile...credo si complichi in radiali o altro...
cosa significa 2 semicerchi con centro coincidente? non è il problema che ho postato, il mio problema era una pallina lanciata orizzontalmente tra due semicerchi i cui cerchi sono posti a distanza $d>>2R$, inoltre il tuo è un metodo iterativo, a me interesserebbe una soluzione di carattere più generale. Altrimenti sì sono d'accordo che la soluzione è facile, basta fare passo passo, ma per esempio mi piacerebbe ricavare qualche relazione matematica tra i vari urti, secondo me c'è, è che non riesco a trovarla.
Non avevo capito che volessi il lancio orizzontale della pallina...non c'era nel testo iniziale...e la mia soluzione è per una direzione di velocità iniziale generica, quindi basta che metti $v_(y_0)=0$ ed hai quello che cerchi.
Per le distanze tra i centri, è lo stesso criterio perchè siamo in coordinate assolute, quindi basta utilizzare l'equazione del semicerchio spostato di centro...avevo detto che facevo il caso più semplice perchè la generalizzazione non crea particolare complicazioni.
Comunque rinuncio perchè hai detto che $h=0$ è la retta che passa per i centri delle semisfere, e se lancio la pallina orizzontale io intuitivamente penso di lanciarla dall'altezza in cui c'è il diametro maggiore (inassenza di altra specificazioni, infatti non ci ci sono state)...quindi sarebbe in partenza ad $h=0$.
Quindi, visto che:
- non c'era scritto che il metodo doveva essere iterativo, e me le sono sentite;
- non c'era scritta la direzione della pallina in partenza, e me le sono sentite (comunque in quello la mia soluzione è generale e l'orizzontale è un caso particolare);
- non cera specificata la definizione di "toccar terra", e me le sono sentite;
- non è specificata l'altezza del punto di lancio, e me le sono sentite (la mia soluzione comunque è generale);
in definitiva ti lascio col tuo dubbio ed il tuo problema in via di specificazione esplicita, dicendoti che la soluzione precedente che ti ho scritto non è iterativ nel senso stretto del termine perchè ottiene al primo colpo la soluzione esatta...il fatto che la formula finale (perchè ne esce una formula finale) siacomposta di più sottoformule è dovuto al fatto che il moto ha direzione discontinua, e non puoi pretendere che venga come risultato una soluzione a derivata continua a causa della presenza di un vincolo di parete che si esplicita come una disuguaglianza, cioè il moto è parabolico per $x^2+y^2
E mentre scrivevo, mi sono accorto di cosa intendi!!! Intendi due quarti di cerchio con terreno all'altezza dei diametri...rileggi il tuo testo, e vedrai che non è specificato nulla del genere! Parli di due semicerchi...che uniti fanno un cerchio...quindi il terreno per me era un punto.
Comunque in questo caso la soluzione è la stessa che ti ho detto, cioè una composizione dei tratti parabolici.
Il mio contributo non va oltre...altri modi per risolverlo non li conosco, e mi hanno insegnato che tutte le conclusioni generalizzate che si vogliono avere sono sempre un rigiro di queste, perchè le equazioni del moto comandano il comportamento del moto (o bilanci energetici se vuoi, ma in questo caso non penso che sia comodo)...spero comunque tu possa trovare quello che cerchi!
Per le distanze tra i centri, è lo stesso criterio perchè siamo in coordinate assolute, quindi basta utilizzare l'equazione del semicerchio spostato di centro...avevo detto che facevo il caso più semplice perchè la generalizzazione non crea particolare complicazioni.
Comunque rinuncio perchè hai detto che $h=0$ è la retta che passa per i centri delle semisfere, e se lancio la pallina orizzontale io intuitivamente penso di lanciarla dall'altezza in cui c'è il diametro maggiore (inassenza di altra specificazioni, infatti non ci ci sono state)...quindi sarebbe in partenza ad $h=0$.
Quindi, visto che:
- non c'era scritto che il metodo doveva essere iterativo, e me le sono sentite;
- non c'era scritta la direzione della pallina in partenza, e me le sono sentite (comunque in quello la mia soluzione è generale e l'orizzontale è un caso particolare);
- non cera specificata la definizione di "toccar terra", e me le sono sentite;
- non è specificata l'altezza del punto di lancio, e me le sono sentite (la mia soluzione comunque è generale);
in definitiva ti lascio col tuo dubbio ed il tuo problema in via di specificazione esplicita, dicendoti che la soluzione precedente che ti ho scritto non è iterativ nel senso stretto del termine perchè ottiene al primo colpo la soluzione esatta...il fatto che la formula finale (perchè ne esce una formula finale) siacomposta di più sottoformule è dovuto al fatto che il moto ha direzione discontinua, e non puoi pretendere che venga come risultato una soluzione a derivata continua a causa della presenza di un vincolo di parete che si esplicita come una disuguaglianza, cioè il moto è parabolico per $x^2+y^2
E mentre scrivevo, mi sono accorto di cosa intendi!!! Intendi due quarti di cerchio con terreno all'altezza dei diametri...rileggi il tuo testo, e vedrai che non è specificato nulla del genere! Parli di due semicerchi...che uniti fanno un cerchio...quindi il terreno per me era un punto.
Comunque in questo caso la soluzione è la stessa che ti ho detto, cioè una composizione dei tratti parabolici.
Il mio contributo non va oltre...altri modi per risolverlo non li conosco, e mi hanno insegnato che tutte le conclusioni generalizzate che si vogliono avere sono sempre un rigiro di queste, perchè le equazioni del moto comandano il comportamento del moto (o bilanci energetici se vuoi, ma in questo caso non penso che sia comodo)...spero comunque tu possa trovare quello che cerchi!
ma io non cerco funzioni derivabili, cerco più che altro una serie che mi metta in relazione ogni urto con il precedente, intendevo questo quando parlavo di "Carattere generale". In ogni caso non mi torna più di tanto la tua soluzione, credo che non ci siamo capiti sulle condizioni iniziali del problema. Ho una situazione del tipo: due semicerchi, (facciamo semicerchi) "capovolti" appoggiati a terra. O se preferisci prendi il diametro del semicerchio e farlo coincidere con un tratto di linea di terra. L'altro semicerchio è di fronte al primo, nella stessa posizione. La pallina è lanciata con velocità orizzontale iniziale dal punto più alto del primo semirchio verso il punto più alto del secondo semicerchio. Puoi immaginare la scena come una pallina lanciata tra i gusci di due tartarughe . Per quanto riguarda il toccar terra credo tu abbia capito. La tua soluzione è un algoritmo di risoluzione, nel senso che scompone il problema in sottoproblemi, che poi è fin dove sono arrivato io a risolvere. La mia richiesta era se ci fosse una successione o una serie che mi dice per esempio l'altezza della pallina in relazione al numero di lanci. Hai presente il famoso esercizio del piccione che viaggia avanti e indietro tra i due treni che si avvicinano e si chiede quanto percorso faccia prima che i treni si scontrino? che si risolve con una serie? la mia idea era di trovare una soluzione elegante e non difficile da calcolare tipo questa. Mi spiace se non ci siamo capiti. Perché sì è chiaro che se parto e cerco il punto in cui tocchi, poi scompongo il moto e ricomincio arrivo di sicuro a una conclusione, ma non ho trovato nessuna relazione matematica, eppure so che data una velocità iniziale l'istante in cui la pallina cade a terra è determinato, volevo trovare la relazione che unisce velocità iniziale a istante finale, oppure che unisce velocità iniziale a numero di rimbalzi. Ci sta che non sia determinabile tramite funzioni elementari, ma questo non posso saperlo.
. Per quanto riguarda il toccar terra credo tu abbia capito. La tua soluzione è un algoritmo di risoluzione, nel senso che scompone il problema in sottoproblemi, che poi è fin dove sono arrivato io a risolvere. La mia richiesta era se ci fosse una successione o una serie che mi dice per esempio l'altezza della pallina in relazione al numero di lanci. Hai presente il famoso esercizio del piccione che viaggia avanti e indietro tra i due treni che si avvicinano e si chiede quanto percorso faccia prima che i treni si scontrino? che si risolve con una serie? la mia idea era di trovare una soluzione elegante e non difficile da calcolare tipo questa. Mi spiace se non ci siamo capiti. Perché sì è chiaro che se parto e cerco il punto in cui tocchi, poi scompongo il moto e ricomincio arrivo di sicuro a una conclusione, ma non ho trovato nessuna relazione matematica, eppure so che data una velocità iniziale l'istante in cui la pallina cade a terra è determinato, volevo trovare la relazione che unisce velocità iniziale a istante finale, oppure che unisce velocità iniziale a numero di rimbalzi. Ci sta che non sia determinabile tramite funzioni elementari, ma questo non posso saperlo.
Ah ok! Ora ho capito tutto!
mmm...però non conosco il caso del piccione
L'ho trovato in vecchio topic del 2005 di questo forum. Una risoluzione del genere a livello vettoriale non saprei come affrontarla...anche perchè in quel topic mi è parso di capire che in realtà trovassero una soluzione in serie, ma basandosi comunque sui risultati dei tocchi con le equazione del moto per poi trovare la serie. Il problema come l'avrei risolto io si esplicita in una equazione composta da somme, ma bisogna trovare la relazione tra queste somme ed il problema è complicato dal rimbalzo non monodirezionale...però penso si possa affrontare anche così...tu che dici? Come lìhai impostato tu?
C'è però da non sottovalutare il caso in cui la velocità di partenza sia abbastanza alta da far rimbalzare la palla direttamente fuori dall "imbuto"...quindi varrebbe per valori di velocità inferiori di un certo tot...
mmm...però non conosco il caso del piccione
L'ho trovato in vecchio topic del 2005 di questo forum. Una risoluzione del genere a livello vettoriale non saprei come affrontarla...anche perchè in quel topic mi è parso di capire che in realtà trovassero una soluzione in serie, ma basandosi comunque sui risultati dei tocchi con le equazione del moto per poi trovare la serie. Il problema come l'avrei risolto io si esplicita in una equazione composta da somme, ma bisogna trovare la relazione tra queste somme ed il problema è complicato dal rimbalzo non monodirezionale...però penso si possa affrontare anche così...tu che dici? Come lìhai impostato tu?
C'è però da non sottovalutare il caso in cui la velocità di partenza sia abbastanza alta da far rimbalzare la palla direttamente fuori dall "imbuto"...quindi varrebbe per valori di velocità inferiori di un certo tot...
Concettualmente il mio procedimento è stato identico al tuo, ho scritto i primi 3-4 rimbalzi con il metodo che hai usato tu, poi ho cercato le relazioni tra l'angolo che la velocità fa al primo tocco e quello che la velocità fa al secondo e al terzo... ma ovviamente ho fallito... comunque non mi ero concentrato su trovare la velocità massima di partenza, perché così ad occhio mi pare che ogni velocità vada bene, però dovrei mettermi con carta e penna e verificare... il fatto è che come dici tu il trovare le maledette relazioni tra le somme è veramente difficile... un esercizio per matematici pazzi, anche perché fisicamente la soluzione è semplice ed efficace, solo può essere parecchio lunga da ricavare (basta pensare a due semicerchi di raggio grandi posti "Quasi" a contatto, la pallina farà migliaia di rimbalzi prima di toccare il suolo... mi sa che questo problema rimarrà irrisolto...
Non ti buttare giù...infondo esistono i computer proprio per far fare la fatica da altri
Abbaso le serie...viva il Fortran...hihihi!
Abbaso le serie...viva il Fortran...hihihi!
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