Problemino ore 10 e 10
Salve a tutti, questo è il mio primo topic in questo forum, mi sono appena presentato nella sezione apposita e chiedo scusa se ho infranto/sto infrangendo le regole del forum in qualche modo.
Premetto che quello che mi spinge a scrivere è la pura passione e voglia di imparare, quindi non aspettatevi che vi ponga la soluzione del problemino, giusta o sbagliata che sia, anche perchè non sono uno studente e tantomeno ho frequentato l'università.
Dunque, oggi, verso le 10 e 10, guardavo l'orologio, e mi sono posto la domanda: come posso calcolare in modo matematico e preciso il momento in cui, le due lancette (ore e minuti) distano ugual misura dalle ore 12 dopo le ore 10? (mi scusino gli "addetti ai lavori" per il linguaggio "fine"!).
In pratica, nel momento in cui la lancetta dei minuti è a ore 2, quella delle ore si è spostata di 10/12 di minuto, ovvero 1/6 di ora. Dunque, dovremmo spostare anche quella dei minuti indietro di 10/12 di minuto, ma così facendo la lancetta delle ore avrà percorso il suo bel tratto (seppur minimo ma comunque reale) e così via all'infinito direi...Bene, il mio approccio è dunque sbagliato, perchè così facendo è un susseguirsi di spostamenti di lancette che tenderanno a zero, ma che sono comunque presenti.
Vi ringrazio in anticipo!
Premetto che quello che mi spinge a scrivere è la pura passione e voglia di imparare, quindi non aspettatevi che vi ponga la soluzione del problemino, giusta o sbagliata che sia, anche perchè non sono uno studente e tantomeno ho frequentato l'università.
Dunque, oggi, verso le 10 e 10, guardavo l'orologio, e mi sono posto la domanda: come posso calcolare in modo matematico e preciso il momento in cui, le due lancette (ore e minuti) distano ugual misura dalle ore 12 dopo le ore 10? (mi scusino gli "addetti ai lavori" per il linguaggio "fine"!).
In pratica, nel momento in cui la lancetta dei minuti è a ore 2, quella delle ore si è spostata di 10/12 di minuto, ovvero 1/6 di ora. Dunque, dovremmo spostare anche quella dei minuti indietro di 10/12 di minuto, ma così facendo la lancetta delle ore avrà percorso il suo bel tratto (seppur minimo ma comunque reale) e così via all'infinito direi...Bene, il mio approccio è dunque sbagliato, perchè così facendo è un susseguirsi di spostamenti di lancette che tenderanno a zero, ma che sono comunque presenti.
Vi ringrazio in anticipo!
Risposte
Con questa domanda ti poni nel solco di una antica e nobile tradizione di filosofi.
Zenone di Elea, filosofo greco del quinto secolo A.C., col suo famoso paradosso di Achille e la Tartaruga immaginò una gara di corsa nella quale il velocissimo Achille dava alla tarataruga un po' di vantaggio iniziale. Dopodiché i due partivano. Ogni volta che Achille riusciva a ragiungere il punto dove poco prima si trovava la tartaruga, questa aveva però percorso un altro piccolo tratto, cosicché di fatto Achille non la superava mai.
Però è un paradosso perché i greci sapevano bene che in realtà chi corre più forte raggiunge e supera chi corre più piano (d'altra parte era esperienza comune alle Olimpiadi, no?). Il paradosso nasceva dal fatto di non saper razionalmente spiegare il meccanismo del sorpasso.
Come si risolve?
Sapendo che lo spazio percorso è uguale allo spazio iniziale + il prodotto della velocità per il tempo, si scrivono le formule dello spazio percorso per entrambi i contendenti (lo spazio iniziale è il vantaggio iniziale che uno dei due ha sull'altro), si impone che lo spazio percorso sia lo stesso (coincidenza spaziale del punto di sorpasso), e si ricava il tempo comune in cui ciò avviene. Si scopre che questo tempo è quello che ci vorrebbe affinché lo spazio iniziale venisse percorso a una velocità pari alla differenza delle velocità dei due contendenti. Ponendo questo tempo nell'equazione di uno dei due contendenti si trova lo spazio percorso da quello, che per quanto detto prima coincide con lo spazio percorso dall'altro contendente. Applica questo concetto alle lancette dell'orologio e troverai la soluzione.
Zenone di Elea, filosofo greco del quinto secolo A.C., col suo famoso paradosso di Achille e la Tartaruga immaginò una gara di corsa nella quale il velocissimo Achille dava alla tarataruga un po' di vantaggio iniziale. Dopodiché i due partivano. Ogni volta che Achille riusciva a ragiungere il punto dove poco prima si trovava la tartaruga, questa aveva però percorso un altro piccolo tratto, cosicché di fatto Achille non la superava mai.
Però è un paradosso perché i greci sapevano bene che in realtà chi corre più forte raggiunge e supera chi corre più piano (d'altra parte era esperienza comune alle Olimpiadi, no?). Il paradosso nasceva dal fatto di non saper razionalmente spiegare il meccanismo del sorpasso.
Come si risolve?
Sapendo che lo spazio percorso è uguale allo spazio iniziale + il prodotto della velocità per il tempo, si scrivono le formule dello spazio percorso per entrambi i contendenti (lo spazio iniziale è il vantaggio iniziale che uno dei due ha sull'altro), si impone che lo spazio percorso sia lo stesso (coincidenza spaziale del punto di sorpasso), e si ricava il tempo comune in cui ciò avviene. Si scopre che questo tempo è quello che ci vorrebbe affinché lo spazio iniziale venisse percorso a una velocità pari alla differenza delle velocità dei due contendenti. Ponendo questo tempo nell'equazione di uno dei due contendenti si trova lo spazio percorso da quello, che per quanto detto prima coincide con lo spazio percorso dall'altro contendente. Applica questo concetto alle lancette dell'orologio e troverai la soluzione.
Verissimo quanto detto da Falco che stimo per aver citato il mitico Zenone. Ti propongo anche un'altra visione della cosa.
Secondo me siccome il tempo è un numero continuo ma l'orologio lo rappresenta in modo discreto, cioè a scatti, la prima cosa su cui devi ragionare è il modello di orologio che vuoi descrivere. Mi spiego meglio. Se prendiamo il secondo come unità fondamentale del nostro orologio allora una possibilità per il modello è che ogni 60 secondi, cioè ogni minuto, la lancetta dei minuti compia uno scatto di 6°. La cosa da capire è come vogliamo modellizzare la lancetta delle ore. Secondo me l'unico modo affinchè alle 10:10 le due lancette siano equidistanti è che la lancetta delle ore compia uno scatto di 30° ogni 3600 secondi, cioè ogni ora. Così facendo infatti dopo 10 ore e 10 minuti quella dei minuti sarebbe a 60°, 6°/min * 10min, e quella delle ore a 300°, 30°/h*10h e quindi avresti la simmetria che cerchi.
Se invece ad esempio facessimo muovere la lancetta delle ore in una maniera più continua, ad esempio facendole compiere uno scatto di mezzo grado ogni 60 secondi (coerentemente col fatto che dopo 60*60 secondi si è mossa di 30°), perdiamo il fatto che le due lancette coincidano alle 10:10. Questo perchè quella dei minuti sarebbe a 60°, dati da 6°/min * 10min, ma quella delle ore sarebbe a 305°, 0,5°/min*(10h*60min/h + 10min), e quindi non sarebbero più simmetriche.
In questo schema che ti sto delineando il suggerimento di Falco lo potremmo chiamare orologio "continuo" cioè che per ogni intervallo $\Delta t$ di tempo la lancetta delle ore si muove di $\Delta \theta_h = \omega_h \Delta t$ e quella dei secondi di $\Delta \theta_m = \omega_m \Delta t$, dove le $\omega$ sono le velocità angolari delle due lancette. Così impostare il problema della simmetria diventa semplice, e ti invito a provarci, però il risultato sarebbe qualcosa di altamente ideale in quanto il risultato facilmente uscirebbe come numero decimale periodico e quindi non esprimibile come un numero intero di secondi....
Non so se ho risposto alla tua domanda o ti ho solo incasinato di più......
Secondo me siccome il tempo è un numero continuo ma l'orologio lo rappresenta in modo discreto, cioè a scatti, la prima cosa su cui devi ragionare è il modello di orologio che vuoi descrivere. Mi spiego meglio. Se prendiamo il secondo come unità fondamentale del nostro orologio allora una possibilità per il modello è che ogni 60 secondi, cioè ogni minuto, la lancetta dei minuti compia uno scatto di 6°. La cosa da capire è come vogliamo modellizzare la lancetta delle ore. Secondo me l'unico modo affinchè alle 10:10 le due lancette siano equidistanti è che la lancetta delle ore compia uno scatto di 30° ogni 3600 secondi, cioè ogni ora. Così facendo infatti dopo 10 ore e 10 minuti quella dei minuti sarebbe a 60°, 6°/min * 10min, e quella delle ore a 300°, 30°/h*10h e quindi avresti la simmetria che cerchi.
Se invece ad esempio facessimo muovere la lancetta delle ore in una maniera più continua, ad esempio facendole compiere uno scatto di mezzo grado ogni 60 secondi (coerentemente col fatto che dopo 60*60 secondi si è mossa di 30°), perdiamo il fatto che le due lancette coincidano alle 10:10. Questo perchè quella dei minuti sarebbe a 60°, dati da 6°/min * 10min, ma quella delle ore sarebbe a 305°, 0,5°/min*(10h*60min/h + 10min), e quindi non sarebbero più simmetriche.
In questo schema che ti sto delineando il suggerimento di Falco lo potremmo chiamare orologio "continuo" cioè che per ogni intervallo $\Delta t$ di tempo la lancetta delle ore si muove di $\Delta \theta_h = \omega_h \Delta t$ e quella dei secondi di $\Delta \theta_m = \omega_m \Delta t$, dove le $\omega$ sono le velocità angolari delle due lancette. Così impostare il problema della simmetria diventa semplice, e ti invito a provarci, però il risultato sarebbe qualcosa di altamente ideale in quanto il risultato facilmente uscirebbe come numero decimale periodico e quindi non esprimibile come un numero intero di secondi....
Non so se ho risposto alla tua domanda o ti ho solo incasinato di più......
La soluzione infatti c'è prova a trovarla, non è lontano dalle 10 e 10 in effetti.
Io ho supposto che le lancette dei minuti e delle ore si muovano senza scatti ma con continuità....
Io ho supposto che le lancette dei minuti e delle ore si muovano senza scatti ma con continuità....
Vi ringrazio per l'interesse anzitutto...
X Falco, guarda, il paradosso di Zenone con Achille e la tartaruga lo conoscevo già (chi ha letto Hofstadter ne sa qualcosa) e sinceramente mi era venuto anche il dubbio data la somiglianza del paradosso che si riduce all'infinitesimo, ma solo dopo aver letto il tuo post ho capito che il mio problema è solo un'altra faccia della stessa medaglia di Zenone. Comunque il tuo ragionamento è chiarissimo, grazie!
X Alle.Fabbri, non ti preoccupare, non mi hai incasinato (più di tanto), ma io il fattore tempo l'avevo volutamente trascurato, visto che le due lancette hanno movimento relativo tra di loro. A me interessava più che altro la distanza percorsa (anche se da ciò si ricava tranquillamente il tempo e viceversa) con un orologio continuo (come lo chiami tu) anche perchè in questo modo si può trascurare il problema dei pacchetti discreti che sono i secondi.
Guarda, proverò a seguire i tuoi consigli, vediamo che ne esce.
grazie anche a te.
Faussone, ovviamente la tua risposta l'ho letta più tardi
X Falco, guarda, il paradosso di Zenone con Achille e la tartaruga lo conoscevo già (chi ha letto Hofstadter ne sa qualcosa) e sinceramente mi era venuto anche il dubbio data la somiglianza del paradosso che si riduce all'infinitesimo, ma solo dopo aver letto il tuo post ho capito che il mio problema è solo un'altra faccia della stessa medaglia di Zenone. Comunque il tuo ragionamento è chiarissimo, grazie!
X Alle.Fabbri, non ti preoccupare, non mi hai incasinato (più di tanto), ma io il fattore tempo l'avevo volutamente trascurato, visto che le due lancette hanno movimento relativo tra di loro. A me interessava più che altro la distanza percorsa (anche se da ciò si ricava tranquillamente il tempo e viceversa) con un orologio continuo (come lo chiami tu) anche perchè in questo modo si può trascurare il problema dei pacchetti discreti che sono i secondi.
Guarda, proverò a seguire i tuoi consigli, vediamo che ne esce.
grazie anche a te.
Faussone, ovviamente la tua risposta l'ho letta più tardi
Guarda ho provato a fare 2 conti circa il problema di Achille e la tartaruga. Supponiamo che all'inizio ci siano Achille e la tartaruga fermi separati da una distanza iniziale $Deltax_0$. Ad un certo punto partono con velocità $v_a$ e $v_t$ tali che $v_a > v_t$. Segiamo il ragionamento che fa Zenone: dopo $t_0 = (Deltax_0)/v_a$ Achille raggiunge il posto dov'era la tartaruga. Ma nel frattempo la tartaruga avanzerà di un $Deltax_1 = t_0 * v_t = (v_t/v_a)*Deltax_0$. Allora achille ci mette un tempo $t_1=(Deltax_1)/v_a=(v_t/v_a^2)*Deltax_0$ a raggiungere di nuovo la postazione della tartaruga. Ma ancora la tartaruga sarà avanzata di $Deltax_2 = t_1*v_t = (v_t^2/v_a^2)*Deltax_0$. E ancora, per raggiungere questo posto nuovo achille ci mette un tempo $t_2 = (v_t^2/v_a^3)*Deltax_0$. Quindi si capisce che all'n-esima iterazione del ragionamento di zenone, la tartaruga percorrerà $Deltax_n = (v_t^n/v_a^n)*Deltax_0$ e Achille impiegherà $t_n = (v_t^n/v_a^(n+1))*Deltax_0$ per percorrere quello spazio.
A questo punto vediamo cosa succede quando zenone dice "applichiamo il ragionamento infinite volte". $\lim_{n \to \infty}Deltax_n = \lim_{n \to \infty} (v_t^n/v_a^n)*Deltax_0 = Deltax_0 * \lim_{n \to \infty} (v_t/v_a)^n = 0$ poichè siccome $v_t < v_a$ il loro rapporto è minore di 1. Questo vuol dire che effettivamente dopo infinite iterazioni, la distanza fra i 2 è nulla e quindi Achille ha raggiunto la tartaruga. ma questo quando avviene? Zenone faceva l'errore di credere che iterare infinite volte il suo ragionamento equivalesse a dire "tempo" infinito. Invece il tempo totale si calcola come somma infinita degli intervalli di tempo che abbiamo calcolato prima e quindi $T = \sum_{n=0}^\infty t_n = \sum_{n=0}^\infty (v_t^n/v_a^(n+1))*Deltax_0 =(Deltax_0) / v_a * \sum_{n=0}^\infty (v_t^n/v_a^n)=(Deltax_0)/ v_a \sum_{n=0}^\infty (v_t/v_a)^n $ questa serie si chiama serie geometrica e si dimostra che se $v_t/v_a < 1$ allora converge ad $1/(1-(v_t/v_a))$. Quindi $T_=(Deltax_0) / v_a *(1/(1-(v_t/v_a)))=(Deltax_0)/(v_a - v_t)$ questo tempo non è infinito ed è il tempo che ci vuole affinchè achille raggiunga la tartaruga. Se facessi i calcoli "canonici" otterresti lo stesso risultato.
A questo punto vediamo cosa succede quando zenone dice "applichiamo il ragionamento infinite volte". $\lim_{n \to \infty}Deltax_n = \lim_{n \to \infty} (v_t^n/v_a^n)*Deltax_0 = Deltax_0 * \lim_{n \to \infty} (v_t/v_a)^n = 0$ poichè siccome $v_t < v_a$ il loro rapporto è minore di 1. Questo vuol dire che effettivamente dopo infinite iterazioni, la distanza fra i 2 è nulla e quindi Achille ha raggiunto la tartaruga. ma questo quando avviene? Zenone faceva l'errore di credere che iterare infinite volte il suo ragionamento equivalesse a dire "tempo" infinito. Invece il tempo totale si calcola come somma infinita degli intervalli di tempo che abbiamo calcolato prima e quindi $T = \sum_{n=0}^\infty t_n = \sum_{n=0}^\infty (v_t^n/v_a^(n+1))*Deltax_0 =(Deltax_0) / v_a * \sum_{n=0}^\infty (v_t^n/v_a^n)=(Deltax_0)/ v_a \sum_{n=0}^\infty (v_t/v_a)^n $ questa serie si chiama serie geometrica e si dimostra che se $v_t/v_a < 1$ allora converge ad $1/(1-(v_t/v_a))$. Quindi $T_=(Deltax_0) / v_a *(1/(1-(v_t/v_a)))=(Deltax_0)/(v_a - v_t)$ questo tempo non è infinito ed è il tempo che ci vuole affinchè achille raggiunga la tartaruga. Se facessi i calcoli "canonici" otterresti lo stesso risultato.
Bellissimo!!!!!!!!! giacor sei un grande!!!!!
haha grazie. magari riguarda un attimo i conti che ho corretto un paio di errori di impaginazione.
PS non riesco proprio a far sparire la "chiusa parentesi tonda" inutile nella 3-ultima riga.
PS non riesco proprio a far sparire la "chiusa parentesi tonda" inutile nella 3-ultima riga.
Se intendi così
$ (Deltax_0)/ (v_a) \sum_{n=0}^\infty (v_t/v_a)^n $
scrivendo questo
mi pare che funzioni.
$ (Deltax_0)/ (v_a) \sum_{n=0}^\infty (v_t/v_a)^n $
scrivendo questo
\$ (Deltax_0)/ (v_a) \sum_{n=0}^\infty (v_t/v_a)^n \$
mi pare che funzioni.
sono proprio cieco, era quello che credevo di avere scritto, l'ho riguardato 1000 volte e non vedevo la parentesi.
Complimenti Giacor, sei molto preparato.
In effetti è un errore che ho fatto anche io quello di Zenone (che onore fare gli stessi errori di Zenone!) quando ho detto che dovevo correggere le lancette infinite volte...
Come insegni tu, se la velocità della tartaruga diviso la velocità di Achille è inferiore a 1 (in pratica se la tartaruga è più lenta di Achille) il tempo non è infinito.
In effetti è un errore che ho fatto anche io quello di Zenone (che onore fare gli stessi errori di Zenone!) quando ho detto che dovevo correggere le lancette infinite volte...
Come insegni tu, se la velocità della tartaruga diviso la velocità di Achille è inferiore a 1 (in pratica se la tartaruga è più lenta di Achille) il tempo non è infinito.
"oidualc":
Complimenti Giacor, sei molto preparato.
In effetti è un errore che ho fatto anche io quello di Zenone quando ho detto che dovevo correggere le lancette infinite volte...
Intanto grazie per i complimenti, anche se non credo di aver fatto nulla di che.. Solo un esercizietto sulle serie.
Il fatto è che è vero che devi correggere la lancetta infinite volte. Ma riesci a farlo in un tempo finito. Zenone non ci era arrivato perchè con le conoscenze matematiche dell'epoca era impensabile che sommando infiniti numeri, si potesse ottenere un numero finito.
"giacor86":
[quote="oidualc"]Complimenti Giacor, sei molto preparato.
In effetti è un errore che ho fatto anche io quello di Zenone quando ho detto che dovevo correggere le lancette infinite volte...
Il fatto è che è vero che devi correggere la lancetta infinite volte. Ma riesci a farlo in un tempo finito. .[/quote]
Questo sì che è un paradosso! scusami ma non riesco a seguirti: in un tempo finito come posso correggere infinite volte la lancetta?
Questo mi ricorda un pò i frattali, dove in un'area finita si ha un perimetro infinito, ma quella è un'altra storia...
"oidualc":
Questo sì che è un paradosso! scusami ma non riesco a seguirti: in un tempo finito come posso correggere infinite volte la lancetta?
Perchè il tempo che ci metti a correggere la lancetta ogni volta, decresce abbastanza rapidamente da far si che se li sommi tutti, ottieni un valore finito. Come nel paradosso di Achille e la tartaruga, ad un certo punto c'è una sommatoria che va da 0 ad infinito (e quindi vuol dire sommare infiniti contributi) il cui risultato è finito. è una cosa un po' antiintuitiva se vuoi, ma non paradossale.
Ti faccio un esempio analogo: Prendo un rettangolo che abbia $A=1 m^2$ e coloralo a metà. della parte non colorata, colorane metà. della parte non colorata, ancora colorane metà. e così via. è evidente che questo procedimento idealmente può essere fatto infinite volte. questo vuol dire che dopo infinite volte avrai colorato un'area infinita? no, ovviamente. E' intuitivo pensare che dopo infinite volte che colori la metà del rimanente, avrai colorato tutto e solo il tuo rettangolo iniziale. Questo perchè l'area che colori ad ogni iterazione è sempre più piccola. Il ragionamento è identico a quello da fare per il tempo per capire la soluzione del tuo problema.
La domanda sorge spontanea: è sufficiente sommare cose sempre più piccole per ottenere dopo infinite volte un qualcosa di finito? la risposta è no. Innanzitutto perchè ciò succeda, è necessario che gli oggetti che sommo tendano ad avere dimensione 0. Questo è abbastanza banale, perchè ad esempio se sommo infiniti rettangoli, di area sempre più piccola, ma che non diventa mai più piccola di $2 m^2$, ottengo un area infinita. Ma non basta, serve anche che la dimensione dell'oggetto tenda a 0 abbastanza rapidamente. Ad esempio se provi a sommare tutti i reciproci dei numeri naturali (quindi $1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + ... + 1/n$) sommi oggetti che di sicuro diventano sempre più piccoli, di sicuro la dimensione all'infinito tende a 0, ma la somma totale (si dimostra) è infinita. Se invece provi a sommare IL QUADRATO del reciproco dei numeri naturali (quindi $1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + ... + 1/(n^2)$) ottieni (magia, ma è vero) $pi^2 /6$.
Illuminante è dir poco, Giacor!
Comunque il paragone dei frattali non lo vedo così distante dall'esempio del rettangolo che hai fatto...
Riguardo alla somma dei reciproci dei numeri naturali prima, e del quadrato degli stessi poi, sarebbe simpatico capire dove sta il confine netto che fa convergere il risultato da infinito a finito.
Vabbè, poi il risultato della somma del quadrato dei reciproci dei numeri naturali è stupendo, direi quasi di un'eleganza assurda.
Direi, se mi è permesso, che con l'infinito la matematica...dà i numeri!
Comunque il paragone dei frattali non lo vedo così distante dall'esempio del rettangolo che hai fatto...
Riguardo alla somma dei reciproci dei numeri naturali prima, e del quadrato degli stessi poi, sarebbe simpatico capire dove sta il confine netto che fa convergere il risultato da infinito a finito.
Vabbè, poi il risultato della somma del quadrato dei reciproci dei numeri naturali è stupendo, direi quasi di un'eleganza assurda.
Direi, se mi è permesso, che con l'infinito la matematica...dà i numeri!
"oidualc":
Riguardo alla somma dei reciproci dei numeri naturali prima, e del quadrato degli stessi poi, sarebbe simpatico capire dove sta il confine netto che fa convergere il risultato da infinito a finito.
Per le serie del tipo $\sum_{n=0}^\infty (1/n^\alpha)$ il confine è proprio quello li; fa infinito per $\alpha<=1$ e converge per $\alpha > 1$. Se vuoi maggiori informazioni, prova a leggere qui http://it.wikipedia.org/wiki/Serie_armonica
Sui frattali il discorso si fa molto + complesso perchè si inizia a trattare oggetti particolari di cui non si può parlare di area e perimetro come si è abituati perchè hanno dimensione non intera. Comunque se vuoi approfondire il discorso magari è meglio che apri post appositi in altri settori del forum dove c'è gente che di sicuro di queste cose ne sa molto più di me. Qui si dovrebbe parlare di fisica, sennò poi i cattivissimi moderatori ci sgridano
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