Problemino di termodinamica
In un libro di Termodinamica per le superiori trovo questo problema.
Un gas perfetto monoatomico termicamente isolato e all'equilibrio in un volume $V_1 = 10^{-2} m^3$ alla pressione $p_1 =10^5 Pa$ il volume del gas viene poi reversibilmente diminuito fino a che la sua pressione è $p_2 = 2 p_1$ . Si calcoli la variazione dell'energia cinetica media traslazionale delle molecole del gas. Sapendo inoltre che il gas è costituito da due moli di elio, si calcola il modulo della velocità media delle molecole sia prima che dopo la compressione
Ora, alla prima richiesta mi sembra impossibile da rispondere in quanto non viene dato il numero di moli, infatti la variazione di energia cinetica è $ΔK=(3/2)k(T_2-T_1)$ e per calcolare $T_1$ occorre conoscere il numero di moli $T_1=P_1V_1/nR$.
Mi sfugge qualcosa?
Quindi penso che il problema sia stato scritto in modo erroneo.
Ora supponendo che l'informazione successiva relativa al numero di moli (n =2) sia valida anche per la prima domanda, facendo i calcoli viene
$T_1=60 K$ e dalla relazione adiabatica $T_2/T_1=(P_2/P_1)^{γ -1/γ} $ essendo $γ=5/3$ si ha $T_2=T_1 2^{(2/5)}=1.32T_1=1.32· 60=80K$, da questi valori
$ΔK=(3/2)k(T_2-T_1)=(3/2)k(80-20)=3.9·10^{-22} J$
La soluzione indicata dal testo invece dice 479 J.
Forse si intende "tutte" le molecole, (che poi sarebbero atomi, in quanto viene detto che trattasi di gas monoatomico), allora in effetti viene il valore proposto di 479 J.
Sono corrette queste valutazioni?
Un gas perfetto monoatomico termicamente isolato e all'equilibrio in un volume $V_1 = 10^{-2} m^3$ alla pressione $p_1 =10^5 Pa$ il volume del gas viene poi reversibilmente diminuito fino a che la sua pressione è $p_2 = 2 p_1$ . Si calcoli la variazione dell'energia cinetica media traslazionale delle molecole del gas. Sapendo inoltre che il gas è costituito da due moli di elio, si calcola il modulo della velocità media delle molecole sia prima che dopo la compressione
Ora, alla prima richiesta mi sembra impossibile da rispondere in quanto non viene dato il numero di moli, infatti la variazione di energia cinetica è $ΔK=(3/2)k(T_2-T_1)$ e per calcolare $T_1$ occorre conoscere il numero di moli $T_1=P_1V_1/nR$.
Mi sfugge qualcosa?
Quindi penso che il problema sia stato scritto in modo erroneo.
Ora supponendo che l'informazione successiva relativa al numero di moli (n =2) sia valida anche per la prima domanda, facendo i calcoli viene
$T_1=60 K$ e dalla relazione adiabatica $T_2/T_1=(P_2/P_1)^{γ -1/γ} $ essendo $γ=5/3$ si ha $T_2=T_1 2^{(2/5)}=1.32T_1=1.32· 60=80K$, da questi valori
$ΔK=(3/2)k(T_2-T_1)=(3/2)k(80-20)=3.9·10^{-22} J$
La soluzione indicata dal testo invece dice 479 J.
Forse si intende "tutte" le molecole, (che poi sarebbero atomi, in quanto viene detto che trattasi di gas monoatomico), allora in effetti viene il valore proposto di 479 J.
Sono corrette queste valutazioni?
Risposte
L'energia cinetica è riferita a tutte le molecole (atomi) e quindi
avendo utilizzato il rapporto tra la costante dei gas e la costante di Boltzmann.
A questo punto, trattandosi di un gas perfetto, si può anche scrivere:
e quindi svolgendo i calcoli si arriva alla formula finale
[math]K=N\frac32kT=\frac32\frac{N}{N_0}RT=\frac32nRT[/math]
avendo utilizzato il rapporto tra la costante dei gas e la costante di Boltzmann.
A questo punto, trattandosi di un gas perfetto, si può anche scrivere:
[math]K=\frac32PV[/math]
e quindi svolgendo i calcoli si arriva alla formula finale
[math]\Delta K=\frac32P_1V_1\left(\left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{1-\frac{1}{\gamma}}-1\right)=479J[/math]
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