Problemi sulla Legge di Ampere

[Jhons1]

1) Si consideri un solenoide infinitamente lungo composto da 100 spire per centimetro di lunghezza. Un elettrone si muove, all'interno del solenoide, su una circonferenza di 2,30 cm di raggio, perpendicolarmente all'asse del solenoide. Si calcoli la corrente che scorre nel solenoide sapendo che la velocità dell'elettrone è 0.0460 c (c = velocità della luce nel vuoto).

***

Campo magnetico generato da una carica in moto circolare:

$B=(mv)/(|q|r)=3,42\text{ mT}$.

Intensità di corrente nel solenoide:

$i_0=B/(\mu_0n)=27,2\text{ A}$.

Ma il risultato riportato sul libro è 272 mA. Cosa sbaglio?

2) Si consideri la sezione di un cavo coassiale di raggi a (raggio del cavo esterno), b (distanza tra centro del cavo interno e superficie interna del cavo esterno) e c (raggio del cavo interno). Nei due conduttori scorra una corrente i, distribuita in maniera uniforme, in versi opposti. Si assuma r = distanza tra centro dei cavi e circonferenza che "taglia" il due parti uguali la sezione del cavo esterno. Si determini l'espressione di B(r) negli intervalli a) r < c, b) c < r < b, c) b < r < a, d) r > a.

***

Dovrei consoderare opportune spire amperiane, me nello specifico non so come risolvere il problema. Mi potete dare qualche dritta?

[enr87]

nel primo problema da dove ti sei ricavato la formula per il calcolo del CM generato dalla carica in moto? la velocità dell'elettrone in realtà ti dà solo l'informazione sul campo che agisce su di esso, che è appunto quello del solenoide percorso da corrente. la sostanza è che hai confuso la relazione causa-effetto: il solenoide, nel quale circola una certa corrente che genera un CM al suo interno, è la causa della forza centripeta cui è sottoposto l'elettrone (supposto che questo avesse una propria velocità v iniziale).
per il resto devi aver fatto un errore sulle unità di misura, probabilmente hai trascurato che $n_S / (cm) = n_S / (10^(-2) m)$

nel secondo problema basta solo che applichi la circuitazione di ampere, prova a spiegare meglio cosa non capisci

[Jhons1]

"enr87":hai trascurato che $n_S / (cm) = n_S / (10^(-2) m)$

Si, effettivamente è così

"enr87":nel secondo problema basta solo che applichi la circuitazione di ampere, prova a spiegare meglio cosa non capisci

Applicando la legge di Ampére:

a) $\oint \vec B*\text{d}\vec s=\mu_0i \rArr B \oint = \text{d}s=B2\pi c = \mu_0i \rArr B = (\mu_0i)/(2\pi c)$.
Il libro riporta invece come soluzione $B = (\mu_0i)/(2\pi)$

b) Con lo stesso ragionamento: $B = (\mu_0i)/(2\pi b)$, ma per il libro è $B = (\mu_0i)/(2\pi r)$

c) Non so come calcolarlo.

d) $B=0$, anche il libro è daccordo con questo risultato.

Mi puoi dare una mano?

[enr87]

ti faccio solo il punto a, per gli altri prova tu:
la corrente i attraverso una superficie piana si scrive $i = int_S dS$
visto che la corrente è distribuita uniformemente sulla superficie, possiamo dire che per il cavo interno vale $i_r =i/(pi c^2) pi r^2$
dal teorema della circuitazione di ampere, $B 2 pi r = mu_0 i/(pi c^2) pi r^2 => B(r) = mu_0 (ir)/(2 pi c^2)$.
ora, mi sembra che nel risultato del tuo libro manchi un fattore, perchè l'unità di misura di B non torna corretta altrimenti. poi comunque non so se ho interpretato bene il testo del problema, perchè mi sembra un po' ambiguo quando definisce r in maniera univoca, e poi invece lo fa variare nell'intervallo $(c-epsilon, a+epsilon)$ con $epsilon > 0$.
il risultato del punto b del libro è corretto, prova ad applicare meglio la circuitazione. va bene anche il punto d. per il punto c devi considerare ancora una volta la densità di corrente per unità di superficie e stare attento a quanta corrente viene effettivamente concatenata dalla circonferenza su cui calcoli la circuitazione

[Jhons1]

"enr87":ti faccio solo il punto a, per gli altri prova tu:
la corrente i attraverso una superficie piana si scrive $i = int_S dS$
visto che la corrente è distribuita uniformemente sulla superficie, possiamo dire che per il cavo interno vale $i_r =i/(pi c^2) pi r^2$
dal teorema della circuitazione di ampere, $B 2 pi r = mu_0 i/(pi c^2) pi r^2 => B(r) = mu_0 (ir)/(2 pi c^2)$.
ora, mi sembra che nel risultato del tuo libro manchi un fattore, perchè l'unità di misura di B non torna corretta altrimenti. poi comunque non so se ho interpretato bene il testo del problema, perchè mi sembra un po' ambiguo quando definisce r in maniera univoca, e poi invece lo fa variare nell'intervallo $(c-epsilon, a+epsilon)$ con $epsilon > 0$.
il risultato del punto b del libro è corretto, prova ad applicare meglio la circuitazione. va bene anche il punto d. per il punto c devi considerare ancora una volta la densità di corrente per unità di superficie e stare attento a quanta corrente viene effettivamente concatenata dalla circonferenza su cui calcoli la circuitazione

Vediamo se ho capito:

b) $i_r = int_S jdScos\alpha = jS = i/A_1S - i/A_2 S = i/(\pi b^2) (\pi b^2-\pi c^2) - i/(\pi c^2) (\pi b^2-\pi c^2) = i$.

Per la legge di Ampére:

$\oint \vec B*d\vec s = \mu_0 i \rArr 2\pir = \mu_0 i \rArr B=(\mu_0 i)/(2\pi r)$.

Ragionamento corretto?

[enr87]

non ho capito come hai calcolato il flusso: la densità l'avevo già definita io sopra ($j = i/(pi c^2)$), bastava moltiplicare per la superficie $pi c^2$ perchè in questo caso al di fuori della sezione interna il flusso è nullo, essendo nulla la corrente per c < r < b

[Jhons1]

"enr87":non ho capito come hai calcolato il flusso: la densità l'avevo già definita io sopra ($j = i/(pi c^2)$), bastava moltiplicare per la superficie $pi c^2$ perchè in questo caso al di fuori della sezione interna il flusso è nullo, essendo nulla la corrente per c < r < b

Forse adesso ho capito. Nelle formula della densità di corrente l'intensità di corrente va divisa per la superficie nella quale scorre, la quale nel punto c) corrisponde a $A= \pi a^2 - \pi b^2$. La corrente $i_r$ che scorre nella regione di raggio $r$ è pari a $S=\pi a^2 - \pi r^2$. In formula:

$i_r=jS=i/A S = i/(\pi a^2 - \pi b^2) (\pi a^2 - \pi r^2)$

Per la legge di Ampére:

$\oint B\text{d}s = \mu_0 i_r \rArr B =( \mu_0(a^2-r^2))/(2\pi r (a^2 - b^2))$.

Ragionamento corretto?

[enr87]

non hai tenuto conto di tutta la corrente che viene concatenata..

[Jhons1]

"enr87":non hai tenuto conto di tutta la corrente che viene concatenata..

Puoi scrivermi lo svolgimento corretto?

[enr87]

la corrente in quella sezione è $-i + i_r$, tenendo conto che hanno versi opposti

[Jhons1]

"enr87":la corrente in quella sezione è $-i + i_r$, tenendo conto che hanno versi opposti

Grazie mille!