Problemi potenziale elettrico
Salve a tutti. Volevo sottoporvi alcuni problemi riguardanti il potenziale elettrico che non mi sono del tutto chiari, spero abbiate tempo (ma soprattutto voglia 
) di aiutarmi.
1) Due particelle, di massa rispettivamente $3xx10^-3kg$ e $6xx10^-3kg$ , sono entrambe caricate con una carica di $q=8xx10^-6$ C. Esse vengono lasciate libere di muoversi a una distanza d l'una dall'altra. Quando si trovano a $d_2=0,1m$ la particella con massa minore ha una velocità $v_a=125m/s$. Calcola la distanza iniziale tra le due particelle.
Io ho provato a impostare la legge della conservazione dell'energia:
$1/2m_a*(v_a^)^2+1/2m_b*(v_b)^2+2*k*q^2/d_2=2*k*q^2/d$
A quest'equazione tuttavia manca la velocità della particella più massiccia $v_b$ da conoscere perchè sia di primo grado con incognita $d$. Purtroppo non so come ricavare il dato mancante.
2)Due sfere cave sono metalliche e concentriche, una di raggio $r=0,015m$ e l'altra di $R=0,0152m$. La prima ha un potenziale $V_r=82V$ e $V_R=85V$. Calcola l'energia presente nella regione di spazio tra le due sfere.
Io uso la formula della densità di energia di un condensatore $En=1/2*\epsilon*E^2$ calcolando il campo elettrico $E=\DeltaV/(R-r)$, per poi moltiplicarla per il volume della regione $Vol=4/3*\pi(R^3-r^3)$.
In questo ragionamento però io considero il campo elettrico della regione compresa tra le due sfere uniforme, dato che la distanza tra le due superfici è molto piccola e quindi la variazione di E è trascurabile. Tuttavia non ne sono molto sicuro, voi pensate sia corretto?
Grazie mille per l'interessamento.
) di aiutarmi.1) Due particelle, di massa rispettivamente $3xx10^-3kg$ e $6xx10^-3kg$ , sono entrambe caricate con una carica di $q=8xx10^-6$ C. Esse vengono lasciate libere di muoversi a una distanza d l'una dall'altra. Quando si trovano a $d_2=0,1m$ la particella con massa minore ha una velocità $v_a=125m/s$. Calcola la distanza iniziale tra le due particelle.
Io ho provato a impostare la legge della conservazione dell'energia:
$1/2m_a*(v_a^)^2+1/2m_b*(v_b)^2+2*k*q^2/d_2=2*k*q^2/d$
A quest'equazione tuttavia manca la velocità della particella più massiccia $v_b$ da conoscere perchè sia di primo grado con incognita $d$. Purtroppo non so come ricavare il dato mancante.
2)Due sfere cave sono metalliche e concentriche, una di raggio $r=0,015m$ e l'altra di $R=0,0152m$. La prima ha un potenziale $V_r=82V$ e $V_R=85V$. Calcola l'energia presente nella regione di spazio tra le due sfere.
Io uso la formula della densità di energia di un condensatore $En=1/2*\epsilon*E^2$ calcolando il campo elettrico $E=\DeltaV/(R-r)$, per poi moltiplicarla per il volume della regione $Vol=4/3*\pi(R^3-r^3)$.
In questo ragionamento però io considero il campo elettrico della regione compresa tra le due sfere uniforme, dato che la distanza tra le due superfici è molto piccola e quindi la variazione di E è trascurabile. Tuttavia non ne sono molto sicuro, voi pensate sia corretto?
Grazie mille per l'interessamento.
Risposte
"Mr James":
1)... Purtroppo non so come ricavare il dato mancante.
....
Conservazione della quantità di moto?
Avevo già provato, ma il risultato non coincide con quello del libro. Poi pensavo non fosse valido visto che ci sono in gioco due forze variabili generate dal campo elettrico, no?
Per favore, puoi indicare il libro e postare i risultati?
Per l'esercizio 1, quoto quanto detto da "chiarotta"
Per il 2, la tua approssimazione potrebbe certamente essere buona, tuttavia bisogna vedere "come la pensa" chi ti dà l'esercizio
. Comunque questo problema si può risolvere in modo esatto per via analitica. Considerando che il campo nella regione tra le due sfere ha certamente simmetria sferica, con il teorema di Gauss si trova che l'andamento del campo in tale regione è dato da:
\(\displaystyle E(s)=\frac{q}{4\pi \epsilon_{0}s^2} \)
dove q è la carica sulla sfera piccola ed s è la distanza del punto considerato dal centro delle sfere. Integrando questo campo in ds tra r ed R, ed imponendo che la ddp ottenuta sia uguale alla \(\displaystyle \Delta V \) data, si trova la carica q e quindi l'espressione del campo è:
\(\displaystyle E(s)=\Delta V\frac{rR}{R-r} \frac{1}{s^2}\)
Usando l'espressione data da te per la densità \(\displaystyle \rho \) di energia (che vale per qualsiasi campo elettrostatico, non solo per quello del condensatore piano!), possiamo calcolare l'energia U nel volume \(\displaystyle \Gamma \) tra le due sfere così (scusa la notazione strana ma le lettere V, R per il volume sono già occupate
:
\(\displaystyle U=\int_{\Gamma}\rho d\Gamma =\int_{r}^{R}\frac{1}{2}\epsilon_{0}E^2(s) 4\pi s^2 ds = 2\pi \epsilon_{0}\frac{rR}{R-r}\Delta V^2\)
Per il 2, la tua approssimazione potrebbe certamente essere buona, tuttavia bisogna vedere "come la pensa" chi ti dà l'esercizio
. Comunque questo problema si può risolvere in modo esatto per via analitica. Considerando che il campo nella regione tra le due sfere ha certamente simmetria sferica, con il teorema di Gauss si trova che l'andamento del campo in tale regione è dato da:\(\displaystyle E(s)=\frac{q}{4\pi \epsilon_{0}s^2} \)
dove q è la carica sulla sfera piccola ed s è la distanza del punto considerato dal centro delle sfere. Integrando questo campo in ds tra r ed R, ed imponendo che la ddp ottenuta sia uguale alla \(\displaystyle \Delta V \) data, si trova la carica q e quindi l'espressione del campo è:
\(\displaystyle E(s)=\Delta V\frac{rR}{R-r} \frac{1}{s^2}\)
Usando l'espressione data da te per la densità \(\displaystyle \rho \) di energia (che vale per qualsiasi campo elettrostatico, non solo per quello del condensatore piano!), possiamo calcolare l'energia U nel volume \(\displaystyle \Gamma \) tra le due sfere così (scusa la notazione strana ma le lettere V, R per il volume sono già occupate
:\(\displaystyle U=\int_{\Gamma}\rho d\Gamma =\int_{r}^{R}\frac{1}{2}\epsilon_{0}E^2(s) 4\pi s^2 ds = 2\pi \epsilon_{0}\frac{rR}{R-r}\Delta V^2\)
Per quanto riguarda l'esercizio 1, ho scoperto che sbagliavo a battere sulla calcolatrice 
errore mio. Il risultato è $1,41xx10^-2$.
Grazie mille infinite per l'attenzione e scusate il disturbo. Ciao!
errore mio. Il risultato è $1,41xx10^-2$. Grazie mille infinite per l'attenzione e scusate il disturbo. Ciao!
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