Problemi Elettromagnetismo
Adesso ragazzi ho gli ultimi due problemi d'esame che vorrei fare insieme a voi se non vi dispiace per essere più sicuro 
1) Un lungo conduttore cilindrico di raggio Rè percorso da corrente I. La densità di corrente J non è uniforme sulla sezione del conduttore ma dipende dalla distanza dall'asse con la legge J=br con b una costante. Si determini l'espressione del campo magnetico B a distanze dall'asse a)rR.
Allora io ho pensato di fare così:
La densità di corrente varia come $ J=br$ e poichè $ J=I/A $ possiamo ricavarci da quì la corrente$ I=Abr$. Per determinare il campo magnetico B nei 2 punti usiamo la legge di Ampère prendendo prima un percorso circolare chiuso esterno al conduttore per r>R e abbiamo che $ oint B ds = (mu_0)I $ quindi $ B(2pir)=(mu_0)br((2piR)^2 ) $ e quindi $ B=(mu_0)b2pi(R^2)$.
Per r
2) Questo è il secondo problema ma siccome mi mancano da ripassare gli ultimi 2 capitoli + dare un'occhiatina alla meccanica ancora non ho le idee chiare quindi vi sarei motlo grato se me lo risolveste voi. ( Le linee del campo magnetico nell'immagine sono dirette verso sopra e quello scarabocchio dietro è una resistenza R )
La sbarretta di massa m della figura è trascinata orizzontalmente sulla rotaia da una corda di massa trascurabile che passando su una puleggia ideale sostiene un corpo di massa M. Il campo magnetico uniforme è B. La distanza tra le rotaie è L. Le 2 rotaie sono collegate ad una estremità ad una resistenza R.
Si ricavi un'espressuine della velocità orizzontale della sbarretta in funzione del tempo facendo l'ipotesi che a t=0 la sbarretta sia a riposo. Trascurare gli attriti.
Grazie mille anticipatamente.
1) Un lungo conduttore cilindrico di raggio Rè percorso da corrente I. La densità di corrente J non è uniforme sulla sezione del conduttore ma dipende dalla distanza dall'asse con la legge J=br con b una costante. Si determini l'espressione del campo magnetico B a distanze dall'asse a)r
Allora io ho pensato di fare così:
La densità di corrente varia come $ J=br$ e poichè $ J=I/A $ possiamo ricavarci da quì la corrente$ I=Abr$. Per determinare il campo magnetico B nei 2 punti usiamo la legge di Ampère prendendo prima un percorso circolare chiuso esterno al conduttore per r>R e abbiamo che $ oint B ds = (mu_0)I $ quindi $ B(2pir)=(mu_0)br((2piR)^2 ) $ e quindi $ B=(mu_0)b2pi(R^2)$.
Per r
2) Questo è il secondo problema ma siccome mi mancano da ripassare gli ultimi 2 capitoli + dare un'occhiatina alla meccanica ancora non ho le idee chiare quindi vi sarei motlo grato se me lo risolveste voi. ( Le linee del campo magnetico nell'immagine sono dirette verso sopra e quello scarabocchio dietro è una resistenza R )
La sbarretta di massa m della figura è trascinata orizzontalmente sulla rotaia da una corda di massa trascurabile che passando su una puleggia ideale sostiene un corpo di massa M. Il campo magnetico uniforme è B. La distanza tra le rotaie è L. Le 2 rotaie sono collegate ad una estremità ad una resistenza R.
Si ricavi un'espressuine della velocità orizzontale della sbarretta in funzione del tempo facendo l'ipotesi che a t=0 la sbarretta sia a riposo. Trascurare gli attriti.
Grazie mille anticipatamente.
Risposte
Ehy ragazzi nel frattempo ho avuto il tempo di ripassare e ho risolto il secondo problema ma vorrei che daste un'occhiata e mi dite se è giusto. Allora io ho pensato di fare così:
Visto che il verso del campo magnetico B uniforme è verso l'alto e considerando che poichè il blocco M ha massa maggiore della sbarra sicuramente la sbarretta si muoverà verso sinistra e quindi ci sarà una forza che metterà in moto le cariche della sbarra in modo da creare una corrente I con verso Orario in accordo con la legge di Lenz. Vi sarà quindi una forza $F_B$ che si opporrà al moto ma avente la stessa direzione. Dalla meccanica ricaviamo che
SBARRA
$ sum F_y=0 $
$ sum F_x=T-F_B=ma $
BLOCCO
le forze lungo x non ci interessano
$ sum F_y=T-Mg=Ma $
Ci ricaviamo T dalla seconda e troviamo che T=Ma+Mg che sostituiamo in quella della sbarra e otteniamo facendo i relativi calcoli $ (M-m)a=F_B - Mg$
Ora poichè ci interessa la velocità in funzione del tempo sappiamo che $ a=(dv)/dt$,$F_B=ILB$ e$ I=(BLv)/R $sostituendo e moltiplicando il secondo membro per dt e dividendo il primo per v otteniamo
$(dv)/v=-((B^2L^2 - MgR)/(R(M-m)))dt$
e quindi poichè la velocità iniziale al tempo t=0 è 0
$ int_(0)^(v) (dv)/v = -((B^2L^2 - MgR)/(R(M-m))) int_(0)^(t) dt $
e abbiamo adesso $logv=-t/tau$ con $tau=(R(M-m))/(B^2L^2-MgR)$
Infine dalla definizione di logaritmo abbiamo che $v=e^-(t/tau)$
Visto che il verso del campo magnetico B uniforme è verso l'alto e considerando che poichè il blocco M ha massa maggiore della sbarra sicuramente la sbarretta si muoverà verso sinistra e quindi ci sarà una forza che metterà in moto le cariche della sbarra in modo da creare una corrente I con verso Orario in accordo con la legge di Lenz. Vi sarà quindi una forza $F_B$ che si opporrà al moto ma avente la stessa direzione. Dalla meccanica ricaviamo che
SBARRA
$ sum F_y=0 $
$ sum F_x=T-F_B=ma $
BLOCCO
le forze lungo x non ci interessano
$ sum F_y=T-Mg=Ma $
Ci ricaviamo T dalla seconda e troviamo che T=Ma+Mg che sostituiamo in quella della sbarra e otteniamo facendo i relativi calcoli $ (M-m)a=F_B - Mg$
Ora poichè ci interessa la velocità in funzione del tempo sappiamo che $ a=(dv)/dt$,$F_B=ILB$ e$ I=(BLv)/R $sostituendo e moltiplicando il secondo membro per dt e dividendo il primo per v otteniamo
$(dv)/v=-((B^2L^2 - MgR)/(R(M-m)))dt$
e quindi poichè la velocità iniziale al tempo t=0 è 0
$ int_(0)^(v) (dv)/v = -((B^2L^2 - MgR)/(R(M-m))) int_(0)^(t) dt $
e abbiamo adesso $logv=-t/tau$ con $tau=(R(M-m))/(B^2L^2-MgR)$
Infine dalla definizione di logaritmo abbiamo che $v=e^-(t/tau)$
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