Problemi con le notazioni fluidodinamica
Buongiorno potreste aiutarmi?
La questione è questa, sto studiando il problema della stabilità lineare della soluzione stazionaria nel modello di Darcy. Ora descriverò il problema dal quale la domanda vien fuori, ma sarà solo per completezza. Capirete che il problema che mi pongo è molto più elementare.
Linearizzando il sistema di partenza (che non riscrivo) e supponendo che le perturbazioni siano periodiche nelle direzioni x e y posso restringere il problema alla cella di periodicità $\Omega_0=(0,\frac{2*\pi}{a_x})\times(0,\frac{2*\pi}{a_y})\times(0,1)$ con $a_x$ e $a_y$ due numeri reali positivi.
\begin{equation}
\begin{cases}
\textbf{u_t}=-\nabla p+R\theta\textbf{k}+\Delta \textbf{u} \\
A\theta_t=Rw+\Delta \theta \\
\nabla \cdot \textbf{u}=0
\end{cases}
\end{equation}
Supposto ora che le perturbazioni siano della forma
$f(\textbf{x},t)=e^{-\sigma t} f_0(\textbf{x})$
il sistema diventa
\begin{equation}
\begin{cases}
-\sigma\textbf{u}=-\nabla p+R\theta\textbf{k}+\Delta \textbf{u} \\
-\sigma A\theta=Rw+\Delta \theta \\
\nabla \cdot \textbf{u}=0
\end{cases}
\end{equation}
questo è un problema agli autovalori generalizzati e voglio far vedere che gli autovalori dell'operatore sono tutti reali.
Facendo un po di cose e usando i dati iniziali, che non ho neanche scritto, si arriva a
\begin{equation}
\begin{cases}
-\sigma \left\lVert\textbf{u}\right\rVert^2=R(\theta,w)- \left\lVert \nabla\textbf{u}\right\rVert^2\\
-\sigma A \left\lVert\theta\right\rVert^2=R(\theta,w)- \left\lVert \nabla\theta\right\rVert^2\
\end{cases}
\end{equation}
dove
\[ \left\lVert\textbf{u}\right\rVert^2=\int_{\Omega_0} \textbf{u}\cdot \textbf{u} d\Omega \] ovvero la norma indotta dal prodotto scalare in L^2(\Omega).
La domanda è molto semplice essendo \textbf{u} una funzione (vettoriale) in 4 variabili 3 spaziali e una temporale, quella norma è davvero una norma? Da quell'integrale non dovrebbe venir fuori una funzione di t e non un numero? (va da se che la domanda è la stessa anche per theta)
Grazie in anticipo della risposta
La questione è questa, sto studiando il problema della stabilità lineare della soluzione stazionaria nel modello di Darcy. Ora descriverò il problema dal quale la domanda vien fuori, ma sarà solo per completezza. Capirete che il problema che mi pongo è molto più elementare.
Linearizzando il sistema di partenza (che non riscrivo) e supponendo che le perturbazioni siano periodiche nelle direzioni x e y posso restringere il problema alla cella di periodicità $\Omega_0=(0,\frac{2*\pi}{a_x})\times(0,\frac{2*\pi}{a_y})\times(0,1)$ con $a_x$ e $a_y$ due numeri reali positivi.
\begin{equation}
\begin{cases}
\textbf{u_t}=-\nabla p+R\theta\textbf{k}+\Delta \textbf{u} \\
A\theta_t=Rw+\Delta \theta \\
\nabla \cdot \textbf{u}=0
\end{cases}
\end{equation}
Supposto ora che le perturbazioni siano della forma
$f(\textbf{x},t)=e^{-\sigma t} f_0(\textbf{x})$
il sistema diventa
\begin{equation}
\begin{cases}
-\sigma\textbf{u}=-\nabla p+R\theta\textbf{k}+\Delta \textbf{u} \\
-\sigma A\theta=Rw+\Delta \theta \\
\nabla \cdot \textbf{u}=0
\end{cases}
\end{equation}
questo è un problema agli autovalori generalizzati e voglio far vedere che gli autovalori dell'operatore sono tutti reali.
Facendo un po di cose e usando i dati iniziali, che non ho neanche scritto, si arriva a
\begin{equation}
\begin{cases}
-\sigma \left\lVert\textbf{u}\right\rVert^2=R(\theta,w)- \left\lVert \nabla\textbf{u}\right\rVert^2\\
-\sigma A \left\lVert\theta\right\rVert^2=R(\theta,w)- \left\lVert \nabla\theta\right\rVert^2\
\end{cases}
\end{equation}
dove
\[ \left\lVert\textbf{u}\right\rVert^2=\int_{\Omega_0} \textbf{u}\cdot \textbf{u} d\Omega \] ovvero la norma indotta dal prodotto scalare in L^2(\Omega).
La domanda è molto semplice essendo \textbf{u} una funzione (vettoriale) in 4 variabili 3 spaziali e una temporale, quella norma è davvero una norma? Da quell'integrale non dovrebbe venir fuori una funzione di t e non un numero? (va da se che la domanda è la stessa anche per theta)
Grazie in anticipo della risposta
Risposte
Magari dico una cappellata, ma se cerchi una soluzione del tipo $e^{-\sigma t} u(x)$, quella 'u' che ti rimane non è solo funzione di x ? La dipendenza temporale la dovresti aver messa tutta dentro l'esponenziale. E' l'unica cosa che riesco a dirti perché non ci ho capito nulla se no 
Ma se cerchi le soluzioni di equilibrio quell'ingresso u mantiene il suo valore iniziale, quindi non è funzione del tempo
Buongiorno e grazie ad entrambi aver risposto 
.
Ma non credo che siate sulla buona strada.
Per dRic:
L'osservazione è intelligente ma non credo che sia la risposta che cerco. Perché in questo caso posso separare la dipendenza spaziale da quella temporale solo perché ho linearizzato il sistema di partenza (quello che non ho scritto).
Per fare un'altro esempio di dove mi compare questa "norma", quando si studia la stabilità della soluzione di conduzione si prende questa funzione:
\begin{equation}
V=\frac{A}{2}\left\lVert \theta \right\rVert^2
\end{equation}
dove A è una costante positiva (numero di Prandtl). Qui è ancora più evidente che c'è una dipendenza dal tempo che rimane "appesa" ( ma potrebbe essere perché si lascia variare $\theta$ ).
Per Lucas:
Il punto sopra risponde un po' a quella che è la tua osservazione. Io non sto cercando la soluzione stazionaria ( quello lo si fa molto facilmente ponendo la velocità costantemente uguale a 0) ma mi sto interrogando sulla stabilità della stessa in relazione al parametro R ( numero di Reyleigh ).
Mi sto sempre più convincendo che devo vedere quella norma come una funzione di t, ma che una volta fissato t valgano tutte le proprietà della norma.
.Ma non credo che siate sulla buona strada.
Per dRic:
L'osservazione è intelligente ma non credo che sia la risposta che cerco. Perché in questo caso posso separare la dipendenza spaziale da quella temporale solo perché ho linearizzato il sistema di partenza (quello che non ho scritto).
Per fare un'altro esempio di dove mi compare questa "norma", quando si studia la stabilità della soluzione di conduzione si prende questa funzione:
\begin{equation}
V=\frac{A}{2}\left\lVert \theta \right\rVert^2
\end{equation}
dove A è una costante positiva (numero di Prandtl). Qui è ancora più evidente che c'è una dipendenza dal tempo che rimane "appesa" ( ma potrebbe essere perché si lascia variare $\theta$ ).
Per Lucas:
Il punto sopra risponde un po' a quella che è la tua osservazione. Io non sto cercando la soluzione stazionaria ( quello lo si fa molto facilmente ponendo la velocità costantemente uguale a 0) ma mi sto interrogando sulla stabilità della stessa in relazione al parametro R ( numero di Reyleigh ).
Mi sto sempre più convincendo che devo vedere quella norma come una funzione di t, ma che una volta fissato t valgano tutte le proprietà della norma.
Be allora si è come dici, t è fissato nella norma, altrimenti non è una norma
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