Problemi con fisica.

[Sadown]

Salve a tutti,
avrei bisogno di una mano a comprendere un concetto riguardante la relatività ristretta.
Sul mio testo è riportata una grandezza chiamata "Intervallo invariante" ed è definita da questa formula:
$(\sigma)^2$ = $(c*\Deltat)^2$ - $(\Deltas)^2$
Matematicamente parlando, $(\sigma)^2$ dovrà essere sempre maggiore di o uguale a 0, poichè è una quantità elevata al quadrato.
Invece fisicamente parlando, $(c*\Deltat)^2$ - $(\Deltas)^2$ deve essere sempre maggiore di o uguale a 0, poichè altrimenti non avrebbe senso ( come fa un corpo a percorrere più distanza, in un lasso di tempo t, della luce?).
Però, quando il mio testo ( e non solamente, anche tutte le altre fonti consultate) discute il segno di $(\sigma)^2$, prende in considerazione anche il caso in cui <0. Non solo lo prende in considerazione, ma gli da un nome (intervallo di tipo spazio) ed è pure scritta questa relazione: $\DeltaL$ = $sqrt(-(\Delta\sigma)^2)$ , il che non è possibile.
La domanda quindi è, perchè? Perchè trattare un caso impossibile sia matematicamente sia fisicamente ? Qual è il senso se non potrà mai esistere?.
Grazie per l'attenzione e per le eventuali risposte!

[Shackle]

"Sadown":Salve a tutti,
avrei bisogno di una mano a comprendere un concetto riguardante la relatività ristretta.
Sul mio testo è riportata una grandezza chiamata "Intervallo invariante" ed è definita da questa formula:
$(\sigma)^2$ = $(c*\Deltat)^2$ - $(\Deltas)^2$

Ciao, benvenuto nel forum. La Relatività è una branca della fisica, cosiddetta moderna, che va insegnata e quindi imparata passo dopo passo; non sono difficili le formule, ma i concetti, perchè spazio e tempo di newtoniana memoria perdono il loro senso di assoluto, invece è la loro fusione nello spaziotempo, fatta in una certa maniera, che assume il carattere di assoluto (ammesso che a questo mondo qualcosa di assoluto possa esistere...).

Io non credo che il tuo testo spari la formula dell’intervallo invariante senza fare dapprima alcune dovute precisazioni e dare alcune necessarie definizioni. Ad esempio, ti hanno spiegato che cosa si intende per spaziotempo a 4 dimensioni, di cui una temporale e 3 spaziali? Ti hanno illustrato il concetto di “evento” in questo spaziotempo, e cioè di qualcosa che accade, rispetto ad Osservatore inerziale che ha un suo sistema di riferimento, nel quale esegue misure di tempo con un certo orologio, e misure di spazio con un certo metro, in un dato istante del suo tempo (newtoniano) e in un certo punto del suo spazio (newtoniano) ? Se non parti da questi concetti, non arrivi da nessuna parte. Esempio banale : se io scaglio ora una pietra , questo è un evento nello ST , che ha per me la coordinata temporale segnata dal mio orologio da polso, e ha tre coordinate spaziali (prendiamo le cartesiane per semplicità) rispetto ad un riferimento, che potrebbe essere costituito dai tre spigoli della mia stanza.
Chiamo A questo evento.
Dopo un pò di tempo , la pietra colpisce la parete che ho di fronte: chiamo B questo secondo evento. Tra A e B ho un certo tempo $Deltat$ segnato dal mio orologio, che dipende dalla velocità della pietra, che suppongo costante, e un certo spazio $Deltax$ (di solito si considera una sola coordinata spaziale e la si indica con $x$). Naturalmente : $v = (Deltax)/(Deltat)$ ( trascuro ogni questione riguardante la gravità, suppongo che il lancio sia perfettamente rettilineo, come sarebbe nella ISS per intenderci). Allora, l’intervallo tra i due eventi A e B, in relatività , è dato da :

$(Delta\sigma)^2 = (cDeltat)^2 - (Deltax)^2 $

in questo esempio, siccome $c>v$ , si ha :

$(Delta\sigma)^2 = (cDeltat)^2 - (vDeltat)^2 = (c^2-v^2) Deltat^2 >0 $

e su questo non ci piove. Tieni in conto che tra A e B c’è una relazione di causa-effetto.
Sottolineo che banalmente, quando si parla di intervallo (in relatività , ma non solo, anche in fisica non relativistica) bisogna specificare “intervallo tra quali estremi? Due punti nello spazio? Due istanti di tempo? Oppure due eventi nello spaziotempo, nel qualcosa sarebbe più corretto parlare di 4-intervallo? (nb : è un vettore a 4 componenti, ma non voglio complicarti la vita ora)

Matematicamente parlando, $(\sigma)^2$ dovrà essere sempre maggiore di o uguale a 0, poichè è una quantità elevata al quadrato.

Tieni presente che $(\sigma)^2$ è definita dal secondo membro, dove c’è una differenza tra due termini. Quella differenza può essere positiva, nulla , o negativa. Lo vediamo nel seguito il significato fisico.

Ma ti faccio una domanda : matematicamente parlando, non posso avere questa quantità :

$3^2 -5^2 = - 16= -4^2$

e quindi dire che $ sqrt(-(-16)) =4$ ???

certo che posso, perché no?

Invece fisicamente parlando, $(c*\Deltat)^2$ - $(\Deltas)^2$ deve essere sempre maggiore di o uguale a 0, poichè altrimenti non avrebbe senso ( come fa un corpo a percorrere più distanza, in un lasso di tempo t, della luce?).

Nessun corpo materiale può avere velocità (relativamente a un certo osservatore inerziale) maggiore di $c$ ; quindi in tal caso l’intervallo si dice “di tipo tempo” .Ti ho fatto un esempio prima.

Ma gli eventi possono anche non avere nulla a che vedere gli uni con gli altri. Ti faccio un esempio di un 4-intervallo NULLO , che cioè ha modulo uguale a 0 . Supponi che 2.5 milioni di anni fa è esplosa una supernova nella galassia di Andromeda, che dista dalla Terra 2.5M di anni luce ( supponiamo che sia in quiete rispetto alla Terra) . Tu la vedi oggi. Quanto vale il 4-intervallo tra i due eventi:

A= la supernova esplode
B= ricevo il segnale visivo dell’esplosione

??

Se prendi la formula del 4- intervallo, devi mettere anche $ Deltax = cDeltat$ , perchè la luce viaggia alla velocità della luce ! E allora il 4-intervallo ha modulo $=0$ : si chiama appunto 4-intervallo di tipo luce, perchè solo per la luce, o comunque particelle che viaggiano a $c$, può aversi questo.

Però, quando il mio testo ( e non solamente, anche tutte le altre fonti consultate) discute il segno di $(\sigma)^2$, prende in considerazione anche il caso in cui <0. Non solo lo prende in considerazione, ma gli da un nome (intervallo di tipo spazio) ed è pure scritta questa relazione: $\DeltaL$ = $sqrt(-(\Delta\sigma)^2)$ , il che non è possibile.

E perchè pensi che non sia possibile? Riprendo l’esempio matematico che ho fatto prima, e assumo $c=1$ come fanno i relativisti. Due eventi A e B, indipendenti uno dall’altro, separati da $Deltat = 3 $ e $Deltax=5$ , hanno un 4-intervallo (al quadrato) :

$( Delta \sigma)^2 = 9 - 25 = -16 $

da cui $Delta\sigma = sqrt(-(-16)) = 4 $

La situazione è rappresentata, in un diagramma spazio (ascissa), tempo (ordinata) [nota]forse non ti ho detto che questo tipo di diagramma si incontra molto spesso in RR , si chiama diagramma di Minkowski, il quale ha introdotto l’uso dei 4-vettori nella materia.[/nota], in questo disegno:

è chiaro che non c’è nessun punto materiale mobile che può coprire la distanza $Deltax=5$ in un tempo inferiore a quello che impiegherebbe la luce; infatti dovrebbe essere : $v= 5/3 >1=c$ , e non è possibile. Ecco perché ho detto che i due eventi sono indipendenti uno dall’altro , non ci può essere tra loro alcuna relazione di causa $rarr$effetto. Tu potresti dirmi: ma AB non è l’ipotenusa di un triangolo rettangolo, non devo applicare il teorema di Pitagora per calcolarne la lunghezza ? La risposta è NO , quello é disegnato come un triangolo rettangolo sulla carta, ma la geometria del piano $(x,t)$ non è euclidea, la lunghezza di AB , che è il modulo del 4-intervallo, non si calcola col teorema di Pitagora della geometria euclidea, bensì con la formula data per l’intervallo; è una geometria che si dice iperbolica.

Nel disegno seguente :

ho rappresentato un caso ancora più estremo, ho preso i due eventi A e B su una parallela all’asse $x$ ; il $Deltat=0$ tra essi, questi due eventi si dicono simultanei per l’osservatore. Il 4- intervallo è ancora di tipo spazio. Fa’ attenzione, eventi simultanei non vuol dire che tu li “vedi” allo stesso istante del tuo tempo. Per esempio, A potrebbe essere l’impatto di un asteroide su Marte, B l’impatto di un asteroide su Giove. Posso essere contemporanei (per te, ma non per un altro OI in moto rispetto a te) , ma TU li vedi in tempi diversi, devi dare alla luce il tempo (tuo) di spostarsi dai due eventi e raggiungerti. Ma qui la cosa si complica con l’idea dei coni di luce, e non voglio mettere altra carne al fuoco.

Ma ora è tempo di fermarmi, aspetto tue risposte. Nel frattempo, ti metto un link dove queste cose sono spiegate in dettaglio e molto meglio di quanto sappia fare io. Leggi in particolare il paragrafo 5.8 sulla natura degli intervalli.

https://www.springer.com/cda/content/do ... p173848449

Inoltre ti do il link ad un libro di Taylor e Wheeler, scaricabile liberamente, che sembra divulgativo ma non lo è:

http://www.eftaylor.com/spacetimephysics/

Per arrivare a pag 172, paragrafo 6.2 , non è necessario leggere tutto il precedente...ma per uno studio iniziale serio della materia è bene guardare tutto.