Problema urto elastico

[wanderer1]

Salve,
di recente mi sono imbattuto in questo problema:

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Il fatto è che mi vengono risultati differenti e proprio non riesco a capire dove sbaglio. Il mio procedimento è il seguente:

osservo prima di tutto che si conserva l'energia cinetica, visto che l'urto è elastico, e oltretutto si conserva il momento angolare del sistema se si usa come polo un punto lungo la verticale passante per il baricentro della semisfera, io ho preso la proiezione del baricentro sul piano. Inoltre si conserva la quantità di moto lungo l'asse x.

$1/2 m_1 v_0^2 = 1/2 m_2 v_s^2 + 1/2 m_1 (v_x^2 + v_z^2)$, con $v_x$ e $v_z$ componenti della velocità della sferetta dopo l'urto

$m_2 |v_s| = m_ 1 |v_x|$ per la conservazione della quantità di moto lungo l'asse x

$L_0 = m_1 v_0 R sin \theta$

$L_1 = (R cos \theta - 3/8 R) m_2 v_s - m_1 v_z R sin \theta $
con $L_0 = L_1$ i momenti angolari prima e dopo l'urto

Alla fine però a me vengono come risultati: $p_x = 0.145 $ Kg m/s, $p_z = -0.152$ Kg m/s
Dove si annida l'errore infame?
Grazie infinite per l'attenzione

EDIT: ho trovato l'errore, sta nell'assunto della conservazione del momento angolare. Dovevo solo considerare che l'impulso subito dalla sferetta è perpendicolare alla superficie... ciò nonostante mi chiedo il perché non valga la conservazione del momento angolare. Mi viene infatti da pensare che la reazione del piano su cui posa la semisfera sia verticale e agisca direttamente sul baricentro di quest'ultima... o no?

[anonymous_0b37e9]

"wanderer":
... mi chiedo il perché non valga la conservazione del momento angolare. Mi viene infatti da pensare che la reazione del piano su cui posa la semisfera sia verticale e agisca direttamente sul baricentro di quest'ultima ...

Se così fosse la semisfera ruoterebbe, visto che la forza con la quale essa interagisce con la pallina nel corso dell'urto ha momento non nullo rispetto al suo centro di massa. Veramente, nel corso dell'urto, la distribuzione della pressione sulla superficie circolare di appoggio è tale da assicurare l'equilibrio della semisfera alla rotazione nel piano x-z e alla traslazione lungo l'asse z.

[wanderer1]

Ok, grazie

[Shackle]

Questo problema mi lascia perplesso, ecco perché . L' urto elastico, in cui si conserva energia e qdm , è talmente breve che la massa in caduta dovrebbe rimbalzare , dopo l' urto, in direzione iniziale perfettamente orizzontale, no ? E con velocità di modulo uguale a quella di impatto. Quindi non mi spiego quei valori delle componenti della qdm dopo l'urto.

Vorrei sapere da Wanderer come ha risolto il problema, e vorrei il parere di Sp Elias, se non vi dispiace.

[anonymous_0b37e9]

Ciao Shackle. La forza con la quale la semisfera interagisce con la pallina nel corso dell'urto, in assenza di attrito, è diretta lungo il raggio. Della pallina si conserva la proiezione della quantità di moto lungo la direzione perpendicolare al raggio medesimo, la direzione tangente al profilo per intenderci.

[wanderer1]

Io ho considerato appunto che l'impulso subito dalla sferetta è diretta lungo il raggio. Quindi, dato che l'angolo è di $pi/4$, la variazione della quantità di moto lungo l'asse x è uguale alla variazione della quantità di moto lungo l'asse z nella sferetta. Alle prime due equazioni che ho scritto, ho aggiunto:
$v_x = v_0 + v_z$

[Shackle]

Si, su questo ci sono, la variazione della Q dm totale è radiale. Vorrei da wanderer i conti per favore

[anonymous_0b37e9]

Uno dei due versori che individuano la direzione lungo la quale si conserva la quantità di moto della pallina è:

$[vecd=sqrt2/2veci-sqrt2/2veck]$

Quindi:

$[vec(v_i)=-v_0veck] ^^ [vec(v_f)=v_(fx)veci+v_(fz)veck] rarr [sqrt2/2v_0=sqrt2/2v_(fx)-sqrt2/2v_(fz)]
rarr [v_0=v_(fx)-v_(fz)]$

[Shackle]

D'accordo, la componente della q.m. Di $m_1$ in direzione tangente alla semisfera deve conservarsi :

$m_1v_0 (sqrt2)/2="cost"$

Da cui , con i passaggi vettoriali da te indicati, si arriva a :

$ v_0 = v_(fx)-v_(fz)$

Però non finisce qui, mi pare. C'è ancora la conservazione della qm in direzione orizzontale:

$m_2v_s = m_1v_(fx)$

e la conservazione dell'energia , per cui:

$m_1v_0^2 = m_2v_s^2 + m_1v_f^2 $

Giusto?

[anonymous_0b37e9]

Ok. Con le mie notazioni:

$[vec(v_f)=v_(fx)veci+v_(fz)veck] ^^ [vec(v_s)=v_sveci]$

avrei scritto la conservazione della quantità di moto totale lungo l'asse orizzontale come:

$[m_1v_(fx)+m_2v_s=0]$

[Shackle]

Ok, ci sono, grazie