Problema Urti
Salve,
non riesco a svolgere il punto b) di questo problema
Una piccola molla di costante elastica 3.85 N/m è compressa di 0.08 m e tenuta tra due blocchi di massa 0.250 kg e 0.500 kg,entrambi in quiete su una superficie orizzontale.I blocchi sono lasciati quindi liberi di muoversi e la molla li allontana l uno dall altro.Si trovi la velocita massima raggiunta da ciascun blocco se il coefficente di attrito dinamico con la superficie di ciascun blocco è a)0 , b) 0.100. Si assuma che il coefficente di attrito statico sia maggiore di quello di attrito dinamico
Per il punto a) ho fatto cosi:
Urto anelastico e poi conservazione dell energia meccanica
per fare il b) volevo mettere l attrito come lavoro esterno nella formula della conservazione dell energia ma per fare questo mi servirebbe la distanza che percorrono i blocchi.
come mi devo muovere?
Grazie a tutti
non riesco a svolgere il punto b) di questo problema
Una piccola molla di costante elastica 3.85 N/m è compressa di 0.08 m e tenuta tra due blocchi di massa 0.250 kg e 0.500 kg,entrambi in quiete su una superficie orizzontale.I blocchi sono lasciati quindi liberi di muoversi e la molla li allontana l uno dall altro.Si trovi la velocita massima raggiunta da ciascun blocco se il coefficente di attrito dinamico con la superficie di ciascun blocco è a)0 , b) 0.100. Si assuma che il coefficente di attrito statico sia maggiore di quello di attrito dinamico
Per il punto a) ho fatto cosi:
Urto anelastico e poi conservazione dell energia meccanica
per fare il b) volevo mettere l attrito come lavoro esterno nella formula della conservazione dell energia ma per fare questo mi servirebbe la distanza che percorrono i blocchi.
come mi devo muovere?
Grazie a tutti
Risposte
Il testo non è chiarissimo. Con le soluzioni posso interpretarlo meglio.
La chiave di questo problema sta nel fatto che siccome la molla è una forza interna al sistema dei due blocchi, il baricentro di questi non si muove. Pertanto se chiamiamo [tex]\Delta L[/tex] l'allungamento della molla dal momento iniziale al momento nel quale è completamente distesa ([tex]\Delta L[/tex]=0,08m), lo spostamento di ciascun blocco può essere posto in funzione di [tex]\Delta L[/tex]. Chiamo m la massa del blocco minore, M la massa del blocco maggiore, [tex]\left| {\Delta {x_1}} \right|[/tex] lo spostamento del blocco minore e [tex]\left| {\Delta {x_2}} \right|[/tex] lo spostamentodel blocco maggiore. Sussistono dunque le seguenti relazioni:
[tex]\begin{array}{l}
\\
M{V_2} + m{V_1} = 0 \\
\\
M\Delta {x_2} + m\Delta {x_1} = 0 \\
\\
\left| {\Delta {x_2}} \right| = \frac{m}{M}\left| {\Delta {x_1}} \right| \\
\\
\left| {\Delta {x_1}} \right| + \left| {\Delta {x_2}} \right| = \Delta L \\
\\
\left| {\Delta {x_1}} \right| = \frac{M}{{m + M}}\Delta L \\
\\
\left| {\Delta {x_2}} \right| = \frac{m}{{m + M}}\Delta L \\
\\
\end{array}[/tex]
Nel momento in cui la molla è completamente distesa, l'energia liberata è già stata parzialmente consumata dall'attrito, secondo la formula del lavoro. Questo lavoro è pari al prodotto della forza di attrito di ciascun blocco per lo spostamento dello stesso. Detto [tex]\rho[/tex] il coefficiente di attrito dinamico, alla completa distensione della molla si ha la seguente energia residua:
[tex]U = \frac{1}{2}k\Delta {L^2} - {F_1}\left| {\Delta {x_1}} \right| - {F_2}\left| {\Delta {x_2}} \right|[/tex]
ovvero facendo le sostituzioni:
[tex]U = \frac{1}{2}k\Delta {L^2} - mg\rho \frac{M}{{m + M}}\Delta L - Mg\rho \frac{m}{{m + M}}\Delta L = \frac{1}{2}k\Delta {L^2} - 2\frac{{mMg\rho }}{{m + M}}\Delta L[/tex]
Eguagliando questa all'energia cinetica acquisita dai due blocchi si possono calcolare le velocità in quel momento, che sono anche le velocità massime:
[tex]\begin{array}{l}
\\
U = {E_c} \\
\\
\frac{1}{2}k\Delta {L^2} - 2\frac{{mMg\rho }}{{m + M}}\Delta L = \frac{1}{2}\frac{m}{M}\left( {m + M} \right){V_1}^2 \\
\\
k\Delta {L^2} - 4\frac{{mMg\rho }}{{m + M}}\Delta L = \frac{m}{M}\left( {m + M} \right){V_1}^2 \\
\\
\frac{{Mk\Delta {L^2}}}{{m\left( {m + M} \right)}} - \frac{{4{M^2}\rho g\Delta L}}{{{{\left( {m + M} \right)}^2}}} = {V_1}^2 \\
\\
\left| {{V_1}} \right| = \sqrt {\frac{{Mk\Delta {L^2}}}{{m\left( {m + M} \right)}} - \frac{{4{M^2}\rho g\Delta L}}{{{{\left( {m + M} \right)}^2}}}} \\
\\
\left| { {V_2}} \right| = \frac{m}{M}\left| { {V_1}} \right| = \sqrt {\frac{{mk\Delta {L^2}}}{{M\left( {m + M} \right)}} - \frac{{4{m^2}\rho g\Delta L}}{{{{\left( {m + M} \right)}^2}}}} \\
\\
\end{array}[/tex]
[tex]\begin{array}{l}
\\
M{V_2} + m{V_1} = 0 \\
\\
M\Delta {x_2} + m\Delta {x_1} = 0 \\
\\
\left| {\Delta {x_2}} \right| = \frac{m}{M}\left| {\Delta {x_1}} \right| \\
\\
\left| {\Delta {x_1}} \right| + \left| {\Delta {x_2}} \right| = \Delta L \\
\\
\left| {\Delta {x_1}} \right| = \frac{M}{{m + M}}\Delta L \\
\\
\left| {\Delta {x_2}} \right| = \frac{m}{{m + M}}\Delta L \\
\\
\end{array}[/tex]
Nel momento in cui la molla è completamente distesa, l'energia liberata è già stata parzialmente consumata dall'attrito, secondo la formula del lavoro. Questo lavoro è pari al prodotto della forza di attrito di ciascun blocco per lo spostamento dello stesso. Detto [tex]\rho[/tex] il coefficiente di attrito dinamico, alla completa distensione della molla si ha la seguente energia residua:
[tex]U = \frac{1}{2}k\Delta {L^2} - {F_1}\left| {\Delta {x_1}} \right| - {F_2}\left| {\Delta {x_2}} \right|[/tex]
ovvero facendo le sostituzioni:
[tex]U = \frac{1}{2}k\Delta {L^2} - mg\rho \frac{M}{{m + M}}\Delta L - Mg\rho \frac{m}{{m + M}}\Delta L = \frac{1}{2}k\Delta {L^2} - 2\frac{{mMg\rho }}{{m + M}}\Delta L[/tex]
Eguagliando questa all'energia cinetica acquisita dai due blocchi si possono calcolare le velocità in quel momento, che sono anche le velocità massime:
[tex]\begin{array}{l}
\\
U = {E_c} \\
\\
\frac{1}{2}k\Delta {L^2} - 2\frac{{mMg\rho }}{{m + M}}\Delta L = \frac{1}{2}\frac{m}{M}\left( {m + M} \right){V_1}^2 \\
\\
k\Delta {L^2} - 4\frac{{mMg\rho }}{{m + M}}\Delta L = \frac{m}{M}\left( {m + M} \right){V_1}^2 \\
\\
\frac{{Mk\Delta {L^2}}}{{m\left( {m + M} \right)}} - \frac{{4{M^2}\rho g\Delta L}}{{{{\left( {m + M} \right)}^2}}} = {V_1}^2 \\
\\
\left| {{V_1}} \right| = \sqrt {\frac{{Mk\Delta {L^2}}}{{m\left( {m + M} \right)}} - \frac{{4{M^2}\rho g\Delta L}}{{{{\left( {m + M} \right)}^2}}}} \\
\\
\left| { {V_2}} \right| = \frac{m}{M}\left| { {V_1}} \right| = \sqrt {\frac{{mk\Delta {L^2}}}{{M\left( {m + M} \right)}} - \frac{{4{m^2}\rho g\Delta L}}{{{{\left( {m + M} \right)}^2}}}} \\
\\
\end{array}[/tex]
Il centro di massa del sistema si muove come un punto materiale nel quale è concentrata tutta la massa e sul quale agiscono tutte le forze esterne al sistema. Le forze di attrito sono da considerarsi esterne e, come tu stesso hai mostrato, non essendo uguali e opposte, hanno risultante diverso da zero. Non dovrebbe essere molto più complicato tenere conto anche di questo.
Cassssspita! Sono stato lontano dal forum per troppo tempo, devo essermi arrugginito, sto inanellando "distrazioni" a ripetizione 
Hai perfettamente ragione speculor, però tener conto della velocità del CM non mi pare affatto immediato e mi sembra strano che l'esercizio voglia portare lo studente in tali complicazioni.
Ad ogni modo la mia soluzione di prima (che mi pare esatta nel particolare caso di attrito zero), forse la possiamo salvare dicendo che le velocità così calcolate sono quelle relative valutate in un sistema solidale col CM (su questo ho frettolosamente buttato giù una dimostrazione che però non riporto qui per mancanza di tempo). Dunque per calcolare le velocità assolute, ad esse va aggiunta/sottratta la velocità del CM nel momento di massima estensione della molla. Anche qui credo di aver trovato una soluzione, ma il tempo è tiranno. Tutto ciò con beneficio di inventario su ulteriori eventuali cavolate aggiunte
Hai perfettamente ragione speculor, però tener conto della velocità del CM non mi pare affatto immediato e mi sembra strano che l'esercizio voglia portare lo studente in tali complicazioni.
Ad ogni modo la mia soluzione di prima (che mi pare esatta nel particolare caso di attrito zero), forse la possiamo salvare dicendo che le velocità così calcolate sono quelle relative valutate in un sistema solidale col CM (su questo ho frettolosamente buttato giù una dimostrazione che però non riporto qui per mancanza di tempo). Dunque per calcolare le velocità assolute, ad esse va aggiunta/sottratta la velocità del CM nel momento di massima estensione della molla. Anche qui credo di aver trovato una soluzione, ma il tempo è tiranno. Tutto ciò con beneficio di inventario su ulteriori eventuali cavolate aggiunte
Non ti nascondo che stavo per avere la stessa amnesia. Adesso che ci penso, può essere abbia sottostimato la difficoltà della risoluzione tenendo conto anche di questo. Su questo ci aggiorniamo.
In ogni modo, io avevo notato che, se veramente il coefficiente di attrito statico fosse maggiore di quello dinamico, il blocco di massa maggiore non dovrebbe nemmeno muoversi. Infatti, supponendo anche solo un valore uguale a quello dinamico, la massima forza di attrito statico che agirebbe sul blocco di massa maggiore sarebbe data dalla seguente formula:
$F_a = \mu_smg = 0,1*0,5*9,8 = 0,49 N$
Del resto, la massima forza esercitata dalla molla si ha nella situazione iniziale e vale:
$F_e = kx = 3,85*0,08 = 0,308 N$
Per questo scrivevo di testo non chiarissimo. Non mi è chiaro se, volutamente, si volesse tendere un trabocchetto.
In ogni modo, io avevo notato che, se veramente il coefficiente di attrito statico fosse maggiore di quello dinamico, il blocco di massa maggiore non dovrebbe nemmeno muoversi. Infatti, supponendo anche solo un valore uguale a quello dinamico, la massima forza di attrito statico che agirebbe sul blocco di massa maggiore sarebbe data dalla seguente formula:
$F_a = \mu_smg = 0,1*0,5*9,8 = 0,49 N$
Del resto, la massima forza esercitata dalla molla si ha nella situazione iniziale e vale:
$F_e = kx = 3,85*0,08 = 0,308 N$
Per questo scrivevo di testo non chiarissimo. Non mi è chiaro se, volutamente, si volesse tendere un trabocchetto.
Io nei trabocchetti di questo tipo rischio di caderci perché di solito i numeri li metto nelle formule solo alla fine.
In effetti quanto dici pare corretto, per cui se il blocco grande resta fermo il problema è semplice, anzi più che di un problema si tratta di un pacco.
Ad ogni modo così si spiegherebbe tutto, mi pareva impossibile che si richiedesse una soluzione generale di questo problema.
In effetti quanto dici pare corretto, per cui se il blocco grande resta fermo il problema è semplice, anzi più che di un problema si tratta di un pacco.
Ad ogni modo così si spiegherebbe tutto, mi pareva impossibile che si richiedesse una soluzione generale di questo problema.
Condivido pienamente. Nel frattempo non mi rimane che apprezzare la tua simpatia e l'eleganza della tua prima risoluzione.
Visto che ho un po' di tempo, cerco di sopperire alla mancanza giustificando la seguente affermazione:
In realtà ho solo scoperto l'acqua calda, perché credo siano risultati ben noti nella meccanica dei sistemi di particelle. Però siccome alla memoria ormai mi posso affidare ben poco, anche riscoprire certe cose mi diverte.
Ebbene, siano due masse m1 e m2 collegate da una molla e soggette a forze esterne quali ad esempio gli attriti.
Il mio scopo è dimostrare che nel sistema relativo al CM si può applicare l'uguaglianza lavoro = variazione di energia cinetica. In tal caso i risultati del mio post nel quale ho calcolato le velocità dei due corpi ipotizzando (erroneamente) fermo il CM, acquistano valore di velocità relative rispetto al medesimo, poiché ho appunto applicato l'eguaglianza inerente il lavoro-energia al sistema relativo.
Per semplicità tratto solo 2 corpi ma la conclusione si può estendere facilmente a sommatorie di n corpi.
Vado con le equazioni.
Il pedice 1 si riferisce al corpo 1, il pedice 2 al corpo 2, il pedice 12 riferito alla'ascissa x si riferisce alla posizione relativa dei due corpi ovvero l'ascissa del primo meno l'ascissa del secondo, il pedice r ha significato di grandezza relativa al sistema CM, il pedice e significa esterno (riferito a una forza che agisce su un corpo del sistema provenendo dall'esterno) il pedice i significa interno (riferito a forza tra i corpi del sistema).
[tex]\begin{array}{l}
dW = {F_1}\left( {d{x_{1r}} + d{x_{CM}}} \right) + {F_2}\left( {d{x_{2r}} + d{x_{CM}}} \right) \\
\\
{F_1} = {F_{1e}} + {F_{1i}} \\
\\
{F_2} = {F_{2e}} + {F_{2i}} = {F_{2e}} - {F_{1i}} \\
\\
dW = \overbrace {{F_{1e}}d{x_{1r}} + {F_{2e}}d{x_{2r}} + {F_i}d{x_{12}}}^{d{W_r} = d{W_{re}} + d{W_{ri}}} + \left( {{F_1} + {F_2}} \right)d{x_{CM}} \\
\\
\left( {{F_1} + {F_2}} \right)d{x_{CM}} = \left( {{F_1} + {F_2}} \right){V_{CM}}dt = \left( {{m_1} + {m_2}} \right){a_{CM}}{V_{CM}}dt = \left( {{m_1} + {m_2}} \right){V_{CM}}d{V_{CM}} \\
\\
\end{array}[/tex]
[tex]\begin{array}{l}
W = {W_r} + \overbrace {\frac{1}{2}\left( {{m_1} + {m_2}} \right)\left( {{V_{CM}}^2 - {V_{CM0}}^2} \right)}^{\Delta {E_{CM}}} = {W_r} + \Delta {E_{CM}} \\
\\
E = \frac{1}{2}{m_1}{\left( {{V_{1r}} + {V_{CM}}} \right)^2} + \frac{1}{2}{m_2}{\left( {{V_{2r}} + {V_{CM}}} \right)^2} = \overbrace {\frac{1}{2}{m_1}{V_{1r}}^2 + \frac{1}{2}{m_2}{V_{2r}}^2}^{{E_r}} + \overbrace {\frac{1}{2}\left( {{m_1} + {m_2}} \right){V_{CM}}^2}^{{E_{CM}}} + \overbrace {\left( {{m_1}{V_{1r}} + {m_2}{V_{2r}}} \right)}^0{V_{CM}} = \\
\\
E = {E_r} + {E_{CM}} \\
\\
\Delta E = \Delta {E_r} + \Delta {E_{CM}} \\
\\
W = \Delta E \\
\\
{W_r} + \Delta {E_{CM}} = \Delta {E_r} + \Delta {E_{CM}} \\
\\
{W_r} = \Delta {E_r} \\
\end{array}[/tex]
Detto ciò non ho finito con questo esercizio, poiché per determinare le velocità assolute dei due corpi, note quelle relative, occorre determinare la velocità di trascinamento del CM.
Per questo però rinvio alla prossima puntata causa tempo scaduto.
"Falco5x":
Ad ogni modo la mia soluzione di prima (che mi pare esatta nel particolare caso di attrito zero), forse la possiamo salvare dicendo che le velocità così calcolate sono quelle relative valutate in un sistema solidale col CM (su questo ho frettolosamente buttato giù una dimostrazione che però non riporto qui per mancanza di tempo)
In realtà ho solo scoperto l'acqua calda, perché credo siano risultati ben noti nella meccanica dei sistemi di particelle. Però siccome alla memoria ormai mi posso affidare ben poco, anche riscoprire certe cose mi diverte.
Ebbene, siano due masse m1 e m2 collegate da una molla e soggette a forze esterne quali ad esempio gli attriti.
Il mio scopo è dimostrare che nel sistema relativo al CM si può applicare l'uguaglianza lavoro = variazione di energia cinetica. In tal caso i risultati del mio post nel quale ho calcolato le velocità dei due corpi ipotizzando (erroneamente) fermo il CM, acquistano valore di velocità relative rispetto al medesimo, poiché ho appunto applicato l'eguaglianza inerente il lavoro-energia al sistema relativo.
Per semplicità tratto solo 2 corpi ma la conclusione si può estendere facilmente a sommatorie di n corpi.
Vado con le equazioni.
Il pedice 1 si riferisce al corpo 1, il pedice 2 al corpo 2, il pedice 12 riferito alla'ascissa x si riferisce alla posizione relativa dei due corpi ovvero l'ascissa del primo meno l'ascissa del secondo, il pedice r ha significato di grandezza relativa al sistema CM, il pedice e significa esterno (riferito a una forza che agisce su un corpo del sistema provenendo dall'esterno) il pedice i significa interno (riferito a forza tra i corpi del sistema).
[tex]\begin{array}{l}
dW = {F_1}\left( {d{x_{1r}} + d{x_{CM}}} \right) + {F_2}\left( {d{x_{2r}} + d{x_{CM}}} \right) \\
\\
{F_1} = {F_{1e}} + {F_{1i}} \\
\\
{F_2} = {F_{2e}} + {F_{2i}} = {F_{2e}} - {F_{1i}} \\
\\
dW = \overbrace {{F_{1e}}d{x_{1r}} + {F_{2e}}d{x_{2r}} + {F_i}d{x_{12}}}^{d{W_r} = d{W_{re}} + d{W_{ri}}} + \left( {{F_1} + {F_2}} \right)d{x_{CM}} \\
\\
\left( {{F_1} + {F_2}} \right)d{x_{CM}} = \left( {{F_1} + {F_2}} \right){V_{CM}}dt = \left( {{m_1} + {m_2}} \right){a_{CM}}{V_{CM}}dt = \left( {{m_1} + {m_2}} \right){V_{CM}}d{V_{CM}} \\
\\
\end{array}[/tex]
[tex]\begin{array}{l}
W = {W_r} + \overbrace {\frac{1}{2}\left( {{m_1} + {m_2}} \right)\left( {{V_{CM}}^2 - {V_{CM0}}^2} \right)}^{\Delta {E_{CM}}} = {W_r} + \Delta {E_{CM}} \\
\\
E = \frac{1}{2}{m_1}{\left( {{V_{1r}} + {V_{CM}}} \right)^2} + \frac{1}{2}{m_2}{\left( {{V_{2r}} + {V_{CM}}} \right)^2} = \overbrace {\frac{1}{2}{m_1}{V_{1r}}^2 + \frac{1}{2}{m_2}{V_{2r}}^2}^{{E_r}} + \overbrace {\frac{1}{2}\left( {{m_1} + {m_2}} \right){V_{CM}}^2}^{{E_{CM}}} + \overbrace {\left( {{m_1}{V_{1r}} + {m_2}{V_{2r}}} \right)}^0{V_{CM}} = \\
\\
E = {E_r} + {E_{CM}} \\
\\
\Delta E = \Delta {E_r} + \Delta {E_{CM}} \\
\\
W = \Delta E \\
\\
{W_r} + \Delta {E_{CM}} = \Delta {E_r} + \Delta {E_{CM}} \\
\\
{W_r} = \Delta {E_r} \\
\end{array}[/tex]
Detto ciò non ho finito con questo esercizio, poiché per determinare le velocità assolute dei due corpi, note quelle relative, occorre determinare la velocità di trascinamento del CM.
Per questo però rinvio alla prossima puntata causa tempo scaduto.
Ho considerato le seguenti incognite valutate nel momento in cui la molla torna nella posizione di riposo:
$\Deltax_1$ spostamento $m_1$
$\Deltax_2$ spostamento $m_2$
$v_1$ velocità $m_1$
$v_2$ velocità $m_2$
Non riuscendo a trovare una quarta equazione che risolvesse il problema per via elementare, almeno tre sono facilmente determinabili, ho deciso di impostare le equazioni del moto. Dopo calcoli abbastanza laboriosi, separando il moto del centro di massa dal moto relativo al centro di massa, si può arrivare alla soluzione. La sua forma abbastanza complessa, tuttavia, non incoraggia nel procedere per via elementare.
$\Deltax_1$ spostamento $m_1$
$\Deltax_2$ spostamento $m_2$
$v_1$ velocità $m_1$
$v_2$ velocità $m_2$
Non riuscendo a trovare una quarta equazione che risolvesse il problema per via elementare, almeno tre sono facilmente determinabili, ho deciso di impostare le equazioni del moto. Dopo calcoli abbastanza laboriosi, separando il moto del centro di massa dal moto relativo al centro di massa, si può arrivare alla soluzione. La sua forma abbastanza complessa, tuttavia, non incoraggia nel procedere per via elementare.
Mah, più ci penso è più il caso generale mi pare complicato.
Chiamo L0 l'allungamento massimo per cui la molla torna a riposo.
Supponiamo che l'attrito sia inferiore al valore critico per il quale il blocco grande nemmeno si muove.
Al rilascio della molla entrambi i blocchi cominciano a muoversi in direzioni opposte.
A un certo punto però, quando l'allungamento della molla raggiunge il valore L1 tale per cui la forza con cui essa spinge il blocco grande eguaglia la forza d'attrito del blocco grande, a questo punto il blocco grande raggiunge la sua velocità massima, che sarebbe pertanto da valutare in questo punto. La raggiunge dunque prima che la molla arrivi alla condizione di riposo. Da questo momento in poi il blocco grande inizia a frenare e poi si ferma quando la molla ha raggiunto un allungamento L2. Questa L2 potrebbe essere inferiore o superiore a L0, in relazione al valore del coefficiente d'attrito.
Nel frattempo analoga cosa fa il blocco piccolo, cioè raggiunge la sua velocità massima quando l'allungamento è L3 tale per cui la forza della molla eguaglia il suo attrito, poi rallenta e infine si ferma quando la molla si è allungata di L4. Nel frattempo come si è mosso il CM? quando un blocco si ferma il CM procede in modo diverso da come procedeva mentre i due blocchi si muovevano insieme, perché una delle due forze d'attrito diventa indeterminata, e il moto del CM è determinato solo dal blocco che si muove. E i punti L1, L2, L3, L4, L0 non è detto si trovino in quest'ordine sulla scala degli allungamenti, dunque...
Siccome io non voglio impazzire, mi fermo qui e lascio perdere 
Chiamo L0 l'allungamento massimo per cui la molla torna a riposo.
Supponiamo che l'attrito sia inferiore al valore critico per il quale il blocco grande nemmeno si muove.
Al rilascio della molla entrambi i blocchi cominciano a muoversi in direzioni opposte.
A un certo punto però, quando l'allungamento della molla raggiunge il valore L1 tale per cui la forza con cui essa spinge il blocco grande eguaglia la forza d'attrito del blocco grande, a questo punto il blocco grande raggiunge la sua velocità massima, che sarebbe pertanto da valutare in questo punto. La raggiunge dunque prima che la molla arrivi alla condizione di riposo. Da questo momento in poi il blocco grande inizia a frenare e poi si ferma quando la molla ha raggiunto un allungamento L2. Questa L2 potrebbe essere inferiore o superiore a L0, in relazione al valore del coefficiente d'attrito.
Nel frattempo analoga cosa fa il blocco piccolo, cioè raggiunge la sua velocità massima quando l'allungamento è L3 tale per cui la forza della molla eguaglia il suo attrito, poi rallenta e infine si ferma quando la molla si è allungata di L4. Nel frattempo come si è mosso il CM? quando un blocco si ferma il CM procede in modo diverso da come procedeva mentre i due blocchi si muovevano insieme, perché una delle due forze d'attrito diventa indeterminata, e il moto del CM è determinato solo dal blocco che si muove. E i punti L1, L2, L3, L4, L0 non è detto si trovino in quest'ordine sulla scala degli allungamenti, dunque...
Siccome io non voglio impazzire, mi fermo qui e lascio perdere
sto seguendo con interesse questo topic.
faccio una domanda:
nel caso in cui la massima forza di attrito fosse inferiore alla forza elastica iniziale k*x, puo' il centro di massa del sistema considerato acquisire accelerazione a causa delle forze reattive di attrito diverse sui due blocchi?
Quando lasciamo libera la molla di estendersi, le uniche forze esterne (apparentemente) non equilibrate sarebbero le forze di attrito sui due blocchi. Ho sottilineato il termine poichè cosi sembrerebbe essere, tuttavia il CM non puo' acquisire accelerazione (e di conseguenza velocità) a causa delle sole forze di attrito. Queste non sono mai attive. Concluderei quindi che le forze di attrito sui due blocchi devono essere tra loro uguali e contrarie (ma di cio' non ne sono sicuro).
faccio una domanda:
nel caso in cui la massima forza di attrito fosse inferiore alla forza elastica iniziale k*x, puo' il centro di massa del sistema considerato acquisire accelerazione a causa delle forze reattive di attrito diverse sui due blocchi?
Quando lasciamo libera la molla di estendersi, le uniche forze esterne (apparentemente) non equilibrate sarebbero le forze di attrito sui due blocchi. Ho sottilineato il termine poichè cosi sembrerebbe essere, tuttavia il CM non puo' acquisire accelerazione (e di conseguenza velocità) a causa delle sole forze di attrito. Queste non sono mai attive. Concluderei quindi che le forze di attrito sui due blocchi devono essere tra loro uguali e contrarie (ma di cio' non ne sono sicuro).
Falco5x, hai perfettamente ragione. Delle tre equazioni che avevo pensato di poter scrivere facilmente, a malapena ne resta una. Risolvendo le equazioni del moto, valide almeno fino a quando la forza risultante sul corpo di massa maggiore si annulla, si riesce a determinare il valore della velocità massima di quest'ultimo, almeno per la prima "oscillazione". Dopo questo istante, a rigore, bisognerebbe introdurre nuove ipotesi e il problema si complica.
Xato, nessuna contraddizione se il lavoro fatto da ciascuna forza di attrito è negativo.
Xato, nessuna contraddizione se il lavoro fatto da ciascuna forza di attrito è negativo.
"speculor":
Falco5x, hai perfettamente ragione. Delle tre equazioni che avevo pensato di poter scrivere facilmente, a malapena ne resta una. Risolvendo le equazioni del moto, valide almeno fino a quando la forza risultante sul corpo di massa maggiore si annulla, si riesce a determinare il valore della velocità massima di quest'ultimo, almeno per la prima "oscillazione". Dopo questo istante, a rigore, bisognerebbe introdurre nuove ipotesi e il problema si complica.
Xato, nessuna contraddizione se il lavoro fatto da ciascuna forza di attrito è negativo.
Io non ne sono convinto.
Prima o poi il sistema si fermerà ed in quella nuova configurazione la molla possiederà ancora energia potenziale dato che la molla non si stenderà del tutto. Quella mancate sarà stata dissipata dall'attrito e non si puo' pensare affatto che la differenza Ei-Ef si sia trasformata in parte in calore per attrito ed in parte come energia potenziale di "nuova posizione"
Se il CM del sistema si è spostato allora significa che la risultante delle due forze di attrito e' stata una forza motrice. Cosa che non puo' essere. L'attrito non muove i corpi.
Configurazione iniziale: energia posseduta dal sistema: 1/2*k*xi²
configurazione finale: energia posseduta dal sistema: 1/2*k*xf²
dove con xi ed xf ho indicato la compresisone della molla (o l'estensione) rispetto al suo stato di riposo.
Il valore di xf lo possiamo ricavare imponendo che la forza di richiamo della molal sia pari alla piu' piccola delle due forze di attrito (dato che nel frattenpo l'altra massa sara gia stata arrestata)
k*xf = mu*m*g
da cui xf=mu*m*g/k
L'energia persa per attrito vale pertanto:
L = 1/2*k*xi² -1/2*k*(mu*m*g/k)²
Se il CM si è spostato della quantita y dalla sua posizione originaria, chiedo: quale forza attiva ha spostato le due masse della quantità y?
certamente non puo essere la forza di richiamo della molla dato che la risultante è nulla e certamente non puo' essere l'attrito dato che questo non puo essere motrice. E d'altra parte che non puo' essere motrice è facile desumerlo dal fatto che esso e' sempre opposto allo spostamento e se per assurdo pensiamo che a muoverlo possa essere stata la risultante delle forze di attrito allora dovremmo asserire l'assurdo che l'attrito ha mosso i due corpi nello stesso verso.
configurazione finale: energia posseduta dal sistema: 1/2*k*xf²
dove con xi ed xf ho indicato la compresisone della molla (o l'estensione) rispetto al suo stato di riposo.
Il valore di xf lo possiamo ricavare imponendo che la forza di richiamo della molal sia pari alla piu' piccola delle due forze di attrito (dato che nel frattenpo l'altra massa sara gia stata arrestata)
k*xf = mu*m*g
da cui xf=mu*m*g/k
L'energia persa per attrito vale pertanto:
L = 1/2*k*xi² -1/2*k*(mu*m*g/k)²
Se il CM si è spostato della quantita y dalla sua posizione originaria, chiedo: quale forza attiva ha spostato le due masse della quantità y?
certamente non puo essere la forza di richiamo della molla dato che la risultante è nulla e certamente non puo' essere l'attrito dato che questo non puo essere motrice. E d'altra parte che non puo' essere motrice è facile desumerlo dal fatto che esso e' sempre opposto allo spostamento e se per assurdo pensiamo che a muoverlo possa essere stata la risultante delle forze di attrito allora dovremmo asserire l'assurdo che l'attrito ha mosso i due corpi nello stesso verso.
Tu dici che "l'attrito non muove i corpi", senza però considerare la presenza di eventuali forze interne. Quindi, nel nostro esempio, la tua obiezione dovrebbe valere in qualsiasi istante. Perchè invece ti riferisci ad una particolare situazione? Se non ricordo male, in uno dei miei testi di meccanica razionale, le forze di attrito erano definite come forze che compiono lavoro sempre negativo. Non ricordo un teorema come il seguente: se un sistema di punti materiali è soggetto a forze esterne che compiono solo lavoro negativo allora il centro di massa è immobile.
Xato temo che tu ti stia sbagliando.
Ti faccio un discorso che credo intuitivo.
Pensa al caso in cui il coefficiente d'attrito è tale per cui l'attrito della massa maggiore è superiore alla forza massima della molla, mentre l'attrito della massa minore è inferiore a questa. In questo caso la massa minore si sposta essa sola, dunque devi riconoscere che il CM si sposta. Ora immagina che il coefficiente d'attrito diminuisca con continuità fino a rendere l'attrito della massa maggiore un po' più piccolo della forza massima della molla. La massa maggiore si sposta pochissimo, mentre la masssa minore continua a spostarsi molto, dunque il CM si sposta quasi quanto nel caso precedente. Diminuendo il coefficiente d'attrito ulteriormente notiamo che il CM si sposta sempre meno finché si giunge al caso di coefficiente d'attrito nullo, e solo allora il CM rimane fermo.
Ti faccio un discorso che credo intuitivo.
Pensa al caso in cui il coefficiente d'attrito è tale per cui l'attrito della massa maggiore è superiore alla forza massima della molla, mentre l'attrito della massa minore è inferiore a questa. In questo caso la massa minore si sposta essa sola, dunque devi riconoscere che il CM si sposta. Ora immagina che il coefficiente d'attrito diminuisca con continuità fino a rendere l'attrito della massa maggiore un po' più piccolo della forza massima della molla. La massa maggiore si sposta pochissimo, mentre la masssa minore continua a spostarsi molto, dunque il CM si sposta quasi quanto nel caso precedente. Diminuendo il coefficiente d'attrito ulteriormente notiamo che il CM si sposta sempre meno finché si giunge al caso di coefficiente d'attrito nullo, e solo allora il CM rimane fermo.
"Falco5x":
Xato temo che tu ti stia sbagliando.
Ti faccio un discorso che credo intuitivo.
Pensa al caso in cui il coefficiente d'attrito è tale per cui l'attrito della massa maggiore è superiore alla forza massima della molla, mentre l'attrito della massa minore è inferiore a questa. In questo caso la massa minore si sposta essa sola, dunque devi riconoscere che il CM si sposta. Ora immagina che il coefficiente d'attrito diminuisca con continuità fino a rendere l'attrito della massa maggiore un po' più piccolo della forza massima della molla. La massa maggiore si sposta pochissimo, mentre la masssa minore continua a spostarsi molto, dunque il CM si sposta quasi quanto nel caso precedente. Diminuendo il coefficiente d'attrito ulteriormente notiamo che il CM si sposta sempre meno finché si giunge al caso di coefficiente d'attrito nullo, e solo allora il CM rimane fermo.
Ok. Mi hai convinto. Il CM dunque si sposta.
PS.: continuo a seguire con interesse eventuali sviluppi. La questione mi ha coinvolto.
Intanto penso che una volta che la prima massa si ferma perchè la forza di richiamo della molla è inferiore alla massima forza di attrito esplicabile, per l'equilibrio della massa che si e' fermata, l'attrito agente su quest'ultima varia al variare della estensione/compressione della molla dovendo essere sempre uguale a Kx.
Ripropongo il problema (che ancora non so risolvere) ma ponendo qualche limitazione.
La forza di richiamo iniziale sulla massa 2m sia minore della massima forza di attrito esplicabile ed assumiano che il coefficiente di attrito statico sia uguale a quello dinamico.
Sotto queste condizioni allora il blocco di massa maggiore sta fermo mentre quello di massa piu' piccola dovrebbe muoversi di moto armonico smorzato in cui la forza smorzante e' una funzione dello spostamento della massa.
Ovviamente la massa piu' piccola non riuscirà mai a completare nemmeno mezzo ciclo, dato che si fermerà non appena la compressione della molla è tale da non riuscire piu' a vincere, con la sua forza elastica, l'attrito sulla massa piccola.
La forza di richiamo iniziale sulla massa 2m sia minore della massima forza di attrito esplicabile ed assumiano che il coefficiente di attrito statico sia uguale a quello dinamico.
Sotto queste condizioni allora il blocco di massa maggiore sta fermo mentre quello di massa piu' piccola dovrebbe muoversi di moto armonico smorzato in cui la forza smorzante e' una funzione dello spostamento della massa.
Ovviamente la massa piu' piccola non riuscirà mai a completare nemmeno mezzo ciclo, dato che si fermerà non appena la compressione della molla è tale da non riuscire piu' a vincere, con la sua forza elastica, l'attrito sulla massa piccola.
Mi sapete spiegare che tipo di formule ci vogliono per calcolare l'urto tra due imbarcazioni ( legno e vetroresina)
La prima ferma e la seconda con velocità 28 mg
La prima ferma e la seconda con velocità 28 mg
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