Problema trasformazione isobara
Ciao a tutti, avrei una domanda da fare su un esercizio di termodinamica.
Un recipiente cilindrico ha sezione S e volume V.
Nello scompartimento inferiore si trovano n moli di un gas perfetto mono atomico. Quello superiore è riempito fino all'orlo con un liquido di densità di massa $ \rho $ . La massa e lo spessore del setto intermedio (mobile) sono trascurabili, come anche la pressione esterna.
Mi viene chiesto di calcolare
a) sapendo che inizialmente il sistema si trova all'equilibrio ed il volume occupato dal gas è $ V_g=V/2 $, calcolare la temperatura $ T_0 $ di quest'ultimo.
Questo punto l'ho capito e mi viene come risultato finale
$ T_0=\frac{\rho g V^2}{4SnR} $
b)Una trasformazione reversibile del gas porta il suo volume a $ V_g'=9V/10 $ (il liquido nello scomparto superiore occupa solo il restante del volume del contenitore, mantenendo la stessa densità di massa).
Calcolare la temperatura finale T del gas e rappresentare sul piano P,V la trasformazione.
Qui è corretto considerare la trasformazione come isobara? Mi dice che il liquido sopra non esce dal cilindro ('il liquido nello scomparto superiore occupa solo il restante del volume del contenitore, mantenendo la stessa densità di massa'), quindi la pressione che il gas sente sopra di se è sempre quella esercitata dal liquido (trascurando quella esterna).
Come risultato mi viene
$ T_1=\frac{9\rho g V^2}{5SnR4} $ e sul piano di Clapeyron ho un segmento orizzontale che sulle ascisse va da V1 a V2 e sulle ordinate è costante ad un unico valore di p.
3) Calcolare il calore totale scambiato dal gas durante la sua trasformazione e la sua variazione di entropia.
Per questo punto ho proceduto così:
in una trasformazione isobara so che
$ Q=nc_p(T_1-T_0) $ con $ c_p=5/2 R $
Invece ho problemi a calcolare la variazione di entropia. Io farei
$ \Delta S=nc_p ln(\frac{T_1}{T_0}) $
Però nelle soluzioni (non sono soluzioni 'ufficiali' di un libro/prof) ho:
$ \Delta S=S_f-S_i=nc_v ln (\frac{T_1}{T_0})-nRln(\frac{V_1}{V_0}) $
Potreste aiutarmi a capire quale delle due sia corrette e soprattutto perché?
Grazie mille
Un recipiente cilindrico ha sezione S e volume V.
Nello scompartimento inferiore si trovano n moli di un gas perfetto mono atomico. Quello superiore è riempito fino all'orlo con un liquido di densità di massa $ \rho $ . La massa e lo spessore del setto intermedio (mobile) sono trascurabili, come anche la pressione esterna.
Mi viene chiesto di calcolare
a) sapendo che inizialmente il sistema si trova all'equilibrio ed il volume occupato dal gas è $ V_g=V/2 $, calcolare la temperatura $ T_0 $ di quest'ultimo.
Questo punto l'ho capito e mi viene come risultato finale
$ T_0=\frac{\rho g V^2}{4SnR} $
b)Una trasformazione reversibile del gas porta il suo volume a $ V_g'=9V/10 $ (il liquido nello scomparto superiore occupa solo il restante del volume del contenitore, mantenendo la stessa densità di massa).
Calcolare la temperatura finale T del gas e rappresentare sul piano P,V la trasformazione.
Qui è corretto considerare la trasformazione come isobara? Mi dice che il liquido sopra non esce dal cilindro ('il liquido nello scomparto superiore occupa solo il restante del volume del contenitore, mantenendo la stessa densità di massa'), quindi la pressione che il gas sente sopra di se è sempre quella esercitata dal liquido (trascurando quella esterna).
Come risultato mi viene
$ T_1=\frac{9\rho g V^2}{5SnR4} $ e sul piano di Clapeyron ho un segmento orizzontale che sulle ascisse va da V1 a V2 e sulle ordinate è costante ad un unico valore di p.
3) Calcolare il calore totale scambiato dal gas durante la sua trasformazione e la sua variazione di entropia.
Per questo punto ho proceduto così:
in una trasformazione isobara so che
$ Q=nc_p(T_1-T_0) $ con $ c_p=5/2 R $
Invece ho problemi a calcolare la variazione di entropia. Io farei
$ \Delta S=nc_p ln(\frac{T_1}{T_0}) $
Però nelle soluzioni (non sono soluzioni 'ufficiali' di un libro/prof) ho:
$ \Delta S=S_f-S_i=nc_v ln (\frac{T_1}{T_0})-nRln(\frac{V_1}{V_0}) $
Potreste aiutarmi a capire quale delle due sia corrette e soprattutto perché?
Grazie mille
Risposte
Questo esercizio è u po' strano secondo me. Se la densità dell'olio rimane costante allora è evidente che la massa di olio non lo è perché i liquidi sono incomprimibili... non esiste che subiscano una compressione del 90%!
Isobara = pressione costante. Nel primo caso hai $P_0 = \rho*g*V/2*1/S$, ma adesso hai $P_1 = \rho*g*V/(10)*1/S$ quindi direi che la pressione varia.
Scriviamo adesso la legge fondamentale della termodinamica
$Tds = du+pdv$
ovvero
$ Tds = nc_vdT + (nRT)/(v) dv $
Integrando
$ \Delta s = nc_v\ln (T_1/T_0) + nR\ln(V_1/V_0) $
"vitunurpo":
Qui è corretto considerare la trasformazione come isobara?
Isobara = pressione costante. Nel primo caso hai $P_0 = \rho*g*V/2*1/S$, ma adesso hai $P_1 = \rho*g*V/(10)*1/S$ quindi direi che la pressione varia.
"vitunurpo":
Invece ho problemi a calcolare la variazione di entropia.
Scriviamo adesso la legge fondamentale della termodinamica
$Tds = du+pdv$
ovvero
$ Tds = nc_vdT + (nRT)/(v) dv $
Integrando
$ \Delta s = nc_v\ln (T_1/T_0) + nR\ln(V_1/V_0) $
Scusami, non sto capendo... a parte che non ho detto che ora olio, ma un generico liquido (precisazione ridondante), come mai dici che sto 'comprimendo' il liquido? Sopra è aperto il contenitore
Stavo supponendo che la pressione fosse la medesima perché mi ritrovo con la stessa quantità di liquido sopra che preme sul setto
Stavo supponendo che la pressione fosse la medesima perché mi ritrovo con la stessa quantità di liquido sopra che preme sul setto
Scusa ho letto di fretta. Allora non ho capito il problema. Il volume V è complessivo del recipiente del gas e del liquido o solo del gas?
Comunque per il calcolo dell'entropia nulla cambia.
Comunque per il calcolo dell'entropia nulla cambia.
Quello che io ho chiamato V è il volume totale del contenitore (liquido e gas insieme)
Dunque mi confermi che la trasformazione è isobara?
Il dubbio che mi è sorto circa l'entropia deriva dal fatto che se guardo (brutalmente) su wikipedia, l'entropia di un trasformazione isobara me la scrive come proponevo io, invece nelle soluzioni che ho scritta come anche dici tu... ergo mi sto un poco confondendo. Riusciresti a farmi luce anche su questo punto?
Il dubbio che mi è sorto circa l'entropia deriva dal fatto che se guardo (brutalmente) su wikipedia, l'entropia di un trasformazione isobara me la scrive come proponevo io, invece nelle soluzioni che ho scritta come anche dici tu... ergo mi sto un poco confondendo. Riusciresti a farmi luce anche su questo punto?
No ok. Allora mi ricorreggo.
Scusa la confusione ma non riesco a capire il testo. Quando dici che V = liquido + gas, allora intendi che inizialmente il volume del cilindro è diviso in due parti (metà gas metà liquido), e poi lo fai diventare $9/10$ gas e $1/10$ liquido? Se è così allora la trasformazione NON è isobara! Se invece intendi altro allora non so come ti sei fatto a calcolare quei valori...
Scusa la confusione ma non riesco a capire il testo. Quando dici che V = liquido + gas, allora intendi che inizialmente il volume del cilindro è diviso in due parti (metà gas metà liquido), e poi lo fai diventare $9/10$ gas e $1/10$ liquido? Se è così allora la trasformazione NON è isobara! Se invece intendi altro allora non so come ti sei fatto a calcolare quei valori...
Per quanto riguarda le formule, tutto sta nel capire se la trasformazione è isobara o no. E' un po' noioso dal punto di vista matematico, ma dalla formula che ho ricavato io si può arrivare, con opportune sostituzioni, alla seguente:
$\Delta s = nc_p\ln(T_1/T_0) + nR\ln(P_1/P_0)$
Si nota subito che se $P_1 = P_0$ allora il logaritmo si annulla ed esce fuori la tua formula (o di wikipedia). Ma non è questo il punto! Bisogna capire se la trasformazione è isobara o no, e da come mi pare di capire adesso, non lo è.
Inoltre ti farei notare una cosa: ammettiamo che la trasformazione sia isobara, in quel caso, essendo le due formule uguali (perché ricavate dalla stessa uguaglianza) portano al medesimo risultato. Quindi come procedimento nulla cambia, è solo una questione di comodità per fare meno calcoli. Se sai che è isobara prendi la strada più veloce, altrimenti ti tocca fare tutti i conti.
$\Delta s = nc_p\ln(T_1/T_0) + nR\ln(P_1/P_0)$
Si nota subito che se $P_1 = P_0$ allora il logaritmo si annulla ed esce fuori la tua formula (o di wikipedia). Ma non è questo il punto! Bisogna capire se la trasformazione è isobara o no, e da come mi pare di capire adesso, non lo è.
Inoltre ti farei notare una cosa: ammettiamo che la trasformazione sia isobara, in quel caso, essendo le due formule uguali (perché ricavate dalla stessa uguaglianza) portano al medesimo risultato. Quindi come procedimento nulla cambia, è solo una questione di comodità per fare meno calcoli. Se sai che è isobara prendi la strada più veloce, altrimenti ti tocca fare tutti i conti.
Ti ringrazio per le tue risposte!
Eh... boh... onestamente ho un po' il dubbio. Appena rincomincia l'università andrò a chiedere lumi al prof su come intendere il problema.
Eh... boh... onestamente ho un po' il dubbio. Appena rincomincia l'università andrò a chiedere lumi al prof su come intendere il problema.
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