Problema Termodinamica
Ciao a tutti,
ho un piccolo problemino che però mi sta procurando un po' di dubbi.
Ho due serbatoi che contengono lo stesso gas però a temperatura, pressione e quantità in kg diverse, collegati con un valvola.
Supponendo di aprire la valvola e di conoscere la temperatura finale dopo il mescolamento delle due quantità di gas, come faccio a determinarmi la pressione finale? Poi devo calcolare anche l'entropia dell'universo considerando i serbatoi non adiabatici, calore totale scambiato con l'ambiente esterno a temperatura costante (quindi terzo serbatoio isotermo).
Io ho pensato per la pressione finale sfruttanto l'equazione di stato dei gas ideali $p*v=mRT$ trovo volume del gas nel primo serbatoi, il volume del gas nel secondo serbatoio e poi sommandoli dovrei ottenere il volume finale, perciò conoscendo temperatura finale e volume finale del sistema mi posso trovare facilmente la pressione finale come segue:
$Pf*(V1+V2)=(m1+m2)R*Tf$
Il calore totale lo dovrei poter calcolare dal primo principio:
$Q=Q1+Q2, Q1=m1Cv(Tf-T1), Q2=m2Cv(Tf-T2)$
Invece per l'entropia dovrei calcolarmi prima la variazione di entropia dei due serbatoi singolarmente, poi ho gli scambi termici con l'esterno e poi una quota di entropia generata a causa dell'irreversibilità del mescolamento. Il problema è che non so come fare a determinarmi la temperatura dell'ambiente esterno che non conosco.
Come faccio? E il procedimento visto prima per calore e pressione finale è corretto, è lecito?
Grazie a tutti per la disponibilità.
ho un piccolo problemino che però mi sta procurando un po' di dubbi.
Ho due serbatoi che contengono lo stesso gas però a temperatura, pressione e quantità in kg diverse, collegati con un valvola.
Supponendo di aprire la valvola e di conoscere la temperatura finale dopo il mescolamento delle due quantità di gas, come faccio a determinarmi la pressione finale? Poi devo calcolare anche l'entropia dell'universo considerando i serbatoi non adiabatici, calore totale scambiato con l'ambiente esterno a temperatura costante (quindi terzo serbatoio isotermo).
Io ho pensato per la pressione finale sfruttanto l'equazione di stato dei gas ideali $p*v=mRT$ trovo volume del gas nel primo serbatoi, il volume del gas nel secondo serbatoio e poi sommandoli dovrei ottenere il volume finale, perciò conoscendo temperatura finale e volume finale del sistema mi posso trovare facilmente la pressione finale come segue:
$Pf*(V1+V2)=(m1+m2)R*Tf$
Il calore totale lo dovrei poter calcolare dal primo principio:
$Q=Q1+Q2, Q1=m1Cv(Tf-T1), Q2=m2Cv(Tf-T2)$
Invece per l'entropia dovrei calcolarmi prima la variazione di entropia dei due serbatoi singolarmente, poi ho gli scambi termici con l'esterno e poi una quota di entropia generata a causa dell'irreversibilità del mescolamento. Il problema è che non so come fare a determinarmi la temperatura dell'ambiente esterno che non conosco.
Come faccio? E il procedimento visto prima per calore e pressione finale è corretto, è lecito?
Grazie a tutti per la disponibilità.
Risposte
Mi pare corretto quello che hai scritto, a parte che non c'è entropia di mescolamento visto che il gas è lo stesso. Per quanto riguarda la temperatura esterna credo che non essendo il sistema adiabatico si intenda di assumerla uguale alla temperatura finale che ti è data (l'ambiente ha capacità termica infinita di solito se non specificato).
Ok, si infatti... per la temperatura è proprio cosi, perchè se i serbatoi sono non sono adiabatici ì, all'equilibrio per forza devono raggiungere la temperatura l'ambiente esterno.
Ok grazie mille.
Poi ho un altra domanda.
Questa volta è sulla conduzione, in particolare nella modellazione con geometria cilindrica, esiste una differenze tra un cilindro pieno ed un cilindro cavo??
Dall'equazione generale di diffusione del calore, supponendo il flusso monodimensionale, stazionario si perviene alla seguente
distribuzione di temperatura:
$T(x)=-gx^2/(4k)+C1lnx+C2$
dove g è l'eventuale generazione di potenza e $C1,C2$ sono le due costanti di integrazione che poi si possono ricavare con opportune condizioni al contorno.
é ovvio che in $x=0$ ho dei problemi perchè il logaritmo va ad meno infinito. Allora il prof ha detto che possiamo porre la prima costante uguale a zero nel caso di cilindro cavo....ha senso?? Io per il momento non sono riuscito a capire questa differenza...
perciò esiste una reale differenze tra i due casi di cilindro pieno e cilindro cavo?
Grazie mille.
Ok grazie mille.
Poi ho un altra domanda.
Questa volta è sulla conduzione, in particolare nella modellazione con geometria cilindrica, esiste una differenze tra un cilindro pieno ed un cilindro cavo??
Dall'equazione generale di diffusione del calore, supponendo il flusso monodimensionale, stazionario si perviene alla seguente
distribuzione di temperatura:
$T(x)=-gx^2/(4k)+C1lnx+C2$
dove g è l'eventuale generazione di potenza e $C1,C2$ sono le due costanti di integrazione che poi si possono ricavare con opportune condizioni al contorno.
é ovvio che in $x=0$ ho dei problemi perchè il logaritmo va ad meno infinito. Allora il prof ha detto che possiamo porre la prima costante uguale a zero nel caso di cilindro cavo....ha senso?? Io per il momento non sono riuscito a capire questa differenza...
perciò esiste una reale differenze tra i due casi di cilindro pieno e cilindro cavo?
Grazie mille.
Ciao, nel caso di simmetrie cilindriche è utile utilizzare un sistema di coordinate appropriate per descrivere l'equazione di Poisson, in questo caso appunto cilindriche 
Nel caso generale di un cilindro, con generazione interna e $r_1$ il raggio esterno e $r$ la coordinata generica $0<=r<=r_1$ la distribuzione di temperatura è:
$t(r)=t_1+\frac{g}{4k}(r_1^2-r^2)$
con $t_1$ la temperatura nota sulla faccia esterna
Nel caso generale di un cilindro, con generazione interna e $r_1$ il raggio esterno e $r$ la coordinata generica $0<=r<=r_1$ la distribuzione di temperatura è:
$t(r)=t_1+\frac{g}{4k}(r_1^2-r^2)$
con $t_1$ la temperatura nota sulla faccia esterna
Ok.
Come hai fatto a determinare quella distribuzione di temperatura, senza termini logartmici in coordinate cilindriche?
Poi un'altra domanda:
nel caso in cui ho generazione di potenza, non posso mai usare l'analogia elettrica, oppure non la posso usare solo nella parte dell'elemento che sto considerando in cui vi è effettivamente la generazione?
Non so se mi sono spiegato bene.
Nel caso ditemelo che provo a spiegarlo bene.
Grazie mille a tutti.
Come hai fatto a determinare quella distribuzione di temperatura, senza termini logartmici in coordinate cilindriche?
Poi un'altra domanda:
nel caso in cui ho generazione di potenza, non posso mai usare l'analogia elettrica, oppure non la posso usare solo nella parte dell'elemento che sto considerando in cui vi è effettivamente la generazione?
Non so se mi sono spiegato bene.
Nel caso ditemelo che provo a spiegarlo bene.
Grazie mille a tutti.
Ho risolto l'eq. di Poisson in coordinate cilindriche:
$\nabla^2 t + g/k =0 -> \frac{d^2 t}{dr^2}+1/r \frac{dt}{dr}+g/k=0$
ovviamente nel risolvere l'equazione devi inserire le condizioni iniziali, io ho supposto nota la temperatura sulla superficie $t_1$
L'analogia elettrica è utilizzata ad esempio nelle pareti multistrato, in cui puoi supporre pressochè lineare la distribuzione di temperatura.
Nel caso di generazione interna, la temperatura non è lineare (pensa ad es una lastra piana), quindi a mio avviso non so come tu possa appoggiarti all'analogia elettrica.
ciao
$\nabla^2 t + g/k =0 -> \frac{d^2 t}{dr^2}+1/r \frac{dt}{dr}+g/k=0$
ovviamente nel risolvere l'equazione devi inserire le condizioni iniziali, io ho supposto nota la temperatura sulla superficie $t_1$
L'analogia elettrica è utilizzata ad esempio nelle pareti multistrato, in cui puoi supporre pressochè lineare la distribuzione di temperatura.
Nel caso di generazione interna, la temperatura non è lineare (pensa ad es una lastra piana), quindi a mio avviso non so come tu possa appoggiarti all'analogia elettrica.
ciao
Ok.
Provo, però, ad illustrarti un caso forse particolare:
suppongo di avere un parallelepipedo in cui si ha che, una parte del suo volume genera potenza, poi ho una resistenza di contatto, e infine ho la solita superficie senza generazione di potenza caratterizzata dalla relativa conducibilità termica.
In questo caso, posso applicare l'analogia elettrica in quest'ultima parte del parallelepipedo oppure non posso perchè in ogni caso una parte del volume è caratterizzata da generazione di potenza?
Grazie mille.
Provo, però, ad illustrarti un caso forse particolare:
suppongo di avere un parallelepipedo in cui si ha che, una parte del suo volume genera potenza, poi ho una resistenza di contatto, e infine ho la solita superficie senza generazione di potenza caratterizzata dalla relativa conducibilità termica.
In questo caso, posso applicare l'analogia elettrica in quest'ultima parte del parallelepipedo oppure non posso perchè in ogni caso una parte del volume è caratterizzata da generazione di potenza?
Grazie mille.
"CeRobotNXT":
In questo caso, posso applicare l'analogia elettrica in quest'ultima parte del parallelepipedo oppure non posso perchè in ogni caso una parte del volume è caratterizzata da generazione di potenza?
Grazie mille.
In generale puoi sempre ricondurti all'analogia elettrica nella distribuzione di temperatura, ci sono casi però in cui a mio avviso non ti conviene perchè è più complicato individuare l'espressione del flusso termico come prodotto tra una ipotetica resistenza e una differenza di temperatura. E' il caso della generazione interna.
Nelle 2 superfici in cui non vi è generazione interna invece, è molto più semplice applicare l'analogia elettrica
Quindi nelle parti di volume in cui non ho generazione di potenza posso sempre ricondurmi all'analogia elettrica.
Invece nelle parti di volume in cui ho generazione di potenza, non avendo una distribuzione di temperatura uniforme, non mi conviene applicare l'analogia in quanto sarebbe complicato poter trovare una espressione, appunto analoga(nella forma), a quella della legge di Ohm.
Giusto?
Grazie ancora.
Invece nelle parti di volume in cui ho generazione di potenza, non avendo una distribuzione di temperatura uniforme, non mi conviene applicare l'analogia in quanto sarebbe complicato poter trovare una espressione, appunto analoga(nella forma), a quella della legge di Ohm.
Giusto?
Grazie ancora.
"CeRobotNXT":
Quindi nelle parti di volume in cui non ho generazione di potenza posso sempre ricondurmi all'analogia elettrica.
Invece nelle parti di volume in cui ho generazione di potenza, non avendo una distribuzione di temperatura uniforme, non mi conviene applicare l'analogia in quanto sarebbe complicato poter trovare una espressione, appunto analoga(nella forma), a quella della legge di Ohm.
Giusto?
Grazie ancora.
Esatto
, però poi dipende da come uno è abituato, io ad esempio non mi sono mai ricondotto all'analogia elettrica nei problemi con generazione interna
Benissimo!
Un'ultima domanda.
Se ho una parte multistrato, sia in direzione delle x che in quella delle y, quindi ho diverse lunghezze e diversi spessori, come faccio a scegliere il sistema di riferimento? Cioè avrò per forza resistenze sia in serie che in parallelo?
Se poi la parete è circandata da un isolante idealmente adiabatico, come cambia il problema? Il sistema di riferimento in generale lo posso scegliere in base alla direzione del gradiente di temperatura?
Spero di essermi spiegato.
Grazie mille!
Un'ultima domanda.
Se ho una parte multistrato, sia in direzione delle x che in quella delle y, quindi ho diverse lunghezze e diversi spessori, come faccio a scegliere il sistema di riferimento? Cioè avrò per forza resistenze sia in serie che in parallelo?
Se poi la parete è circandata da un isolante idealmente adiabatico, come cambia il problema? Il sistema di riferimento in generale lo posso scegliere in base alla direzione del gradiente di temperatura?
Spero di essermi spiegato.
Grazie mille!
uhm...bè in generale il sistema di riferimento è indifferente, se consideri il flusso monodimensionale. Puoi riferirti da sx a dx, oppure da dx a sx.
Guarda questo esempio:
http://www.sendspace.com/file/9fi4qv
ciao
Guarda questo esempio:
http://www.sendspace.com/file/9fi4qv
ciao
Ok va bene grazie ancora.
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