Problema sull'oscillatore armonico quantistico
Ecco un problema di esonero per chi vuole esercitarsi in meccanica quantistica.
Con $h$ intendo la costante di Planck diviso $2\pi$, dal momento che il simbolo con la barra non funziona in MathML.
L'hamiltoniana di una particella di massa $m$ è $H=1/(2m)p^2+(m\omega^2)/2x^2$.
Al tempo $t=0$ la sua funzione d'onda normalizzata è $\psi(x,t=0)=((m\omega)/(h\pi))^(1/4)\sqrt(8/23)(\xi^3-i)e^(-(\xi^2)/2)$, dove $\xi=\sqrt((m\omega)/h)x$.
a) Determinare i possibili risultati di una misura dell'energia, le rispettive probabilità e il valor medio dell'hamiltoniana.
b) Determinare in funzione del tempo i valori medi degli operatori $\hatx$ e $\hatp$ e commentare il risultato.
Si consiglia di svolgere tutti i conti utilizzando la coordinata $x$ nelle unità adimensionali $\xi$.
NOTA BENE: le autofunzioni normalizzate dell'oscillatore armonico sono $u_n(x)=((m\omega)/(h\pi))^(1/4)(H_n(\xi))/(\sqrt(2^n*n!))e^(-(\xi^2)/2)$.
I primi polinomi di Hermite sono $H_0(x)=1$, $H_1(x)=2\xi$, $H_2(x)=4\xi^2-2$, $H_3(x)=8\xi^3-12\xi$.
Con $h$ intendo la costante di Planck diviso $2\pi$, dal momento che il simbolo con la barra non funziona in MathML.
L'hamiltoniana di una particella di massa $m$ è $H=1/(2m)p^2+(m\omega^2)/2x^2$.
Al tempo $t=0$ la sua funzione d'onda normalizzata è $\psi(x,t=0)=((m\omega)/(h\pi))^(1/4)\sqrt(8/23)(\xi^3-i)e^(-(\xi^2)/2)$, dove $\xi=\sqrt((m\omega)/h)x$.
a) Determinare i possibili risultati di una misura dell'energia, le rispettive probabilità e il valor medio dell'hamiltoniana.
b) Determinare in funzione del tempo i valori medi degli operatori $\hatx$ e $\hatp$ e commentare il risultato.
Si consiglia di svolgere tutti i conti utilizzando la coordinata $x$ nelle unità adimensionali $\xi$.
NOTA BENE: le autofunzioni normalizzate dell'oscillatore armonico sono $u_n(x)=((m\omega)/(h\pi))^(1/4)(H_n(\xi))/(\sqrt(2^n*n!))e^(-(\xi^2)/2)$.
I primi polinomi di Hermite sono $H_0(x)=1$, $H_1(x)=2\xi$, $H_2(x)=4\xi^2-2$, $H_3(x)=8\xi^3-12\xi$.
Risposte
La mia soluzione (???) fa uso degli operatori di distruzione $a=sqrt((m omega)/(2h))(x+(jp)/(m omega))=xi/sqrt2(x+(jp)/(momega))$,
di costruzione $a^+=xi/sqrt2(x-(jp)/(momega))$ e dell'operatore numero $N=a^+a=((momega)/(2h))(x^2+(p^2)/(m^2omega^2))+(j/(2h))[x,p]=H/(homega)-1/2$.
Dalle definizioni sopra segue $H=homega(N+1/2)$, dunque $N$ è diagonalizzabile con $H$.
Sia $n$ un autovalore di $N$ e di $H$. Allora $N|nrangle=n|nrangle$, e $H|nrangle$$=(n+1/2)$$homega|n rangle$, quindi
gli autovalori dell'energia sono $E_n=(n+1/2)homega$, dove si può dimostrare che $n$ è un intero non negativo.
Qui ho qualche dubbio sull'interpretazione (causato dalla mia ignoranza): che io sappia, si possono
trovare le autofunzioni dell'energia attraverso le relazioni di ricorrenza
$langle x|1 rangle= langle x | a^+ | 0 rangle$
$langle x|2 rangle=$$(1/sqrt2)$$ langle x | (a^+)^2 | 0 rangle$
...
per cui non capisco perchè sono fornite sia $psi(x,0)$ che le $u_n(x)$.
Comunque, se ho interpretato bene (dubito), allora le rispettive probabilità sono date da $|u_n(x)|^2$.
Ora devo andare, continuerò in seguito. Nel frattempo sarei lieto se arrivassero correzioni.
di costruzione $a^+=xi/sqrt2(x-(jp)/(momega))$ e dell'operatore numero $N=a^+a=((momega)/(2h))(x^2+(p^2)/(m^2omega^2))+(j/(2h))[x,p]=H/(homega)-1/2$.
Dalle definizioni sopra segue $H=homega(N+1/2)$, dunque $N$ è diagonalizzabile con $H$.
Sia $n$ un autovalore di $N$ e di $H$. Allora $N|nrangle=n|nrangle$, e $H|nrangle$$=(n+1/2)$$homega|n rangle$, quindi
gli autovalori dell'energia sono $E_n=(n+1/2)homega$, dove si può dimostrare che $n$ è un intero non negativo.
Qui ho qualche dubbio sull'interpretazione (causato dalla mia ignoranza): che io sappia, si possono
trovare le autofunzioni dell'energia attraverso le relazioni di ricorrenza
$langle x|1 rangle= langle x | a^+ | 0 rangle$
$langle x|2 rangle=$$(1/sqrt2)$$ langle x | (a^+)^2 | 0 rangle$
...
per cui non capisco perchè sono fornite sia $psi(x,0)$ che le $u_n(x)$.
Comunque, se ho interpretato bene (dubito), allora le rispettive probabilità sono date da $|u_n(x)|^2$.
Ora devo andare, continuerò in seguito. Nel frattempo sarei lieto se arrivassero correzioni.
Come tu dici giustamente si dimostra a partire dagli operatori di creazione e distruzione quali sono gli autovalori dell'energia. Questa cosa la possiamo dare per nota in un problema del genere.
Sono giuste anche le relazioni di ricorrenza per le autofunzioni dell'energia, che sono contenute nella formula che viene fornita per comodità.
Non mi sembra invece corretto dire che le probabilità siano date da $|u_n(x)|^2$, anche perchè si avrebbe una dipendenza da $x$.
Indico con $|n\rangle$ gli autoket dell'hamiltoniana ovvero tali che $\langlex|n\rangle=u_n(x)$. Allora posso scrivere lo stato del sistema come $|\psi,t=0\rangle=\sum_n\langlen|\psi\rangle|n\rangle$.
Ricordando l'espressione per il valor medio di un'osservabile abbiamo $\langleE\rangle=\sum_nE_n|\langlen|\psi\rangle|^2$, dove $E_n$ sono i possibili risultati della misura (quindi sono gli autovalori) e $|\langlen|\psi\rangle|^2$ è la probabilità di ottenere quel risultato della misura.
Quindi fondamentalmente per ottenere queste probabilità ho bisogno di conoscere la proiezione di $|\psi\rangle$ su $|n\rangle$, ovvero devo conoscere lo stato iniziale.
Questo può essere calcolato in maniera semplice dalla funzione d'onda fornita sfruttando i polinomi di Hermite che vengono dati. Ovviamente puoi anche farne a meno di usare quei polinomi, ma avresti da calcolare integrali non proprio semplicissimi che porterebbero via abbastanza tempo.
Spero di aver chiarito qualche tuo dubbio, aspetto il resto della soluzione.
Sono giuste anche le relazioni di ricorrenza per le autofunzioni dell'energia, che sono contenute nella formula che viene fornita per comodità.
Non mi sembra invece corretto dire che le probabilità siano date da $|u_n(x)|^2$, anche perchè si avrebbe una dipendenza da $x$.
Indico con $|n\rangle$ gli autoket dell'hamiltoniana ovvero tali che $\langlex|n\rangle=u_n(x)$. Allora posso scrivere lo stato del sistema come $|\psi,t=0\rangle=\sum_n\langlen|\psi\rangle|n\rangle$.
Ricordando l'espressione per il valor medio di un'osservabile abbiamo $\langleE\rangle=\sum_nE_n|\langlen|\psi\rangle|^2$, dove $E_n$ sono i possibili risultati della misura (quindi sono gli autovalori) e $|\langlen|\psi\rangle|^2$ è la probabilità di ottenere quel risultato della misura.
Quindi fondamentalmente per ottenere queste probabilità ho bisogno di conoscere la proiezione di $|\psi\rangle$ su $|n\rangle$, ovvero devo conoscere lo stato iniziale.
Questo può essere calcolato in maniera semplice dalla funzione d'onda fornita sfruttando i polinomi di Hermite che vengono dati. Ovviamente puoi anche farne a meno di usare quei polinomi, ma avresti da calcolare integrali non proprio semplicissimi che porterebbero via abbastanza tempo.
Spero di aver chiarito qualche tuo dubbio, aspetto il resto della soluzione.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo