Problema sull'oscillatore armonico.
Salve, avrei il seguente problema:
Un corpo di massa $m=1kg$ è agganciato ad una molla di costante elastica $k=4 N/m$. Il sistema è appoggiato su un piano orizzontale. La molla viene allungata fino a $x(0)=0,2 m$ dalla posizione di equilibrio. Se il corpo viene rilasciato e se su di esso agisce una forza d'attrito $F=hx'(t)$, quale deve essere il valore minimo di $h$ affinché non vi siano oscillazioni attorno alla posizione di equilibrio? Si determini in tal caso la legge del moto.
Soluzione:
Per il secondo principio della dinamica si ha:
$x''(t)=-4x(t)+hx'(t)$
Cioè:
$x''(t)-hx'(t)+4x(t)=0$
Devo porre uguale a zero il delta dell'equazione associata, quindi $h^2-16=0$ da cui $h=4$, affinché non vi siano oscillazioni.
Adesso risolvo il problema di Cauchy:
$\{(x''(t)-4x'(t)+4x(t)=0),(x(0)=1/5),(x'(0)=0):}$
La prima mi dà:
$x(t)=e^(2t)*(c_1x+c_2)$
Dalla seconda condizione
$c_2=1/5$
Dalla terza condizione ho
$x'(t)=2e^(2t)*(c_1*t+c_2)+c_1*e^(2t)$
Quindi
$2c_2+c_1=0$
Segue:
$c_1=-2c_2=-2/5$
Il legge oraria è in definitiva:
$x(t)=e^(2t)*(-2/5 t + 1/5)$ , o almeno così risulta a me, però il risultato corretto dovrebbe essere $x(t)=e^(-2t)*(2/5 t+1/5)$
Qualcuno può dirmi dove ho sbagliato?
Un corpo di massa $m=1kg$ è agganciato ad una molla di costante elastica $k=4 N/m$. Il sistema è appoggiato su un piano orizzontale. La molla viene allungata fino a $x(0)=0,2 m$ dalla posizione di equilibrio. Se il corpo viene rilasciato e se su di esso agisce una forza d'attrito $F=hx'(t)$, quale deve essere il valore minimo di $h$ affinché non vi siano oscillazioni attorno alla posizione di equilibrio? Si determini in tal caso la legge del moto.
Soluzione:
Per il secondo principio della dinamica si ha:
$x''(t)=-4x(t)+hx'(t)$
Cioè:
$x''(t)-hx'(t)+4x(t)=0$
Devo porre uguale a zero il delta dell'equazione associata, quindi $h^2-16=0$ da cui $h=4$, affinché non vi siano oscillazioni.
Adesso risolvo il problema di Cauchy:
$\{(x''(t)-4x'(t)+4x(t)=0),(x(0)=1/5),(x'(0)=0):}$
La prima mi dà:
$x(t)=e^(2t)*(c_1x+c_2)$
Dalla seconda condizione
$c_2=1/5$
Dalla terza condizione ho
$x'(t)=2e^(2t)*(c_1*t+c_2)+c_1*e^(2t)$
Quindi
$2c_2+c_1=0$
Segue:
$c_1=-2c_2=-2/5$
Il legge oraria è in definitiva:
$x(t)=e^(2t)*(-2/5 t + 1/5)$ , o almeno così risulta a me, però il risultato corretto dovrebbe essere $x(t)=e^(-2t)*(2/5 t+1/5)$
Qualcuno può dirmi dove ho sbagliato?
Risposte
Non sarà che la forza d'attrito è $-4x'(t)$ , cioè opposta alla velocità?
Del resto l'equazione $h^2=16$ ammette due soluzioni, quella positiva corrisponde a una forza che "spinge" (difatti hai un moto che allontana indefinitamente la particella dall'origine), quella negativa a una forza frenante
Del resto l'equazione $h^2=16$ ammette due soluzioni, quella positiva corrisponde a una forza che "spinge" (difatti hai un moto che allontana indefinitamente la particella dall'origine), quella negativa a una forza frenante
"Palliit":
Non sarà che la forza d'attrito è $-4x'(t)$ , cioè opposta alla velocità? Del resto l'equazione $h^2=16$ ammette due soluzioni, quella positiva corrisponde a una forza che "spinge" (difatti hai un moto che allontana indefinitamente la particella dall'origine), quella negativa a una forza frenante
Errorino, forse intendevi $-hx'(t)$
"Maurizio Zani":
forse intendevi $ -hx'(t) $
Il testo propone una forza frenante $F=hx'$, ho supposto che sottintendesse $h<0$.
Anche se, in effetti, di norma si esprime la forza come $-kx'$ con $k>0$.
Ma no, intendevo che hai scritto $4$ anziché $h$ 
Si, avevo sbagliato proprio questo: il segno della forza d'attrito. Grazie.
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