Problema sulla meccanica dei fludi
Salve a tutti, ho questo problema sulla dinamica dei fluidi.
Da un recipiente contenente un liquido di densità $ d=900,51 (kg)/m^3 $ si erge un tubo che poi si abbassa, come nella figura, dal quale esce il liquido. La differenza tra la quota della superficie del liquido e il foro dal quale esce è $ H = 3m $ , mentre il tubo si erge per ulteriori 2m (rimando all'immagine per un quadro più chiaro della situazione). Il problema chiede di trovare la velocità di uscita del liquido dal tubo. Vi illustro il mio metodo di svolgimento:
ho usato il teorema di Bernoulli considerando che:
- $ p1=p0 $ dove p1 è la pressione nella superficie del liquido e p0 è la pressione atmosferica;
- v1 può essere considerata nulla con buona approssimazione;
- $ p2=dg(H+h) $ per la legge di Stevino, dato che il termine p0 (correggetemi se sbaglio perchè non sono sicuro su questo punto) è bilanciato dalla pressione atmosferica che applicata al foro "dal basso";
- ho scelto come livello di riferimento per la quota quello del foro, per cui $ h2 = 0m $ e $ h1=H=3m $ .
Di conseguenza, il teroema di Bernoulli prende la forma
$ p0+dgH=dg(H+h)+1/2d(v2)^2 $ , dal quale $ v2=sqrt(2(p0+dg(-h))/d)=13,63m/s $ .
Il mio professore l'ha invece risolto in maniera diversa. Ha considerato $ p2=p0 $ e ha trascurato la legge di Stevino dicendo che la pressione della colonna del liquido può essere trascurata in confronto a quella atmosferica. Quindi in questo caso il teorema di Bernoulli diventa $ p0+dgH=p0+1/2d(v2)^2 $ , dal quale $ v2 = sqrt(2gH)=7,67m/s $ , risultato molto diverso.
Quale dei due approcci è corretto? O non lo sono nessuno dei due? Vi sarei molto grato se poteste aiutarmi!
Da un recipiente contenente un liquido di densità $ d=900,51 (kg)/m^3 $ si erge un tubo che poi si abbassa, come nella figura, dal quale esce il liquido. La differenza tra la quota della superficie del liquido e il foro dal quale esce è $ H = 3m $ , mentre il tubo si erge per ulteriori 2m (rimando all'immagine per un quadro più chiaro della situazione). Il problema chiede di trovare la velocità di uscita del liquido dal tubo. Vi illustro il mio metodo di svolgimento:
ho usato il teorema di Bernoulli considerando che:
- $ p1=p0 $ dove p1 è la pressione nella superficie del liquido e p0 è la pressione atmosferica;
- v1 può essere considerata nulla con buona approssimazione;
- $ p2=dg(H+h) $ per la legge di Stevino, dato che il termine p0 (correggetemi se sbaglio perchè non sono sicuro su questo punto) è bilanciato dalla pressione atmosferica che applicata al foro "dal basso";
- ho scelto come livello di riferimento per la quota quello del foro, per cui $ h2 = 0m $ e $ h1=H=3m $ .
Di conseguenza, il teroema di Bernoulli prende la forma
$ p0+dgH=dg(H+h)+1/2d(v2)^2 $ , dal quale $ v2=sqrt(2(p0+dg(-h))/d)=13,63m/s $ .
Il mio professore l'ha invece risolto in maniera diversa. Ha considerato $ p2=p0 $ e ha trascurato la legge di Stevino dicendo che la pressione della colonna del liquido può essere trascurata in confronto a quella atmosferica. Quindi in questo caso il teorema di Bernoulli diventa $ p0+dgH=p0+1/2d(v2)^2 $ , dal quale $ v2 = sqrt(2gH)=7,67m/s $ , risultato molto diverso.
Quale dei due approcci è corretto? O non lo sono nessuno dei due? Vi sarei molto grato se poteste aiutarmi!
Risposte
Ciao Giup, benvenuto sul Forum
Il risultato del tuo professore è corretto (in realtà se inserisce il termine dgH non sta trascurando la colonna di liquido). La legge di Stevino è una legge dell'idrostatica ma il problema è di idrodinamica. Tra l'altro puoi facilmente verificare che non è vero che p2(=p0) sia uguale a dg(H+h).
PS: meglio inserire questi problemi nella sezione di Fisica.
Il risultato del tuo professore è corretto (in realtà se inserisce il termine dgH non sta trascurando la colonna di liquido). La legge di Stevino è una legge dell'idrostatica ma il problema è di idrodinamica. Tra l'altro puoi facilmente verificare che non è vero che p2(=p0) sia uguale a dg(H+h).
PS: meglio inserire questi problemi nella sezione di Fisica.
"ingres":
Ciao Giup, benvenuto sul Forum
Il risultato del tuo professore è corretto (in realtà se inserisce il termine dgH non sta trascurando la colonna di liquido). La legge di Stevino è una legge dell'idrostatica ma il problema è di idrodinamica. Tra l'altro puoi facilmente verificare che non è vero che p2(=p0) sia uguale a dg(H+h).
PS: meglio inserire questi problemi nella sezione di Fisica.
Grazie mille per la risposta e per il consiglio: non sapevo si potessero dividere gli argomenti per sezioni.
Ho però ancora dei dubbi. Dato che la legge di Stevino è una legge di idrostatica, non posso applicarla ai problemi sull'idrodinamica? Inoltre il termine dgH a primo membro nel metodo risolutivo del mio professore non fa parte della formula della pressione, ma è invece il termine dell'equazione di Bernoulli (dgh1) che tiene conto della quota del livello del liquido nella situazione A.
Il teorema di Bernoulli, supponendo che si tratti di un fluido perfetto, pesante, incomprimibile e in moto permanente, si scrive , per un filetto fluido :
$z_A + p_A/(dg) + v_A^2/(2g) =z_B + p_B/(dg) + v_B^2/(2g)$
dove $A$ è la superficie libera del liquido nel serbatoio , mentre $B$ è il foro di uscita : ho messo i nomi che hai scritto tu in figura. Le quote sono contate da un piano orizzontale .
A questo punto, essendo $p_A = p_B$ , e supponendo nulla la velocità $V_A $ , si giunge alla relazione :
$g(z_A - z_B) = v_B^2/2 $
da cui la famosa formula torricelliana : $v_B = sqrt( 2gH) $
La presenza del “tubo che si erge” [nota]questa espressione mi fa ...sorridere un po’ ![/nota] non ha importanza ai fini del problema.
Il teorema di B. si deve capire , e soprattutto spiegare, molto bene.
$z_A + p_A/(dg) + v_A^2/(2g) =z_B + p_B/(dg) + v_B^2/(2g)$
dove $A$ è la superficie libera del liquido nel serbatoio , mentre $B$ è il foro di uscita : ho messo i nomi che hai scritto tu in figura. Le quote sono contate da un piano orizzontale .
A questo punto, essendo $p_A = p_B$ , e supponendo nulla la velocità $V_A $ , si giunge alla relazione :
$g(z_A - z_B) = v_B^2/2 $
da cui la famosa formula torricelliana : $v_B = sqrt( 2gH) $
La presenza del “tubo che si erge” [nota]questa espressione mi fa ...sorridere un po’ ![/nota] non ha importanza ai fini del problema.
Il teorema di B. si deve capire , e soprattutto spiegare, molto bene.
"Shackle":
Il teorema di Bernoulli, supponendo che si tratti di un fluido perfetto, pesante, incomprimibile e in moto permanente, si scrive , per un filetto fluido :
$z_A + p_A/(dg) + v_A^2/(2g) =z_B + p_B/(dg) + v_B^2/(2g)$
dove $A$ è la superficie libera del liquido nel serbatoio , mentre $B$ è il foro di uscita : ho messo i nomi che hai scritto tu in figura. Le quote sono contate da un piano orizzontale .
A questo punto, essendo $p_A = p_B$ , e supponendo nulla la velocità $V_A $ , si giunge alla relazione :
$g(z_A - z_B) = v_B^2/2 $
da cui la famosa formula torricelliana : $v_B = sqrt( 2gH) $
La presenza del “tubo che si erge” [nota]questa espressione mi fa ...sorridere un po’ ![/nota] non ha importanza ai fini del problema.
Il teorema di B. si deve capire , e soprattutto spiegare, molto bene.
Grazie per avermi risposto. In effetti quell'espressione non è esattamente tecnica
. C'è però ancora una cosa che non mi è chiara, perchè in questo caso $ p_A = p_B $, entrambe, suppongo, uguali alla pressione atmosferica? Perchè, come hai scritto, la presenza del tubo non ha importanza?
"Giup":
C'è però ancora una cosa che non mi è chiara, perchè in questo caso pA=pB, entrambe, suppongo, uguali alla pressione atmosferica?
Proprio perchè sono uguali alla pressione atmosferica (il dislivello di 3 m di aria corrisponde ad una variazione di 36 Pa, assolutamente trascurabile).
"Giup":
Perchè, come hai scritto, la presenza del tubo non ha importanza?
Non è il tubo in sè che non conta ma il tratto di tubo ad U di altezza h. Il perchè "matematico" dovrebbe essere chiaro da quanto scritto da @Shackle, il perchè fisico è dovuto al fatto che quello che perdi nel tratto ascendente lo recuperi nel tratto discendente.
Se vuoi un paragone, magari più comprensibile, di carattere meccanico considera un corpo lanciato su un cuneo privo di attrito. Se l'energia iniziale glielo permette il corpo raggiunge la sommità del cuneo perdendo velocità ma poi scendendo la riacquista ed alla fine ha la stessa velocità e il cuneo è come se non contasse nulla.
PS: non usare CITA per rispondere ma il tasto in basso RISPONDI. Eviti così di replicare tutto il post precedente.
Quando gli studenti incontrano per la prima volta il teorema di Bernoulli, restano sconcertati (in generale) dal fatto che al foro di uscita B dal serbatoio la pressione sia uguale a quella sulla sezione di ingresso A ( le lettere sono quelle della tua figura, e stiamo supponendo che la pressione in A sia quella atmosferica) : come fa ad esserci quindi la pressione atmosferica anche in B ? Senza entrare in dettagli tecnici che appartengono al campo della foronomia, ti basti sapere che nella sezione di uscita , immediatamente a valle del foro, le traiettorie sono sensibilmente parallele, e la pressione in quella sezione è idrostatica : siccome sul contorno esterno, a contatto con l’atmosfera, c’è la pressione atmosferica, la stessa pressione c’è in tutti i punti della sezione della vena uscente. Spero di essere stato chiaro. Ad ogni buon fine, ti allego sotto spoiler una pagina di un testo insuperato di idraulica , di Citrini-Noseda, dove la spiegazione è migliore della mia naturalmente :
ti conviene scaricare l’immagine e ruotarla , o stamparla , per leggere meglio, per non farti venire il torcicollo
Sulla questione del tubo ti ha già risposto Ingres .
ti conviene scaricare l’immagine e ruotarla , o stamparla , per leggere meglio, per non farti venire il torcicollo
Sulla questione del tubo ti ha già risposto Ingres .
"Shackle":
Quando gli studenti incontrano per la prima volta il teorema di Bernoulli, restano sconcertati (in generale) dal fatto che al foro di uscita B dal serbatoio la pressione sia uguale a quella sulla sezione di ingresso A ( le lettere sono quelle della tua figura, e stiamo supponendo che la pressione in A sia quella atmosferica) : come fa ad esserci quindi la pressione atmosferica anche in B ? Senza entrare in dettagli tecnici che appartengono al campo della foronomia, ti basti sapere che nella sezione di uscita , immediatamente a valle del foro, le traiettorie sono sensibilmente parallele, e la pressione in quella sezione è idrostatica : siccome sul contorno esterno, a contatto con l’atmosfera, c’è la pressione atmosferica, la stessa pressione c’è in tutti i punti della sezione della vena uscente. Spero di essere stato chiaro. Ad ogni buon fine, ti allego sotto spoiler una pagina di un testo insuperato di idraulica , di Citrini-Noseda, dove la spiegazione è migliore della mia naturalmente :
ti conviene scaricare l’immagine e ruotarla , o stamparla , per leggere meglio, per non farti venire il torcicollo
Sulla questione del tubo ti ha già risposto Ingres .
Grazie per le risoste. Ci sono però ancora alcune cose che non mi sono chiare: nel testo da te citato non capisco perchè si dice che $ P_b =0 $, mentre in una risposta precedente hai usato $ p_a=p_b $ . Insomma il risultato al quale si arriva è lo stesso, ma i presupposti alla base sono (o almeno mi sembrano) diversi. Inoltre le velocità sono parallele anche nella condotta, ma perchè in quel caso la corrente non viene considerata idrostatica? Se la corrente non è idrostatica, non posso applicare la legge di Stevino? Infine perchè Ingres nel suo messaggio ha considerato all'interno del tubo un dislivello di 3m d'aria e non di acqua?
P.S.: Grazie, Ingres, per il consiglio riguardo al tasto "rispondi". Avrei voluto usarlo, ma non ho capito come si citano singole sezioni di testo. Qualcuno sa come si fa?
"Giup":
P.S.: Grazie, Ingres, per il consiglio riguardo al tasto "rispondi". Avrei voluto usarlo, ma non ho capito come si citano singole sezioni di testo. Qualcuno sa come si fa?
Quando sei con l'Editor aperto, devi scendere in basso dove sono riportate le risposte precedenti e selezionare col mouse dal post interessato la porzione di testo che vuoi citare.
Quindi vai fino all'inizio del post in questione e vedrai il tasto CITA. Attivandolo ti citerà solo il pezzo da te selezionato (come ho fatto io sopra
)
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