Problema sulla gravitazione
Salve a tutti, avrei un problema su come calcolare l'eccentricità di un'orbita nel seguente problema:
Si consideri l'interazione gravitazionale tra il Sole e una cometa di massa $m = 10^10 kg$ trascurando tutte le altre interazioni. Quando la cometa si trova a distanze molto grandi dal Sole ha una velocità $v_\infty = 1000 m/s$ e dopo la collisione si allontana con una deviazione di $\theta = 90$ gradi rispetto alla direzione iniziale.
Calcolare il momento angolare della cometa, l'eccentricità dell'orbita e il perielio.
Come prima cosa mi ricavo la velocità con cui viene deviata la comenta imponendo la conservazione della quantità di moto nella collisione:
$mv_\infty = mvcos\theta$ e quindi $v = 6392,4 m/s$.
Poi mi ricavo la distanza dal Sole quando avviene la collisione imponendo la conservazione dell'energia:
$1/2m(v_\infty)^2 = 1/2mv^2-GmM/r$ e quindi $r = 6.66$x$10^12m$
Poi calcolo il momento angolare(che si conserva) come $L = mvrsin\theta = 4,26$x$10^26kgm^2/s$ e la distanza del perielio usando la formula $d_p = L^2/(m^2GM)$.
La mia domanda è: come faccio a calcolare l'eccentricità se non so il tipo di orbita che intraprende la cometa dopo la collisione?
Si consideri l'interazione gravitazionale tra il Sole e una cometa di massa $m = 10^10 kg$ trascurando tutte le altre interazioni. Quando la cometa si trova a distanze molto grandi dal Sole ha una velocità $v_\infty = 1000 m/s$ e dopo la collisione si allontana con una deviazione di $\theta = 90$ gradi rispetto alla direzione iniziale.
Calcolare il momento angolare della cometa, l'eccentricità dell'orbita e il perielio.
Come prima cosa mi ricavo la velocità con cui viene deviata la comenta imponendo la conservazione della quantità di moto nella collisione:
$mv_\infty = mvcos\theta$ e quindi $v = 6392,4 m/s$.
Poi mi ricavo la distanza dal Sole quando avviene la collisione imponendo la conservazione dell'energia:
$1/2m(v_\infty)^2 = 1/2mv^2-GmM/r$ e quindi $r = 6.66$x$10^12m$
Poi calcolo il momento angolare(che si conserva) come $L = mvrsin\theta = 4,26$x$10^26kgm^2/s$ e la distanza del perielio usando la formula $d_p = L^2/(m^2GM)$.
La mia domanda è: come faccio a calcolare l'eccentricità se non so il tipo di orbita che intraprende la cometa dopo la collisione?
Risposte
Leggiti questa parte del corso introduttivo di meccanica celeste di R. Fitzpatrick :
https://farside.ph.utexas.edu/teaching/ ... ode22.html
e in particolare il paragrafo relativo all’energia e ai parametri orbitali. Si conserva l’energia totale, oltre al momento angolare. Si assume uguale a zero l’energia potenziale a distanza che possiamo considerare quasi infinita; se l’energia totale è negativa l’orbita è chiusa e si tratta di una ellisse, come quella della cometa di Halley; il sistema si dice legato; se l’energia é positiva l’orbita è una iperbole, se l’energia è zero si ha una parabola. Ne conseguono le espressioni per l’eccentricità dell’orbita.
Non ho verificato quello che hai scritto.
https://farside.ph.utexas.edu/teaching/ ... ode22.html
e in particolare il paragrafo relativo all’energia e ai parametri orbitali. Si conserva l’energia totale, oltre al momento angolare. Si assume uguale a zero l’energia potenziale a distanza che possiamo considerare quasi infinita; se l’energia totale è negativa l’orbita è chiusa e si tratta di una ellisse, come quella della cometa di Halley; il sistema si dice legato; se l’energia é positiva l’orbita è una iperbole, se l’energia è zero si ha una parabola. Ne conseguono le espressioni per l’eccentricità dell’orbita.
Non ho verificato quello che hai scritto.
"Ale7982":
Come prima cosa mi ricavo la velocità con cui viene deviata la comenta imponendo la conservazione della quantità di moto nella collisione:
$mv_\infty = mvcos\theta$ e quindi $v = 6392,4 m/s$.
non consideri il momento trasferito al sole dalla cometa?
$p_{com} = p_{sun}^{'} + p_{sun}^{'}$
dove i momenti primati sono quelli in stato finale. Si suppone un riferimento in cui il sole inizialmente abbia velocità nulla.
Ma se il Sole(avendo una massa molto più grande) rimane fermo non ha momento nullo sia prima che dopo la collisione?
Invece per quanto riguarda l'eccentricità se ho un'energia meccanica negativa allora l'orbita è ellittica(e quindi limitata e anche chiusa) e basta usare la formula $d_p = a(1 - e)$ dove $d_p$ è la distanza del perielio che ho ricavato e $a$ è il semiasse maggiore dell'ellisse?
Invece per quanto riguarda l'eccentricità se ho un'energia meccanica negativa allora l'orbita è ellittica(e quindi limitata e anche chiusa) e basta usare la formula $d_p = a(1 - e)$ dove $d_p$ è la distanza del perielio che ho ricavato e $a$ è il semiasse maggiore dell'ellisse?
Nel tuo caso l’energia totale è positiva , si tratta di una iperbole.
"Ale7982":
Ma se il Sole(avendo una massa molto più grande) rimane fermo non ha momento nullo sia prima che dopo la collisione?
Invece per quanto riguarda l'eccentricità se ho un'energia meccanica negativa allora l'orbita è ellittica(e quindi limitata e anche chiusa) e basta usare la formula $d_p = a(1 - e)$ dove $d_p$ è la distanza del perielio che ho ricavato e $a$ è il semiasse maggiore dell'ellisse?
Qualche ragionamento:
Il sole non può avere una qdm finale nulla (o comunque trascurabile). Ciò violerebbe la conservazione (vettoriale!) della qdm nel sistema a 2 corpi sole-cometa (che è appunto un sistema isolato). Nel caso che propone l'esercizio, avresti una quantità di moto iniziale parallela alla velocità iniziale della cometa; ma una quantità di moto finale - supponendo nulla quella del sole - diretta perpendicolarmente a quella iniziale. Questo è impossibile. Di conseguenza, il sole fornisce alla cometa una qdm che la devia, e a sua volta rincula per legge di conservazione.
E' corretto invece che il momento angolare della cometa si conserva (forza centrale)
Sul calcolo della velocità della cometa dopo la deviazione e eccentricità, prova a guardare le pagine che ti hanno consigliato e in particolare la sezione sulla conservazione dell'energia e delle energie orbitali.
Se è un iperbole, il sistema non è legato. L'energia meccanica si conserva, e quindi l'energia meccanica dopo lo scattering, quando la cometa è molto lontano dal sole, è uguale a quella iniziale.
Di conseguenza, il sole fornisce alla cometa una qdm che la devia, e a sua volta rincula per legge di conservazione.
Per puntualizzare: dato che la massa del sole è 20 ordini di grandezza maggiore di quella della cometa, la velocità con cui rincula il sole sarà trascurabile. Ma la qdm no ...
Ho provato uno svolgimento, ma ottengo risultati diversi.
A meno di errori nei calcoli, il procedimento sembrerebbe ragionevole ...
In sostanza, il testo mi dice la traiettoria della cometa "all'infinito". Ipotizzando che inizialmente la velocità sia parallela ad un asse coordinato (diciamo quello x), e usando la coordinata polare theta, e sapendo che la traiettoria è un'iperbole, il grafico della traiettoria deve andare all'infinito per theta -> Pi e theta -> Pi/2.
Imponendo il passaggio in questi punti nella funzione r(theta) si ottiene l'eccentricità "e", pari a Sqrt(2)
Si può calcolare la distanza al perielio con la relazione nota (ho usato quelle nel link).
$$r_p = \frac{GM(e-1)}{v_{\infty}^2}$$ dovrebbe essere 5.52 10^(13) m
Per il (modulo del) momento angolare, $$ l = \frac{GMm}{v_\infty}$$
numericamente - forse 1.334 x 10^27 kg m^2 /s.
La cosa principale che non mi torna nella tua soluzione è il primo passaggio, dove dici di applicare la conservazione della qdm: cosa intendi esattamente? anche perché, interpretando letteralmente, essendo theta = Pi/2 si ottiene una identità mai soddisfatta, o mi sto perdendo qualcosa di grosso?
A meno di errori nei calcoli, il procedimento sembrerebbe ragionevole ...
In sostanza, il testo mi dice la traiettoria della cometa "all'infinito". Ipotizzando che inizialmente la velocità sia parallela ad un asse coordinato (diciamo quello x), e usando la coordinata polare theta, e sapendo che la traiettoria è un'iperbole, il grafico della traiettoria deve andare all'infinito per theta -> Pi e theta -> Pi/2.
Imponendo il passaggio in questi punti nella funzione r(theta) si ottiene l'eccentricità "e", pari a Sqrt(2)
Si può calcolare la distanza al perielio con la relazione nota (ho usato quelle nel link).
$$r_p = \frac{GM(e-1)}{v_{\infty}^2}$$ dovrebbe essere 5.52 10^(13) m
Per il (modulo del) momento angolare, $$ l = \frac{GMm}{v_\infty}$$
numericamente - forse 1.334 x 10^27 kg m^2 /s.
La cosa principale che non mi torna nella tua soluzione è il primo passaggio, dove dici di applicare la conservazione della qdm: cosa intendi esattamente? anche perché, interpretando letteralmente, essendo theta = Pi/2 si ottiene una identità mai soddisfatta, o mi sto perdendo qualcosa di grosso?
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