Problema sulla dinamica rotazionale

[gasbo1]

Salve a tutti.
Volevo chiedere aiuto su un problema nel quale sono bloccato da un paio di giorni.
Riporto le parti essenziali del testo:
"È presente un disco pieno orizzontale libero di ruotare attorno al proprio centro e avvolto da un cavo. L'estremo libero del cavo corre orizzontalmente lungo un piano; passa sopra una puleggia verticale e quindi scende verticalmente. All'estremo sospeso del cavo è collegata una gabbia."
Lo scopo di questo problema è trovare l'accelerazione della gabbia. Sono note le masse dei tre oggetti (disco, puleggia e gabbia) e i raggi di disco e puleggia.

Per affrontare problemi simili avevo applicato il secondo principio della dinamica alla gabbia:
\(\displaystyle Ma = Mg -T \)
Sapendo che la tensione è uguale a:
\(\displaystyle T = τ/R = Iα/R\)
Ero in grado di trovare la tensione in termini della massa della puleggia e poi risolvere il problema.

Il fatto è che era presente una singola puleggia e un corpo appeso, mentre in questo caso è presente anche un disco iniziale dal quale si srotola il cavo. Pur immaginando che la tensione possa cambiare non riesco a capire in che modo possa farlo e come possa descriverlo quantitativamente.

[anonymous_0b37e9]

Se il cavo aderisce perfettamente alla puleggia, in modo tale che, nonostante la presenza della forza di attrito, l'energia meccanica si conservi, e la puleggia non ha massa trascurabile, le due tensioni sono necessariamente diverse. Del resto, se così non fosse, non si comprenderebbe l'origine del momento responsabile dell'accelerazione angolare della puleggia medesima.

[gasbo1]

"anonymous_0b37e9":Se il cavo aderisce perfettamente alla puleggia, in modo tale che, nonostante la presenza della forza di attrito, l'energia meccanica si conservi, e la puleggia non ha massa trascurabile, le due tensioni sono necessariamente diverse. Del resto, se così non fosse, non si comprenderebbe l'origine del momento responsabile dell'accelerazione angolare della puleggia.

Grazie, dunque la tensione reciproca tra disco e puleggia è effettivamente diversa di quella tra puleggia e gabbia. Mi resta ancora una domanda però, in che modo è possibile trovare l'accelerazione della gabbia in questo caso? Non è sufficiente applicare il secondo principio della dinamica alla gabbia come ho fatto?

[Lucacs1]

Fai $ a=F_(ris) /M_(1+2+3) $
Che semplifica la vita non poco, tanto la forza trainante è $ mg $ e le forze frenati sono le tensioni

[gasbo1]

"Lucacs":Fai $ a=F_(ris) /M_(1+2+3) $
Che semplifica la vita non poco, tanto la forza trainante è $ mg $ e le forze frenati sono le tensioni

Non ci avevo pensato; alla fine l'ho risolto trovando prima l'accelerazione nel caso fosse presente una singola puleggia facendo:
\(\displaystyle Ma1 = Mg - T \)
Poi ho sostituito \(\displaystyle a1 \) al posto di \(\displaystyle g \) e ho riusato la stessa formula con la tensione in questo caso tra gabbia e puleggia per trovare l'accelerazione finale richiesta.

[anonymous_0b37e9]

"gasbo":
Non è sufficiente applicare il secondo principio della dinamica alla gabbia come ho fatto?

Dovresti scrivere le equazioni cardinali della dinamica per il disco, la puleggia e la gabbia:

Seconda equazione cardinale disco

$1/2m_dr_d^2\alpha_d=T_1r_d$

Seconda equazione cardinale puleggia

$1/2m_pr_p^2\alpha_p=(-T_1+T_2)r_p$

Prima equazione cardinale gabbia

$m_ga_g=-T_2+m_gg$

Quindi, ricordare le relazioni cinematiche tra accelerazione lineare e accelerazione angolare:

Relazioni cinematiche

$[a_g=\alpha_dr_d] ^^ [a_g=\alpha_pr_p]$

In definitiva, hai un sistema di 5 equazioni in 5 incognite. Ad ogni modo, per determinare l'accelerazione della gabbia ti conviene procedere mediante il metodo di riduzione:

$a_g=(2m_gg)/(2m_g+m_d+m_p)$

Prima di concludere, giova osservare che, se $m_d$ e $m_p$ sono trascurabili rispetto a $m_g$, la gabbia, come si comprende anche intuitivamente, cade liberamente.

[gasbo1]

"anonymous_0b37e9":[quote="gasbo"]
Non è sufficiente applicare il secondo principio della dinamica alla gabbia come ho fatto?

Dovresti scrivere le equazioni cardinali della dinamica per il disco, la puleggia e la gabbia:

Seconda equazione cardinale disco

$1/2m_dr_d^2\alpha_d=T_1r_d$

Seconda equazione cardinale puleggia

$1/2m_pr_p^2\alpha_p=(-T_1+T_2)r_p$

Prima equazione cardinale gabbia

$m_ga_g=-T_2+m_gg$

Quindi, ricordare le relazioni cinematiche tra accelerazione lineare e accelerazione angolare:

Relazioni cinematiche

$[a_g=\alpha_dr_d] ^^ [a_g=\alpha_pr_p]$

In definitiva, hai un sistema di 5 equazioni in 5 incognite. Ad ogni modo, per determinare l'accelerazione della gabbia ti conviene procedere mediante il metodo di riduzione:

$a_g=(2m_gg)/(2m_g+m_d+m_p)$

Prima di concludere, giova osservare che, se $m_d$ e $m_p$ sono trascurabili rispetto a $m_g$, la gabbia, come si comprende anche intuitivamente, cade liberamente.[/quote]

Grazie mille sei stato molto comprensivo, io ho agito in modo analogo forse complicandomi un po' i calcoli.