Problema sulla conservazione dell'enegia e della quantità di moto
Salve a tutti, sono uno studente di ingegneria chimica, ma non sono molto pratico con la fisica, dato che l'ho affrontata solo in prima e seconda superiore. Il problema è il seguente :
Un profilo semicircolare di raggio $ R=37.1 cm $ è montato su due piattaforme, formando un sistema di massa complessiva di $ M =8,28 kg $ che poggia su un piano senza attrito. Nel profilo è infilato un anello di massa $ m= 6,19 kg $ e dimensioni trascurabili, che può scorrere liberamente senza attrito. Inizialmente il sistema è in quiete e l'anello si trova nel punto più alto del semicerchio. A seguito di una piccola perturbazione, l'anello inizia a muoversi e scivola sul semicerchio fino a cadere su una delle due piattaforme.
1) Di quanto si è spostato il semicerchio quando l'anello urta la piattaforma? (d=15.9 cm)
2)Con quale velocità urta la piattaforma? (2,70 m/s)
3) Calcolare la forza che il semicerchio esercita sull'anello, un istante prima che l'anello colpisca la piattaforma? (69,5 N)
Sono riuscito a rispondere alla prima domanda ipotizzando che sul sistema non agiscono forze esterne, quindi il baricentro dei due corpi( che facciamo coincidere col centro di massa) non deve spostarsi ovvero se l'anello cade da una distanza R e spostandosi a destra di una distanza R, tutto il sistema dovrà traslare di una distanza d affinché il baricentro non di sposti:
$ mR-(m+M)d=0 $
Da cui $ d=m/(m+M) R= 0,159 m $
Vorrei però risolvere il problema applicando la conservazione dell'enargia e quella della quantià di moto(in un primo momento l'anello si trova ad altezza R, mentre le velocità sono relative ad un istante prima dell'impatto), scriverei quidi :
$ mgR=1/2mv^2+1/2(m+M)V^2 $ Conservazione energia cinetica
Considerando $ v $ la velocità verticale un momento prima dell'urto, mentre $ V $ quella orizzontale del sistema complessivo anello più sostegno. Qui mi blocco subito, dato che la risposta alla seconda domanda mi chiede la velocità dell'anello che dalla prima equazione risulta:
$ V'= (v^2+V^2)^(1/2) $ (somma vettoriale)
$ MV-mV' =0 $ Conservazione quantità di moto (non ne sono molto sicuro però, forse dovrei scrivere due equazioni relativi ai due assi ma non ci riesco)
Invece facendo $ (2gR)^(1/2) $ ottengo la risposta al problema, quindi il mio ragionamento è errato. Però mi sembra impossibile che l'anello acquisti una velocità uguale a quella che avrebbe se cadesse da un altezza $R$, dato che parte dell'energia cinetica viene trasferita al sostegno, in oltre questo modifica inevitabilmente la sua traiettoria. (una pallina su una calotta semisferica si staccherebbe ad un certo punto).
Per trovare la forza farei:
$ F= m v^2 /R $
Dato che in quel punto la velocità tangente alla traiettoria e $ v $, e non vi sono altre forze oltre a quella normale che è proprio quella richiesta (mg è verticale in quell'istante). Le incognite sarebbero $v$ e $V$, quindi se tutto fosse giusto basterebbe un sistema tra le due equazioni, per risolvere almeno le domande 2) e 3), Però non saprei comunque rispondere alla prima domanda, il sistema mi appare complicato non saprei trovare il tempo di caduta dell'anello. Grazie in anticipo!!
Un profilo semicircolare di raggio $ R=37.1 cm $ è montato su due piattaforme, formando un sistema di massa complessiva di $ M =8,28 kg $ che poggia su un piano senza attrito. Nel profilo è infilato un anello di massa $ m= 6,19 kg $ e dimensioni trascurabili, che può scorrere liberamente senza attrito. Inizialmente il sistema è in quiete e l'anello si trova nel punto più alto del semicerchio. A seguito di una piccola perturbazione, l'anello inizia a muoversi e scivola sul semicerchio fino a cadere su una delle due piattaforme.
1) Di quanto si è spostato il semicerchio quando l'anello urta la piattaforma? (d=15.9 cm)
2)Con quale velocità urta la piattaforma? (2,70 m/s)
3) Calcolare la forza che il semicerchio esercita sull'anello, un istante prima che l'anello colpisca la piattaforma? (69,5 N)
Sono riuscito a rispondere alla prima domanda ipotizzando che sul sistema non agiscono forze esterne, quindi il baricentro dei due corpi( che facciamo coincidere col centro di massa) non deve spostarsi ovvero se l'anello cade da una distanza R e spostandosi a destra di una distanza R, tutto il sistema dovrà traslare di una distanza d affinché il baricentro non di sposti:
$ mR-(m+M)d=0 $
Da cui $ d=m/(m+M) R= 0,159 m $
Vorrei però risolvere il problema applicando la conservazione dell'enargia e quella della quantià di moto(in un primo momento l'anello si trova ad altezza R, mentre le velocità sono relative ad un istante prima dell'impatto), scriverei quidi :
$ mgR=1/2mv^2+1/2(m+M)V^2 $ Conservazione energia cinetica
Considerando $ v $ la velocità verticale un momento prima dell'urto, mentre $ V $ quella orizzontale del sistema complessivo anello più sostegno. Qui mi blocco subito, dato che la risposta alla seconda domanda mi chiede la velocità dell'anello che dalla prima equazione risulta:
$ V'= (v^2+V^2)^(1/2) $ (somma vettoriale)
$ MV-mV' =0 $ Conservazione quantità di moto (non ne sono molto sicuro però, forse dovrei scrivere due equazioni relativi ai due assi ma non ci riesco)
Invece facendo $ (2gR)^(1/2) $ ottengo la risposta al problema, quindi il mio ragionamento è errato. Però mi sembra impossibile che l'anello acquisti una velocità uguale a quella che avrebbe se cadesse da un altezza $R$, dato che parte dell'energia cinetica viene trasferita al sostegno, in oltre questo modifica inevitabilmente la sua traiettoria. (una pallina su una calotta semisferica si staccherebbe ad un certo punto).
Per trovare la forza farei:
$ F= m v^2 /R $
Dato che in quel punto la velocità tangente alla traiettoria e $ v $, e non vi sono altre forze oltre a quella normale che è proprio quella richiesta (mg è verticale in quell'istante). Le incognite sarebbero $v$ e $V$, quindi se tutto fosse giusto basterebbe un sistema tra le due equazioni, per risolvere almeno le domande 2) e 3), Però non saprei comunque rispondere alla prima domanda, il sistema mi appare complicato non saprei trovare il tempo di caduta dell'anello. Grazie in anticipo!!
Risposte
Ciao! Ho provato a risolverlo:
1) Per il primo sono d'accordo con te.
2) Applichiamo la conservazione dell'energia, poiché l'energia si conserva. Questo avviene dato che il vincolo del semicerchio non compie lavoro dato che il suo contributo è sempre perpendicolare allo spostamento (e quindi per la definizione di lavoro, NON c'è lavoro della forza vincolare). Quindi come dici tu la velocità finale è proprio quella che acquisterebbe se cadesse da un'altezza R.
3) In questo punto sono un po' interdetto: considero infatti che lungo x:
$ sum_() vecF_e =0 $ $ rArr $ $ Q_(ix)=Q_(fx)=0 $ poiché all'inizio lungo x non c'è alcuna velocità.
Considero come fai tu $ T=(mv^2)/R $
Ora mi chiedo quanto valga v. Come abbiamo detto sopra la quantità di moto si conserva ed globalmente 0 per il sistema. Poiché ci viene chiesta la reazione vincolare un istante prima dell'urto, in quel momento possiamo considerare trascurabile la velocità dell'anello lungo x. Fatta questa considerazione, anche la velocità lungo x del sistema del semicerchio sarà 0. Quindi abbiamo solo velocità tangenziale alla circonferenza che è quella che abbiamo calcolato al punto sopra. Quindi mi risulta:
$ T=(mv^2)/R = 2gm =121,324 \ N $
che non è il risultato che dovrebbe venire. Purtroppo non posso aiutarti su questo punto, spero che qualcun'altra ci riesca (anche perché ha incuriosito anche il sottoscritto!)
1) Per il primo sono d'accordo con te.
2) Applichiamo la conservazione dell'energia, poiché l'energia si conserva. Questo avviene dato che il vincolo del semicerchio non compie lavoro dato che il suo contributo è sempre perpendicolare allo spostamento (e quindi per la definizione di lavoro, NON c'è lavoro della forza vincolare). Quindi come dici tu la velocità finale è proprio quella che acquisterebbe se cadesse da un'altezza R.
3) In questo punto sono un po' interdetto: considero infatti che lungo x:
$ sum_() vecF_e =0 $ $ rArr $ $ Q_(ix)=Q_(fx)=0 $ poiché all'inizio lungo x non c'è alcuna velocità.
Considero come fai tu $ T=(mv^2)/R $
Ora mi chiedo quanto valga v. Come abbiamo detto sopra la quantità di moto si conserva ed globalmente 0 per il sistema. Poiché ci viene chiesta la reazione vincolare un istante prima dell'urto, in quel momento possiamo considerare trascurabile la velocità dell'anello lungo x. Fatta questa considerazione, anche la velocità lungo x del sistema del semicerchio sarà 0. Quindi abbiamo solo velocità tangenziale alla circonferenza che è quella che abbiamo calcolato al punto sopra. Quindi mi risulta:
$ T=(mv^2)/R = 2gm =121,324 \ N $
che non è il risultato che dovrebbe venire. Purtroppo non posso aiutarti su questo punto, spero che qualcun'altra ci riesca (anche perché ha incuriosito anche il sottoscritto!)
Per la 2) credo sia l'unica spiegazione plausibile, quindi l'equazione della conservazione dell'energia è errata, non è d'accaordo con quanto supposto. Non saprei come applicare le leggi. Diciamo che la velocità che compare nella formula:
$ F=mv^2/R $
E' la velocità tangente alla traiettoria circolare, quindi la velocità di impatto espressa come $ v=(2gR)^(1/2) $, ha una direzione dipendente da una componente verticale (quella tangente alla circonferenza), mentre uno orizzontale comune ai due oggetti. Credo sia l'unica spiegazione plausibile, affinché la domanda 2), 3) possano essere contemporaneamente verificate. Sono sicuro dei risultati dato che è un esercizio preso da un compito d'esame, purtroppo essendo a crocette ho solo i risultati. Se tutto fosse assicurato al terreno:
$mgR= 1/2mv^2 +mgRcosx $ (conservazione energia) da cui: $ v^2=2gR(1-cos x) $
$ -mg cos x +F = -mv^2/R $
Dove x è l'angolo tra la verticale e la retta che individua la posizione dell'anello tracciata dal centro della semicirconferenza. Se il sistema non traslasse in avanti la velocità sarebbe la prima calcolata per x= 90°, e la forza verrebbe di conseguenza come hai detto tu. Comunque non credo che la velocità orizzontale sia trascurabile, è proprio lì il "bello" del problema. Grazie davvero, è un po' che mi tormenta questo problema, mi servirebbe da esempio per capire come anche in casi a prima vista complicati, con la conservazione dell'energia e della quantità di moto si possa semplificare il tutto!
$ F=mv^2/R $
E' la velocità tangente alla traiettoria circolare, quindi la velocità di impatto espressa come $ v=(2gR)^(1/2) $, ha una direzione dipendente da una componente verticale (quella tangente alla circonferenza), mentre uno orizzontale comune ai due oggetti. Credo sia l'unica spiegazione plausibile, affinché la domanda 2), 3) possano essere contemporaneamente verificate. Sono sicuro dei risultati dato che è un esercizio preso da un compito d'esame, purtroppo essendo a crocette ho solo i risultati. Se tutto fosse assicurato al terreno:
$mgR= 1/2mv^2 +mgRcosx $ (conservazione energia) da cui: $ v^2=2gR(1-cos x) $
$ -mg cos x +F = -mv^2/R $
Dove x è l'angolo tra la verticale e la retta che individua la posizione dell'anello tracciata dal centro della semicirconferenza. Se il sistema non traslasse in avanti la velocità sarebbe la prima calcolata per x= 90°, e la forza verrebbe di conseguenza come hai detto tu. Comunque non credo che la velocità orizzontale sia trascurabile, è proprio lì il "bello" del problema. Grazie davvero, è un po' che mi tormenta questo problema, mi servirebbe da esempio per capire come anche in casi a prima vista complicati, con la conservazione dell'energia e della quantità di moto si possa semplificare il tutto!
"Giacomo999":
Per la 2) credo sia l'unica spiegazione plausibile, quindi l'equazione della conservazione dell'energia è errata, non è d'accaordo con quanto supposto. Non saprei come applicare le leggi. Diciamo che la velocità che compare nella formula:
$ F=mv^2/R $
E' la velocità tangente alla traiettoria circolare, quindi la velocità di impatto espressa come $ v=(2gR)^(1/2) $, ha una direzione dipendente da una componente verticale (quella tangente alla circonferenza), mentre uno orizzontale comune ai due oggetti. Credo sia l'unica spiegazione plausibile, affinché la domanda 2), 3) possano essere contemporaneamente verificate. Sono sicuro dei risultati dato che è un esercizio preso da un compito d'esame, purtroppo essendo a crocette ho solo i risultati. Se tutto fosse assicurato al terreno:
$mgR= 1/2mv^2 +mgRcosx $ (conservazione energia) da cui: $ v^2=2gR(1-cos x) $
$ -mg cos x +F = -mv^2/R $
Dove x è l'angolo tra la verticale e la retta che individua la posizione dell'anello tracciata dal centro della semicirconferenza. Se il sistema non traslasse in avanti la velocità sarebbe la prima calcolata per x= 90°, e la forza verrebbe di conseguenza come hai detto tu. Comunque non credo che la velocità orizzontale sia trascurabile, è proprio lì il "bello" del problema. Grazie davvero, è un po' che mi tormenta questo problema, mi servirebbe da esempio per capire come anche in casi a prima vista complicati, con la conservazione dell'energia e della quantità di moto si possa semplificare il tutto!
Sulla conservazione della quantità di moto sono sicuro: non ci sono forze esterne lungo x => Quantità di moto si conserva lungo x => in questo caso è sempre 0 => se l'anello ha solo velocità tangenziale, nel momento in cui va a urtare la base, non ha più velocità lungo l'asse delle ascisse =>
$M_tV_(tx) + M_(a) V_(a \ x) = 0$
$ V_(a \ x) = 0 rArr V_(tx) = 0$
LA velocita' e' nulla al momento dell'impatto ma non lo e' l'accelerazione che a una mano di conti risulta essere:
$ {mR}/(M+m}2g $
Questa accelerazione da luogo a una forza a pparente (basta moltiplicare per m), che sottratta ai 121 N della forza centrifuga da il risultato di 69 e passa N
$ {mR}/(M+m}2g $
Questa accelerazione da luogo a una forza a pparente (basta moltiplicare per m), che sottratta ai 121 N della forza centrifuga da il risultato di 69 e passa N
"professorkappa":
LA velocita' e' nulla al momento dell'impatto ma non lo e' l'accelerazione che a una mano di conti risulta essere:
$ {mR}/(M+m}2g $
Questa accelerazione da luogo a una forza a pparente (basta moltiplicare per m), che sottratta ai 121 N della forza centrifuga da il risultato di 69 e passa N
Potresti indicare la "via" per questa manciata di conti?
Ho i calcoli su carta. Domani li fotografo e li posto. Troppo lungo per usare l'editor.
"professorkappa":
Ho i calcoli su carta. Domani li fotografo e li posto. Troppo lungo per usare l'editor.
Certo, no problem, più che altro sto provando con la conservazione dell'Energia e derivando rispetto al tempo, ma non so se è la via giusta.
"cande95":
Sulla conservazione della quantità di moto sono sicuro: non ci sono forze esterne lungo x => Quantità di moto si conserva lungo x => in questo caso è sempre 0 => se l'anello ha solo velocità tangenziale, nel momento in cui va a urtare la base, non ha più velocità lungo l'asse delle ascisse =>
$M_tV_(tx) + M_(a) V_(a \ x) = 0$
$ V_(a \ x) = 0 rArr V_(tx) = 0$
Perfetto ho capito, ti ringrazio!! Servirebbero anche a me i calcoli te ne sarei grato!! Grazie ancora a tutti!
Ho smarrito il blocchetto appunti al bar! Mi tocca fare daccapo 
Se chiami $x_c$ il centro della guida e $x_p$ l'ascissa della massettina, e $\theta$ l'angolo che il raggio vettore della massa forma con la verticale, il baricentro del sistema si scrive
$x_B={Mx_c+mx_p}/{M+m}$
Siccome vale: $x_p=x_c+Rsin\theta$ e deve essere $x_B=0$ per l'assenza di forze esterne, allora risulta che:
$0={Mx_c+mx_c+mRsin\theta}/{M+m}$, da cui trovi,
$x_c=-{mR}sin\theta/{M+m}$ che per $\theta=\pi/2$ e' l'espressione cercata da te.
Calcoliamo l'energia cinetica:
Per la guida: $E=1/2M\dotx_c^2$
Per la massa: $E=1/2mv_p^2$
Ma: $\v_p^2=\dot\x_p^2+\dot\y_p^2$
E tenuto conto che $\dot\x_p=+R\dot\thetacos\theta$ e $\doty_p=-R\dot\thetasin\theta$ si ottiene:
$E=1/2M\dotx_c^2+1/2m(\dot\x_c^2+R^2\dot\theta^2+2\dot\x_cR\dot\thetacos\theta)$
$E=1/2(M+m)\dot\x_c^2+1/2mR^2\dot\theta^2+m\dot\x_cR\dot\thetacos\theta$.
Sappiamo pero che $\dotx_c=-{mRcos\theta\dot\theta}/{M+m}$ e quindi l'en cin. si puo scrivere tutta in funzione di $(\theta, \dot\theta)$
$E(\theta, \dot\theta)=1/2{m^2R^2cos^2\theta\dot\theta^2}/{M+m}+1/2mR^2\dot\theta^2-{m^2R^2\dot\theta^2cos^2\theta}/{M+m}=+1/2mR^2\dot\theta^2-1/2{m^2R^2cos^2\theta\dot\theta^2}/{M+m}$
Ora con la conservazione dell'energia, ricavinel punto a theta =90 (non me lo far fare a me) che $\dot\theta^2={2g}/{R}$ da cui la $v_p$.
Per quanto riguarda la forza, nel sistema non inerziale rappresentato dal carrello, il corpo e' sottoposto:
Alla reazione vincolare F
Alla Forza peso,
Alla forza apparente di trascinamento $-m\ddotx_c=m$
VAle dunque:
$\vec{F}+mg\vec{j}-m\ddotx_c\vec{i}=m\omega^2R\vec{n}$. (n e' il versore centripeto)
ma $\ddotx_c\vec=-(mR)/(M+m)*(-sin\theta\dot\theta^2+cos\theta\ddot\theta)$
Metti $\theta=90$, moltiplica scalarmente per $\vec{i}$ e $\vec{i}$ e ottieni la reazione vincolare F (a meno di errori nei segni, perche con l'editor psso aver confuso)
Se chiami $x_c$ il centro della guida e $x_p$ l'ascissa della massettina, e $\theta$ l'angolo che il raggio vettore della massa forma con la verticale, il baricentro del sistema si scrive
$x_B={Mx_c+mx_p}/{M+m}$
Siccome vale: $x_p=x_c+Rsin\theta$ e deve essere $x_B=0$ per l'assenza di forze esterne, allora risulta che:
$0={Mx_c+mx_c+mRsin\theta}/{M+m}$, da cui trovi,
$x_c=-{mR}sin\theta/{M+m}$ che per $\theta=\pi/2$ e' l'espressione cercata da te.
Calcoliamo l'energia cinetica:
Per la guida: $E=1/2M\dotx_c^2$
Per la massa: $E=1/2mv_p^2$
Ma: $\v_p^2=\dot\x_p^2+\dot\y_p^2$
E tenuto conto che $\dot\x_p=+R\dot\thetacos\theta$ e $\doty_p=-R\dot\thetasin\theta$ si ottiene:
$E=1/2M\dotx_c^2+1/2m(\dot\x_c^2+R^2\dot\theta^2+2\dot\x_cR\dot\thetacos\theta)$
$E=1/2(M+m)\dot\x_c^2+1/2mR^2\dot\theta^2+m\dot\x_cR\dot\thetacos\theta$.
Sappiamo pero che $\dotx_c=-{mRcos\theta\dot\theta}/{M+m}$ e quindi l'en cin. si puo scrivere tutta in funzione di $(\theta, \dot\theta)$
$E(\theta, \dot\theta)=1/2{m^2R^2cos^2\theta\dot\theta^2}/{M+m}+1/2mR^2\dot\theta^2-{m^2R^2\dot\theta^2cos^2\theta}/{M+m}=+1/2mR^2\dot\theta^2-1/2{m^2R^2cos^2\theta\dot\theta^2}/{M+m}$
Ora con la conservazione dell'energia, ricavinel punto a theta =90 (non me lo far fare a me) che $\dot\theta^2={2g}/{R}$ da cui la $v_p$.
Per quanto riguarda la forza, nel sistema non inerziale rappresentato dal carrello, il corpo e' sottoposto:
Alla reazione vincolare F
Alla Forza peso,
Alla forza apparente di trascinamento $-m\ddotx_c=m$
VAle dunque:
$\vec{F}+mg\vec{j}-m\ddotx_c\vec{i}=m\omega^2R\vec{n}$. (n e' il versore centripeto)
ma $\ddotx_c\vec=-(mR)/(M+m)*(-sin\theta\dot\theta^2+cos\theta\ddot\theta)$
Metti $\theta=90$, moltiplica scalarmente per $\vec{i}$ e $\vec{i}$ e ottieni la reazione vincolare F (a meno di errori nei segni, perche con l'editor psso aver confuso)
Perfetto, ti ringrazio per la pazienza, ho capito il ragionamento, basta derivare rispetto a $ theta$ le coordinate dei vari corpi per trovare come varia la loro velocità con l'angolo che descrive la massa $m$.
Per il terzo punto, che in definitiva era l'unico che non mi tornava proprio, (anzi grazie per avermi dimostrato che la velocità di caduta è proprio $ sqrt(2gR) $ ), farei così:
$ x_c = m/(M+m) R sintheta $
$x''_c = m/(M+m) R omega^2 costheta = a_c $ (a meno del segno) con $ omega^2= (2g)/R $ ottengo $ a_c= m/(M+m)2g sintheta $
Non mi torna questo R però, anche dimensionalmente, di sicuro lo avrai dimenticato.
Nel sistema di riferimento non inerziale che accelera solidale col sostegno per la masssa $m$ (per $theta=pi/2$) si ha:
$ -ma_c +F = -m(y'_p)^2/R $ dove $y'_p = -R(omega=sqrt((2g)/R))= sqrt(2gR) $
$-ma_c= F_(app)$
E ottengo quello che hai detto tu $F= 2g(mM)/(m+M) = 69,5 N$
Grazie ancora!!
In pratica è simile a quello che hai impostato, ma mi perdo in prodotto scalari e versori, nel senso che fini a se stessi li ho chiari ma applicati mi confondo, preferisco scrivere tre equazioni riferiti ai tre assi coordinati!
Per il terzo punto, che in definitiva era l'unico che non mi tornava proprio, (anzi grazie per avermi dimostrato che la velocità di caduta è proprio $ sqrt(2gR) $ ), farei così:
$ x_c = m/(M+m) R sintheta $
$x''_c = m/(M+m) R omega^2 costheta = a_c $ (a meno del segno) con $ omega^2= (2g)/R $ ottengo $ a_c= m/(M+m)2g sintheta $
Non mi torna questo R però, anche dimensionalmente, di sicuro lo avrai dimenticato.
"professorkappa":
LA velocita' e' nulla al momento dell'impatto ma non lo e' l'accelerazione che a una mano di conti risulta essere:
$ {mR}/(M+m}2g $
Questa accelerazione da luogo a una forza apparente (basta moltiplicare per m), che sottratta ai 121 N della forza centrifuga da il risultato di 69 e passa N
Nel sistema di riferimento non inerziale che accelera solidale col sostegno per la masssa $m$ (per $theta=pi/2$) si ha:
$ -ma_c +F = -m(y'_p)^2/R $ dove $y'_p = -R(omega=sqrt((2g)/R))= sqrt(2gR) $
$-ma_c= F_(app)$
E ottengo quello che hai detto tu $F= 2g(mM)/(m+M) = 69,5 N$
Grazie ancora!!
In pratica è simile a quello che hai impostato, ma mi perdo in prodotto scalari e versori, nel senso che fini a se stessi li ho chiari ma applicati mi confondo, preferisco scrivere tre equazioni riferiti ai tre assi coordinati!
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