Problema sul potenziale in un punto
Ciao a tutti, ho un esercizio che mi chiede di trovare il potenziale nel punto $ P $ sapendo che il potenziale nell'origine è pari a zero. Il disegno è:
Allora ho una carica $ q_o $ posta a distanza $ d $ dall'origine (puntino azzurro); poi ho un filo posto anch'esso a distanza $ d $ dall'origine con densità lineare uniforme pari a $ lambda $ (circonferenza a destra nel disegno).
Come sfrutto il potenziale all'origine pari a zero? Cioè per trovare il potenziale nel punto P non basta sommare il campo elettrico creato da $ q_o $ e da $ lambda $ nel punto P? Quindi per intenderci, il campo creato da $ q_o $ sarebbe uguale a:
$ E = 1/(4piepsilon_o)*q_o/r $
dove $ r $ è la distanza tra la carica $ q_o $ e il punto P.
Grazie
Allora ho una carica $ q_o $ posta a distanza $ d $ dall'origine (puntino azzurro); poi ho un filo posto anch'esso a distanza $ d $ dall'origine con densità lineare uniforme pari a $ lambda $ (circonferenza a destra nel disegno).
Come sfrutto il potenziale all'origine pari a zero? Cioè per trovare il potenziale nel punto P non basta sommare il campo elettrico creato da $ q_o $ e da $ lambda $ nel punto P? Quindi per intenderci, il campo creato da $ q_o $ sarebbe uguale a:
$ E = 1/(4piepsilon_o)*q_o/r $
dove $ r $ è la distanza tra la carica $ q_o $ e il punto P.
Grazie
Risposte
Il potenziale e' funzione dei punti della regione a meno di una costante.
Trovata la funzione potenzialeU= U (P) +C, imponendo che essa sia nulla nella origine trovi la funzione "finale". Da li trovi il potenziale in ogni punto della regione. Spero di aver compreso bene perché non riesco a aprire le figure
Trovata la funzione potenzialeU= U (P) +C, imponendo che essa sia nulla nella origine trovi la funzione "finale". Da li trovi il potenziale in ogni punto della regione. Spero di aver compreso bene perché non riesco a aprire le figure
Quindi per trovare il potenziale nel punto A devo utilizzare la formula: $ Delta V = V_A -V_O $ dove $ V_O=0 $ (potenziale nell'origine).
Ora per trovare $ V_A $ (potenziale nel punto A) devo calcolare i contributi dati dalla particella puntiforme $ q_0 $ e dal filo $ lambda $.
Per quanto riguarda la particella $ q_0 $ so che il potenziale lo trovo con la formula: $ 1/(4pi\varepsilon _0)*q_o/r_A $ dove $ r_A=sqrt(d^2+y_a^2 $ (la distanza tra la particella e il punto A).
A questa devo sottrarre il potenziale della particella però questa volta calcolato nell'origine, cioè: $ 1/(4pi\varepsilon _0)*q_o/d $
Ora devo trovare il potenziale creato dal filo $ lambda $; questo lo calcolo con la formula: $ lambda/(2pi\varepsilon _0)*ln(r_A/r_0) $. Ora qui ho un dubbio, dovrei sottrarre il potenziale creato dal filo calcolato nell'origine. Ma che distanze metto nel logaritmo naturale? Cioè dovrei scrivere: $ lambda/(2pi\varepsilon _0)*ln(r_0/r_0) $ ?
Non mi è ben chiaro le distanze da mettere sul logaritmo, se qualcuno riuscisse a spiegarmi questo passaggio ne sarei molto grato.
Grazie
Ora per trovare $ V_A $ (potenziale nel punto A) devo calcolare i contributi dati dalla particella puntiforme $ q_0 $ e dal filo $ lambda $.
Per quanto riguarda la particella $ q_0 $ so che il potenziale lo trovo con la formula: $ 1/(4pi\varepsilon _0)*q_o/r_A $ dove $ r_A=sqrt(d^2+y_a^2 $ (la distanza tra la particella e il punto A).
A questa devo sottrarre il potenziale della particella però questa volta calcolato nell'origine, cioè: $ 1/(4pi\varepsilon _0)*q_o/d $
Ora devo trovare il potenziale creato dal filo $ lambda $; questo lo calcolo con la formula: $ lambda/(2pi\varepsilon _0)*ln(r_A/r_0) $. Ora qui ho un dubbio, dovrei sottrarre il potenziale creato dal filo calcolato nell'origine. Ma che distanze metto nel logaritmo naturale? Cioè dovrei scrivere: $ lambda/(2pi\varepsilon _0)*ln(r_0/r_0) $ ?
Non mi è ben chiaro le distanze da mettere sul logaritmo, se qualcuno riuscisse a spiegarmi questo passaggio ne sarei molto grato.
Grazie
Ma chiede il potenziale nel punto P, che c'entra A
Comunque, il potenziale della carica in ogni punto dello spazio e' $V=k_1q/r+C_1$ dove r e' la distanza del punto considerato dalla carica.
Allo stesso modo, il potenziale del filo e' $V=k_2lambdaln(1/r)+C_2$.
Il potenziale totale e' dunque $V=k_1q/r+k_2lambdaln(1/r)+A$ (dove con A ho sommato le costanti arbitrarie.
Nell'origine il potenziale e' 0 (te lo dice il problema. Siccome la distanza della carica e dal filo e' d in entrambi casi, si puo' scrivere
$V(0)=0=k_1q/d+k_2lambdaln(1/d)+A$ da cui ricavi A
Quindi $V=k_1q/r+k_2lambdaln(1/r)-k_1q/d-k_2lambdaln(1/d)$.
Il punto p e' a distanza $sqrt(d^2+y_p^2)$, e quindi il potenziale in P e' $V=k_1q/sqrt(d^2+y_p^2)+k_2lambdaln(1/sqrt(d^2+y_p^2))-k_1q/d-k_2lambdaln(1/d)$
Ricontrolla, perche ho fatto senza scrivere su carta e il potenziale del filo non me lo sono calcolato, ho dato per buona la tua, che a memoria mi sembra giusta
Comunque, il potenziale della carica in ogni punto dello spazio e' $V=k_1q/r+C_1$ dove r e' la distanza del punto considerato dalla carica.
Allo stesso modo, il potenziale del filo e' $V=k_2lambdaln(1/r)+C_2$.
Il potenziale totale e' dunque $V=k_1q/r+k_2lambdaln(1/r)+A$ (dove con A ho sommato le costanti arbitrarie.
Nell'origine il potenziale e' 0 (te lo dice il problema. Siccome la distanza della carica e dal filo e' d in entrambi casi, si puo' scrivere
$V(0)=0=k_1q/d+k_2lambdaln(1/d)+A$ da cui ricavi A
Quindi $V=k_1q/r+k_2lambdaln(1/r)-k_1q/d-k_2lambdaln(1/d)$.
Il punto p e' a distanza $sqrt(d^2+y_p^2)$, e quindi il potenziale in P e' $V=k_1q/sqrt(d^2+y_p^2)+k_2lambdaln(1/sqrt(d^2+y_p^2))-k_1q/d-k_2lambdaln(1/d)$
Ricontrolla, perche ho fatto senza scrivere su carta e il potenziale del filo non me lo sono calcolato, ho dato per buona la tua, che a memoria mi sembra giusta
Grazie per la spiegazione. Solo un piccolo dubbio (non ho ben mai capito questo "aspetto"): perchè devo andarmi a ricavare la costante A?
"sam1709":
Grazie per la spiegazione. Solo un piccolo dubbio (non ho ben mai capito questo "aspetto"): perchè devo andarmi a ricavare la costante A?
Non devi necessariamente ricavarla. A te interessa normalmente la differenza di potenziale tra due punti dato un campo di forze. In quel caso, la costante non serve, percentuale si elide comunque, per differenza. Ma se il potenziale in un punto e' assegnato, allora devi farlo, perché esistono infinite funzioni integrali di Fdx, ma una sola avrà quel valore assegnato in quel punto è quella funzione potenziale è determinata dalla costante
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