Problema sul momento di inerzia
Ciao a tutti, ho trovato molti problemi nella risoluzione di questo problema d'esame:
un asta (lunghezza totale $l$ e massa $M$ trascurabile ha un estremo incernierato in un punto di un asse verticale, all'estremo dell'asta vi è una massa $m$.
E' nota la velocità angolare $w_0$ intorno all'asse verticale.
Bisogna determinare l'angolo minimo $theta_min$ che l'asta forma con l'asse verticale nella posizione più bassa raggiunta dal pesetto $m$.
ragiono come se la piccola massa $m$ non ci fosse, dunque un ragionamento più concettuale:
quello che so è che il momento di inerzia di una sbarra sottile è: $I_=(M*l^2)/12$
dobbiamo trovare però il momento di inerzia dell'asse verticale, che chiamo $I_a = I + M*(l/2)^2$
e dunque si ricava $I_a = (M * l^2)/3
per $M*(l/2)^2$ è proprio del centro di massa.
ora il momento di inerzia cambierà quando la sbarra con la massa scende giu, fino ad arrivare ad un angolo minimo, richiesto dal problema.
Tutto viene messo in funzione di $theta$:
$(I_a((pi)/2)*w_0 = (I_a(theta)) *w$
dunque il problema sta mettere $I_a$ in funzione di $theta$, intuitivamente mi verrebbe da dire: $(l*sin(theta))^2$ al primo membro a posto di $theta =(pi)/2$ moltiplicato per $w_0$ che è noto, ci fa capire che:
$cost = (I_a)*w$ quando la massa $m$ si avvicina sempre più all'asse $a$ e scende, il momento di inerzia che dipende da $theta$ diminuisce.
Oltretutto non riesco a d andare avanti
, suggeriimenti?
grazie.
un asta (lunghezza totale $l$ e massa $M$ trascurabile ha un estremo incernierato in un punto di un asse verticale, all'estremo dell'asta vi è una massa $m$.
E' nota la velocità angolare $w_0$ intorno all'asse verticale.
Bisogna determinare l'angolo minimo $theta_min$ che l'asta forma con l'asse verticale nella posizione più bassa raggiunta dal pesetto $m$.
ragiono come se la piccola massa $m$ non ci fosse, dunque un ragionamento più concettuale:
quello che so è che il momento di inerzia di una sbarra sottile è: $I_=(M*l^2)/12$
dobbiamo trovare però il momento di inerzia dell'asse verticale, che chiamo $I_a = I + M*(l/2)^2$
e dunque si ricava $I_a = (M * l^2)/3
per $M*(l/2)^2$ è proprio del centro di massa.
ora il momento di inerzia cambierà quando la sbarra con la massa scende giu, fino ad arrivare ad un angolo minimo, richiesto dal problema.
Tutto viene messo in funzione di $theta$:
$(I_a((pi)/2)*w_0 = (I_a(theta)) *w$
dunque il problema sta mettere $I_a$ in funzione di $theta$, intuitivamente mi verrebbe da dire: $(l*sin(theta))^2$ al primo membro a posto di $theta =(pi)/2$ moltiplicato per $w_0$ che è noto, ci fa capire che:
$cost = (I_a)*w$ quando la massa $m$ si avvicina sempre più all'asse $a$ e scende, il momento di inerzia che dipende da $theta$ diminuisce.
Oltretutto non riesco a d andare avanti
, suggeriimenti?grazie.
Risposte
Non potresti risolverlo più semplicemente calcolando la forza centrifuga e bilanciandola con la componente della forza peso che agisce nella stessa direzione?
Tu suggerisci dunque di risolverlo guardando le forze che agiscono sul sistema?
Sembra buona come idea, ma credo che io debba unirla semmai alle condizioni che ho trovato prima :S
$F_c = m*(w^2)*l$ quando $w=w_0$
mentre $F_c = m*(w^2)*(l*cos(theta))/2$ quando incomincia a variare $theta$
poi come altra forza c'è la reazione vincolare dell'asse, e come dici tu la forza peso (forza peso considerando solo la massa dell'asta dici?)
il prof a lezione aveva suggerito perfino di risolverlo attraverso l'energia, ma non so se va bene o meno.
(purtroppo non riesco ad applicare l'immagine)
Sembra buona come idea, ma credo che io debba unirla semmai alle condizioni che ho trovato prima :S
$F_c = m*(w^2)*l$ quando $w=w_0$
mentre $F_c = m*(w^2)*(l*cos(theta))/2$ quando incomincia a variare $theta$
poi come altra forza c'è la reazione vincolare dell'asse, e come dici tu la forza peso (forza peso considerando solo la massa dell'asta dici?)
il prof a lezione aveva suggerito perfino di risolverlo attraverso l'energia, ma non so se va bene o meno.
(purtroppo non riesco ad applicare l'immagine)
Io risolverei così: scrivi la forza centripeta, che è diretta perpendicolarmente all'asse di rotazione, la scomponi nelle due componenti, una parallela all'asta che non da contributo e l'altra perpendicolare all'asta che verrà equilibrata dalla componente della forza peso perpendicolare all'asta.
Dalla condizione di equilibrio che ti ho appena detto ricaverai un'equazione che ti permette di calcolare $theta$
Dalla condizione di equilibrio che ti ho appena detto ricaverai un'equazione che ti permette di calcolare $theta$
In formule ciò che dici sarebbe (correggimi se sbaglio):
$F_c= m*(w^2)*l$
$F_p= m*g$
da cui $w=sqrt(g/l)$
e dunque mettere a posto di $l$ una relazione che sia dipendente da $theta$?
E questa $w$ la si mette dunque in $I((pi)/2)*w_0 = I (theta) *w$?
P.S
La reazione dell'asta non c'entra nulla allora?
P.S.S
il risultato finale è: $theta=arccos[(((w_0)^2)*l)/(4*g))*((sqrt((1+((4*g)/((w_0)^2)*l))-1)]$
$F_c= m*(w^2)*l$
$F_p= m*g$
da cui $w=sqrt(g/l)$
e dunque mettere a posto di $l$ una relazione che sia dipendente da $theta$?
E questa $w$ la si mette dunque in $I((pi)/2)*w_0 = I (theta) *w$?
P.S
La reazione dell'asta non c'entra nulla allora?
P.S.S
il risultato finale è: $theta=arccos[(((w_0)^2)*l)/(4*g))*((sqrt((1+((4*g)/((w_0)^2)*l))-1)]$
A dispetto del titolo, non credo che il momento d'inerzia della barra sia proprio necessario per risolvere questo problema. Se ti metti nel sistema di riferimento della barra (che quindi per te è ferma) basta scrivere l'equilibrio alla rotazione attormo al punto di sospensione delle forze peso e delle forze centrifughe usando come parametro l'angolo di inclinazione.
Se ho capito bene il problema (ma un disegno non guasterebbe), peraltro, la posizione più bassa (barra che gira in asse con la massetta nel punto più basso che può raggiungere) è sempre di equilibrio, solo che, quando la velocità angolare supera un valore critico, tale configurazione diventa instabile.
Se ho capito bene il problema (ma un disegno non guasterebbe), peraltro, la posizione più bassa (barra che gira in asse con la massetta nel punto più basso che può raggiungere) è sempre di equilibrio, solo che, quando la velocità angolare supera un valore critico, tale configurazione diventa instabile.
Io ho fatto un disegno con paint, ma imageshack non me lo fa caricare
riproduco qualcosa simile con dei puntini e trattini per rendere l'idea.
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Questa è la situazione iniziale, cioè quando $w_0$ è noto e l'angolo è $theta=(pi)/2$
La forza centripeta nella situazione iniziale è $F_c =m*(w^2)*l$
Man mano che gira, quest asta fa si che l'angolo da $(pi)/2$ diminuisca, e il pesetto $m$ tenda ad arrivare più velocemente all'asse, $w$ aumenta monotonicamente in effetti.
ed è $l$ che va messo in funzione di $theta$?
Forse bisogna usare la teoria dell'energia?
riproduco qualcosa simile con dei puntini e trattini per rendere l'idea.
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Questa è la situazione iniziale, cioè quando $w_0$ è noto e l'angolo è $theta=(pi)/2$
La forza centripeta nella situazione iniziale è $F_c =m*(w^2)*l$
Man mano che gira, quest asta fa si che l'angolo da $(pi)/2$ diminuisca, e il pesetto $m$ tenda ad arrivare più velocemente all'asse, $w$ aumenta monotonicamente in effetti.
ed è $l$ che va messo in funzione di $theta$?
Forse bisogna usare la teoria dell'energia?
"clever":
In formule ciò che dici sarebbe (correggimi se sbaglio):
No, nella mia soluzione non parlo di momento d'inerzia.
Puoi iniziare scrivendo la forza centrifuga che agisce sulla massa:
$ F = mv^2/r $, poi metti $ v=omega r $, poi scomponi la forza nelle due componenti (parallela e ortogonale alla bacchetta)
Questa componente deve essere equilibrata dalla componente della forza peso ortogonale alla bacchetta dato che il tutto è in equilibrio...
se ti dico altro è come se ti scrivessi la soluzione
La forza parallela non ci interessa, dunque mi soffermo su quella perpendicolare all'asse.
$F_c = m * (w^2) *l$ (dove $l$ è la lunghezza dell'intera asta)
per la forza peso:
$F_p = m *g$ sarebbe quella parallela.
mentre:
$F_p = m *g*cos(theta)$ quello perpendicolare all'asta-
da cui:
$cos(theta)= ((w^2)*l)/g$
dunque è questa la relazione che vede $w$ e $theta$ una funzione dell'altra?
$F_c = m * (w^2) *l$ (dove $l$ è la lunghezza dell'intera asta)
per la forza peso:
$F_p = m *g$ sarebbe quella parallela.
mentre:
$F_p = m *g*cos(theta)$ quello perpendicolare all'asta-
da cui:
$cos(theta)= ((w^2)*l)/g$
dunque è questa la relazione che vede $w$ e $theta$ una funzione dell'altra?
Nell'espressione della forza centrifuga che ho scritto io come raggio c'è un $r$ che tu hai tradotto con una $l$ : sei sicuro che nella formula ci andasse proprio $l$ ?
Aspetta tu vedi $r$ come distanza dal pesetto all'asta, dunque anche $r$ va in funzione di $theta$ perchè varia istante per istante fino a stabilizzarsi per $w$ critico e $theta_min$?
Innanzitutto ti conviene analizzare il problema considerandolo in equilibrio. Se tu pensi a $theta$ come angolo che varia istante per istante, in assenza di forze di attrito il sistema non raggiungerebbe mai un punto di equilibrio, perciò $theta$ non sarebbe un valore determinato ma una funzione del tempo, oltre al fatto che ti mancherebbero dei dati per calcolare questa funzione. Anzi se devo dirla tutta non capisco perché il problema ti chieda il $theta_min$ ... secondo me esiste un solo angolo, che è quello appunto di equilibrio (a meno che non intenda l'altra situazione di equilibrio instabile rappresentata da $theta = 0$ ...)
Detto questo, chiedi se/perché $r$ va in funzione di $theta$ ... prova a immaginare la massa che ruota appesa all'asta rigida: qual'è il raggio del cerchio che rappresenta la rotazione della massa? Prova ad esprimerlo in funzione di $l$
Detto questo, chiedi se/perché $r$ va in funzione di $theta$ ... prova a immaginare la massa che ruota appesa all'asta rigida: qual'è il raggio del cerchio che rappresenta la rotazione della massa? Prova ad esprimerlo in funzione di $l$
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