Problema sul metodo variazionale [ Meccanica quantistica ]
Buonasera ragazzi,
fra 3 giorni avrò lo scritto di struttura della materia 2 e sto impazzendo dietro questo esercizio. Ho cercato aiuto su libri,internet ma niente. Vi sarei super mega grato se riusciste ad aiutarmi
"Si consideri una particella in 1D soggetta al potenziale V(x) = 0 se $ 0<= x<=L $ , altrimenti infinito. Si calcoli il rapporto E0 su Ep , dove E0 è l'energia esatta di stato fondamentale e Ep è la stima ottenuta utilizzando una funzione di prova \(\psi \)(x) = $ A*x^2(x^2-B) $ se siamo tra $ 0<= x<=L $ ; altrimenti \(\psi \)(x) = 0 .
Prima di effettuare il calcolo imporre : la continuità e la normalizzazione di \(\psi \)(x)."
Per dire io già mi impallo con la continuità ( dovrei imporre \(\psi \)(0) e \(\psi \)(L) giusto ? )
GRAZIE MILLE A TUTTI!
fra 3 giorni avrò lo scritto di struttura della materia 2 e sto impazzendo dietro questo esercizio. Ho cercato aiuto su libri,internet ma niente. Vi sarei super mega grato se riusciste ad aiutarmi
"Si consideri una particella in 1D soggetta al potenziale V(x) = 0 se $ 0<= x<=L $ , altrimenti infinito. Si calcoli il rapporto E0 su Ep , dove E0 è l'energia esatta di stato fondamentale e Ep è la stima ottenuta utilizzando una funzione di prova \(\psi \)(x) = $ A*x^2(x^2-B) $ se siamo tra $ 0<= x<=L $ ; altrimenti \(\psi \)(x) = 0 .
Prima di effettuare il calcolo imporre : la continuità e la normalizzazione di \(\psi \)(x)."
Per dire io già mi impallo con la continuità ( dovrei imporre \(\psi \)(0) e \(\psi \)(L) giusto ? )
GRAZIE MILLE A TUTTI!
Risposte
Nessuno? Non saprei dove altro chiedere! Per dire se io impongo la continuità e mi esce zero sia a x=0 che a x=L cosa significa?
Ciao lecter, ieri ho dato uno sguardo all'esercizio. Se devo essere onesto non mi torna la consegna..
Ad ogni modo, all'esterno di una buca di potenziale infinito si pone $\psi(x) = 0$ (ipotesi ragionevole visto che la barriera è di fatto invalicabile). Imporre la continuità della funzione d'onda significa prescrivere che anche ai bordi la $\psi$ si annulli. Ossia: $\psi(0)=0$ e $\psi(L)=0$.
Ecco, se prima di applicare il metodo variazionale imponessimo continuità e normalizzazione, non avremmo più alcun parametro rispetto a cui calcolare le variazioni del valore d'aspettazione dell'energia. La condizione $\psi(0)=0$ è banalmente verificata per ogni $A$ e $B$. Ponendo $\psi(L)=0$ si ottiene $B=L^2$ e sfruttando la normalizzazione otteniamo un valore numerico per $A$. Una volta determinate queste costanti come calcoli le variazioni di $E$?
Mentre scrivo mi viene in mente una possibile risposta.. ho considerato $A$ e $B$ reali e forse sta lì l'errore. Ora sono di fretta e sto uscendo, in serata spero di poterti aiutare. Buona giornata!
Ad ogni modo, all'esterno di una buca di potenziale infinito si pone $\psi(x) = 0$ (ipotesi ragionevole visto che la barriera è di fatto invalicabile). Imporre la continuità della funzione d'onda significa prescrivere che anche ai bordi la $\psi$ si annulli. Ossia: $\psi(0)=0$ e $\psi(L)=0$.
Ecco, se prima di applicare il metodo variazionale imponessimo continuità e normalizzazione, non avremmo più alcun parametro rispetto a cui calcolare le variazioni del valore d'aspettazione dell'energia. La condizione $\psi(0)=0$ è banalmente verificata per ogni $A$ e $B$. Ponendo $\psi(L)=0$ si ottiene $B=L^2$ e sfruttando la normalizzazione otteniamo un valore numerico per $A$. Una volta determinate queste costanti come calcoli le variazioni di $E$?
Mentre scrivo mi viene in mente una possibile risposta.. ho considerato $A$ e $B$ reali e forse sta lì l'errore. Ora sono di fretta e sto uscendo, in serata spero di poterti aiutare. Buona giornata!
Ciao Lecter e ciao DelCrossB, anche io ho i tuoi stessi dubbi.
Ieri notte ho guardato l'esercizio e non mi tornavano i conti. Anche secondo me i vorrebbe un parametro aggiuntivo, cos' da calcolare le variazioni di E.
Mmmh, dici? A me non sembra che faccia qualche differenza, ma forse mi sbaglio.
Ci penso. Buona giornata!
Ieri notte ho guardato l'esercizio e non mi tornavano i conti. Anche secondo me i vorrebbe un parametro aggiuntivo, cos' da calcolare le variazioni di E.
ho considerato A e B reali e forse sta lì l'errore
Mmmh, dici? A me non sembra che faccia qualche differenza, ma forse mi sbaglio.
Ci penso. Buona giornata!
Grazie mille per le risposte intanto! Comunque vedete? Anche io mi bloccavo nella continuità e normalizzazione perchè non mi sembrava aver senso! Comunque il testo è giusto, l'ho rincontrollato ora!
Abbiamo $B = L^2$ e la normalizzazione fissa $|A|$. Quindi l'insieme delle $\psi$ ammissibili differiscono solo per un fattore di fase globale, e quindi corrispondono allo stesso stato. Per cui non resta spazio per fare estremizzazione dell'energia.
Ma forse, quando l'esercizio dice
con calcolo intende non l'estremizzazione dell'energia attesa, ma solo il calcolo di \(\displaystyle \langle \psi | E | \psi \rangle \), che è assolutamente fattibile.
Ma forse, quando l'esercizio dice
Prima di effettuare il calcolo ...
con calcolo intende non l'estremizzazione dell'energia attesa, ma solo il calcolo di \(\displaystyle \langle \psi | E | \psi \rangle \), che è assolutamente fattibile.
Hamilton quindi in teoria se mi capitasse un problema del genere come dovrei muovermi?
p.s tanto che siamo in tema avrei un altro piccolo dubbio riguardo un problemino : se ho 3 particelle identiche NON interagenti in una scatola 1D e mi si chiede di calcolare la probabilità che esse si trovino in un punto preciso nello stato fondamentale è possibile? In teoria non avrei bisogno di estremi di integrazione?
p.s tanto che siamo in tema avrei un altro piccolo dubbio riguardo un problemino : se ho 3 particelle identiche NON interagenti in una scatola 1D e mi si chiede di calcolare la probabilità che esse si trovino in un punto preciso nello stato fondamentale è possibile? In teoria non avrei bisogno di estremi di integrazione?
boh, a me sembrerebbe che la cosa più probabile sia che il problema chieda semplicemente l'energia attesa.
Cosa vuol dire "la probabilità che esse si trovino in un punto preciso"? Puoi elaborare? Sono fermioni o bosoni?
Cosa vuol dire "la probabilità che esse si trovino in un punto preciso"? Puoi elaborare? Sono fermioni o bosoni?
Sono entrambi fermioni con spin 1/2 !
Il testo è questo : " se io ho 3 particelle identiche NON interagenti in una scatola monodimensionale di lunghezza L. Quale è la probabilità che le 3 particelle , nello stato fondamentale, si trovino tutte nella posizione (2L/5)^1/2 . Le particelle sono fermioni di spin 1/2 "
Io ho calcolato prima la funzione d'onda totale antisimmetrica utilizzando il determinante di SLATER , ppunto ragionando sul fatto che se sono non interagenti e identiche ne avrò 2 nello stato fondamentale con spin opposto e la terza nel I stato eccitato con spin up/down. Ma non riesco a capire come trovare la probabilità che le 3 si trovino nello stesso punto nello stato fondamentale?
Dite che è una domanda trabocchetto? Ovvero siccome non mi da degli estremi di integrazione, la probab è nulla!
Il testo è questo : " se io ho 3 particelle identiche NON interagenti in una scatola monodimensionale di lunghezza L. Quale è la probabilità che le 3 particelle , nello stato fondamentale, si trovino tutte nella posizione (2L/5)^1/2 . Le particelle sono fermioni di spin 1/2 "
Io ho calcolato prima la funzione d'onda totale antisimmetrica utilizzando il determinante di SLATER , ppunto ragionando sul fatto che se sono non interagenti e identiche ne avrò 2 nello stato fondamentale con spin opposto e la terza nel I stato eccitato con spin up/down. Ma non riesco a capire come trovare la probabilità che le 3 si trovino nello stesso punto nello stato fondamentale?
Dite che è una domanda trabocchetto? Ovvero siccome non mi da degli estremi di integrazione, la probab è nulla!
Ma scusa, se sono Fermioni non potranno mai stare nella stessa posizione.
I fermioni infatti obbediscono al principio di esclusione di Pauli...
O sbaglio?
I fermioni infatti obbediscono al principio di esclusione di Pauli...
O sbaglio?
@dottor Lecter
La funzione d'onda è giusta.
Allora, la probabilità per un punto singolo è 0, chiaramente, ma devi prendere la densità di probabilità, cioè $\frac{d^3 P } {dx_1 dx_2 dx_3} = \sum_a | \psi_a(x_1,x_2,x_3) |^2 $. Devi sommare sugli stati di spin perché non sono coinvolti in una misura di posizione, e sommi i moduli dei quadrati perché stati di spin diverso sono ortogonali.
@grimx
il principio di esclusione non dice che non possono stare nella stessa posizione.
La funzione d'onda è giusta.
Allora, la probabilità per un punto singolo è 0, chiaramente, ma devi prendere la densità di probabilità, cioè $\frac{d^3 P } {dx_1 dx_2 dx_3} = \sum_a | \psi_a(x_1,x_2,x_3) |^2 $. Devi sommare sugli stati di spin perché non sono coinvolti in una misura di posizione, e sommi i moduli dei quadrati perché stati di spin diverso sono ortogonali.
@grimx
il principio di esclusione non dice che non possono stare nella stessa posizione.
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