Problema sul campo magnetico
un guscio cilindrico di raggio interno $R1=1cm$ e raggio esterno $R2=3cm$, è attraversato da una corrente $i$. Sapendo che il campo magnetico vale $B=1T$ per un raggio esterno $R3=5cm$ calcolare: 1) la corrente i che attraversa il guscio cilindrico e 2)il campo magnetico nel punto P distante dall'asse del cilindro $(R1+R2)/2$
Risposte
Ora non posso usare carta e penna, dunque ti scrivo ad intuito cosa mi sembra possibile. Per il punto \((1)\) credo tu debba usare usare il teorema della circuitazione di Ampere e basta. Stessa cosa per il punto \((2)\), dove però devi anche calcolare quanto vale la corrente $I$ che sarà concatenata alla linea che sceglierai.
credo di aver capito come impostarlo però non saprei svolgerlo. Prima di tutto dobbiamo calcolare il campo magnetico nelle varie zone dello spazio grazie al teorema della circuitazione:
$r
proprio in quest'ultima zona conosciamo il campo magnetico $B$ e dal teorema della circuitazione ci ricaviamo $i$ che dovrebbe essere la stessa in tutte le zone dello spazio
il secondo punto è semplice ci troviamo nella zona $R1
L'unico problema è riuscire a calcolare il campo magnetico nelle varie zone dello spazio
$r
proprio in quest'ultima zona conosciamo il campo magnetico $B$ e dal teorema della circuitazione ci ricaviamo $i$ che dovrebbe essere la stessa in tutte le zone dello spazio
il secondo punto è semplice ci troviamo nella zona $R1
L'unico problema è riuscire a calcolare il campo magnetico nelle varie zone dello spazio
Stai facendo un po' di confusione...
\((1)\) Tu conosci $B$ solo ad una certa distanza $R_3$ fuori dal guscio, quindi puoi usare il teorema della circuitazione di Ampere usando una circonferenza di raggio $R_3$ per trovare la corrente $i$ che scorre in tutto il conduttore.
\((2)\) Devi usare il teorema della Circuitazione di Ampere su una circonferenza di raggio $(R_1+R_2)/2$, ma per far questo devi conoscere la corrente $I$ concatenata a questa linea. Indizio: passare attraverso la densità di corrente.
Tu avevi scritto di cercare una $i$ in tutto lo spazio, ma non c'è: c'è solo all'interno del conduttore); e un $B$ in tutti i punti dello spazio, che potresti anche calcolare, ma nessuno te l'ha chiesto.
\((1)\) Tu conosci $B$ solo ad una certa distanza $R_3$ fuori dal guscio, quindi puoi usare il teorema della circuitazione di Ampere usando una circonferenza di raggio $R_3$ per trovare la corrente $i$ che scorre in tutto il conduttore.
\((2)\) Devi usare il teorema della Circuitazione di Ampere su una circonferenza di raggio $(R_1+R_2)/2$, ma per far questo devi conoscere la corrente $I$ concatenata a questa linea. Indizio: passare attraverso la densità di corrente.
Tu avevi scritto di cercare una $i$ in tutto lo spazio, ma non c'è: c'è solo all'interno del conduttore); e un $B$ in tutti i punti dello spazio, che potresti anche calcolare, ma nessuno te l'ha chiesto.
il punto $1$ dovrebbe essere così:
circuitazione $B ds=\mu_0 i$ con $ds$ è uguale a $2 pi r$. Conosco il campo magnetico sulla circonferenza $R3$ allora la corrente $i$ dovrebbe essere uguale a: $i=(B 2 pi R3)/\mu_0$.
sul punto $2$ non ho proprio idea di come si risolva.
circuitazione $B ds=\mu_0 i$ con $ds$ è uguale a $2 pi r$. Conosco il campo magnetico sulla circonferenza $R3$ allora la corrente $i$ dovrebbe essere uguale a: $i=(B 2 pi R3)/\mu_0$.
sul punto $2$ non ho proprio idea di come si risolva.
Non si capisce niente nei passaggi che hai fatto ma, a giudicare da un $R_3$ messo bene e dalla formula precedente (come credo avrai posto $r=R_3$) credo che sia corretto.
Per il punto 2, ti guido io passo passo. Comincia con lo scrivere la densità di corrente.
Per il punto 2, ti guido io passo passo. Comincia con lo scrivere la densità di corrente.
@mastdomenico
Mi sono permesso di sistemare la scrittura delle formule perché erano illeggibili. Preciso che non ho controllato se siano o meno corrette, ho sistemato solo la forma
.
Mi sono permesso di sistemare la scrittura delle formule perché erano illeggibili. Preciso che non ho controllato se siano o meno corrette, ho sistemato solo la forma
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"mathbells":
@mastdomenico
Mi sono permesso di sistemare la scrittura delle formule perché erano illeggibili. Preciso che non ho controllato se siano o meno corrette, ho sistemato solo la forma
grazie mathbells ero proprio quello che volevo scrivere. Purtroppo non riesco a scrivere correttamente gli integrali, le circuitazioni e le varie costanti
"mastdomenico":
Purtroppo non riesco a scrivere correttamente gli integrali, le circuitazioni e le varie costanti
Prova a guardare qui http://www.matematicamente.it/forum/come-si-scrivono-le-formule-asciimathml-e-tex-t26179.html
e qui [url]http://it.wikipedia.org/wiki/Aiuto:Formule_matematiche_TeX[/url]
"giuliofis":
Non si capisce niente nei passaggi che hai fatto ma, a giudicare da un $R_3$ messo bene e dalla formula precedente (come credo avrai posto $r=R_3$) credo che sia corretto.
Per il punto 2, ti guido io passo passo. Comincia con lo scrivere la densità di corrente.
Una volta trovato il modulo di $j$ con la sua definizione, ovvero $j=i/S$, dovrai trovare la corrente $I$ concatenata alla circonferenza che ha raggio media dei due del conduttore, e questo lo potrai fare invertendo la relazione di $j$ usando anche una opportuna superficie $S'$, cioè $j=I/(S')$ da cui $I=jS'=i(S')/S\leq i$. Fatti un disegnino, ti potrebbe aiutare molto.
Più di questo non posso dirti sennò tanto vale che te lo faccia io l'esercizio, e non voglio, non sarebbe utile per te.
"giuliofis":
[quote="giuliofis"]Non si capisce niente nei passaggi che hai fatto ma, a giudicare da un $R_3$ messo bene e dalla formula precedente (come credo avrai posto $r=R_3$) credo che sia corretto.
Per il punto 2, ti guido io passo passo. Comincia con lo scrivere la densità di corrente.
Una volta trovato il modulo di $j$ con la sua definizione, ovvero $j=i/S$, dovrai trovare la corrente $I$ concatenata alla circonferenza che ha raggio media dei due del conduttore, e questo lo potrai fare invertendo la relazione di $j$ usando anche una opportuna superficie $S'$, cioè $j=I/(S')$ da cui $I=jS'=i(S')/S\leq i$. Fatti un disegnino, ti potrebbe aiutare molto.
Più di questo non posso dirti sennò tanto vale che te lo faccia io l'esercizio, e non voglio, non sarebbe utile per te.[/quote]
domanda: ma la densità di corrente $j$ e la stessa in tutti i punti dello spazio?
Tutto lo spazio? Internamente al conduttore vorrai dire...
Poiché non si dice altrimenti, direi di sì. Ovviamente fuori dal conduttore è $i=0$...
Poiché non si dice altrimenti, direi di sì. Ovviamente fuori dal conduttore è $i=0$...
allora la soluzione del problema dovrebbe essere questa:
mi calcolo la corrente $i3$ che circola sul raggio esterno $R3$: $(B 2 pi R3)=(mu i3)$ da cui mi ricavo facilmente $i3$
adesso mi ricavo $j=(i3)/(S3)$ prendendo come $S$ l'area del cerchio di raggio $R3$
Poiche $j$ è la stessa in tutti i punti del conduttore mi metto nella circonferenza di raggio $(R1+R2)/2$, e mi ricavo la corrente $I$ che mi chiedeva il problema come formula inversa delle densità di carica
Per calcolare $B$ nel punto $(R1+R2)/2$ uso il teorema della circuitazione:
$B 2 pi ((R1+R2)/2)=mu I$ da cui mi ricavo facilmente $B$
è giusto?
mi calcolo la corrente $i3$ che circola sul raggio esterno $R3$: $(B 2 pi R3)=(mu i3)$ da cui mi ricavo facilmente $i3$
adesso mi ricavo $j=(i3)/(S3)$ prendendo come $S$ l'area del cerchio di raggio $R3$
Poiche $j$ è la stessa in tutti i punti del conduttore mi metto nella circonferenza di raggio $(R1+R2)/2$, e mi ricavo la corrente $I$ che mi chiedeva il problema come formula inversa delle densità di carica
Per calcolare $B$ nel punto $(R1+R2)/2$ uso il teorema della circuitazione:
$B 2 pi ((R1+R2)/2)=mu I$ da cui mi ricavo facilmente $B$
è giusto?
"mastdomenico":
allora la soluzione del problema dovrebbe essere questa:
mi calcolo la corrente $i3$ che circola sul raggio esterno $R3$: $(B 2 pi R3)=(mu i3)$ da cui mi ricavo facilmente $i3$
adesso mi ricavo $j=(i3)/(S3)$ prendendo come $S$ l'area del cerchio di raggio $R3$
Poiche $j$ è la stessa in tutti i punti del conduttore mi metto nella circonferenza di raggio $(R1+R2)/2$, e mi ricavo la corrente $I$ che mi chiedeva il problema come formula inversa delle densità di carica
Per calcolare $B$ nel punto $(R1+R2)/2$ uso il teorema della circuitazione:
$B 2 pi ((R1+R2)/2)=mu I$ da cui mi ricavo facilmente $B$
è giusto?
No. $R_3$ è fuori dal conduttore, non c'è alcuna corrente!!!
Allora, dalla definizione si ha $j=i/(pi (R_2^2-R_1^2))$, la stessa in tutto il conduttore (e solo lì!); la corrente $i$ che circola nel conduttore l'hai già trovata prima!
Ora, tu vuoi usare il teorema della circuitazione di Ampere su una circonferenza di raggio $R_4=(R_1+R_2)/2$ (così denominato per semplicità di scrittura), ma per far questo tu devi conoscere la corrente $I$ concatenata a tale linea. Dalla definizione, $I=jS'$; quale è questa $S'$? È, ovviamente, la "parte di conduttore" contenuta nella circonferenza di raggio $R_4$, ovvero? Scrivimi $S'=...$
$S'=pi ((R1+R2)/2)^2)$ è cosi?
"mastdomenico":
$S'=pi ((R1+R2)/2)^2)$ è cosi?
No!!! Il conduttore è "forato"! Ha un raggio esterno ed uno interno! La sua sezione è una corona circolare! E, di conseguenza, anche $S'$ lo è!
Per semplicità di notazione, poi, poni $(R_1+R_2)/2=R_4$ così che diventa più chiara ed immediata la lettura.
e quindi quale dovrebbe essere l'area di $S'$ ?
"mastdomenico":
e quindi quale dovrebbe essere l'area di $S'$ ?
Quella della corona circolare compresa tra $R_1$ e $R_4$... Ti sei fatto il disegnino come ti avevo suggerito?
sisi...quindi $S'$ è uguale a $pi ((R4^2) - (R1^2))$
Allora, dalla definizione si ha $j=i/(pi (R_2^2-R_1^2))$, la stessa in tutto il conduttore (e solo lì!); la corrente $i$ che circola nel conduttore l'hai già trovata prima!
non mi è chiara una cosa:
la corrente $i$ che ricavo dal teorema della circuitazione per la circonferenza di raggio $R3$ perchè è la stessa che circola in tutto il conduttore?
non mi è chiara una cosa:
la corrente $i$ che ricavo dal teorema della circuitazione per la circonferenza di raggio $R3$ perchè è la stessa che circola in tutto il conduttore?
"mastdomenico":
la corrente $i$ che ricavo dal teorema della circuitazione per la circonferenza di raggio $R3$ perchè è la stessa che circola in tutto il conduttore?
È la corrente concatenata alla circonferenza di raggio $R_3$, che è quella che scorre all'interno del conduttore, di tutto il conduttore (poiché la sua sezione è tutta racchiusa dalla circonferenza di raggio $R_3$).
"mastdomenico":
sisi...quindi $S'$ è uguale a $pi ((R4^2) - (R1^2))$
Esatto. Ora sai calcolare la corrente $I$ concatenata alla circonferenza di raggio $R_4$?
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