Problema sui gas perfetti
Ciao a tutti.
Spero possiate aiutarmi a risolvere questo problema.
Un cilindro contiene 2 moli di un gas ideale che occupano inizialmente 4,0 l. Il cilindro è sormontato da un pistone mobile del diametro di 14 cm con una massa di 0,24 Kg. Somministrando calore al gas contenuto all'interno del cilindro, l'altezza del pistone aumenta di 4 cm/min. Trova la velocità di aumento della temperatura del gas in K/s. [Risposta = $0,063 K/s$]
Ecco come ho affrontato io il problema.
In primis ho trasformato alcune unità di misura
$V_i = 4l = 4 \dm^3 = 4*10^-3 m^3$
$d = 14 \cm = 0,14 m$ per cui il raggio è $0,07 m$
Ho calcolato l'area di base del cilndro $A=\pir^2h = 3,14 *0,07^2 = 0,015 m^2$
Ho calcolato l'altezza iniziale del cilindro $h_1 = V_1/A = (4*10^-3)/(0,015) = 0,26 m$
La pressione é $ p=F/S = (m*a)/S = (0,24 *9,81)/(0,015) = (2,35)/(0,015) = 156,6 \Pa$
Ho assunto che l'accelerazione fosse uguale a $9,81 m*s^-2$ perché il pistone fermo è soggetto alla sola accelerazione di gravità.
Dopo 1 minuto, l'altezza aumenta di $4\cm$ ovvero di $0,04 m$, quindi $h_f = 0,26 + 0,04 = 0,3 m$.
Il volume finale è $V_f = \pir^2h_f = 3,14 * 0,07^2*0,3 = 4,62*10^-3 m^3$.
Infine ho calcolato la temperatura utilizzando l'equazione dei gas perfetti:
$ T=(pV_f)/(nR) = (156,6*4,62*10^-3)/(2*8,31) = (0,72)/(16,6) = 0,043$
Dividendo questo valore al secondo mi viene $(0,043)/60 = 7,16^10-4$.
E' evidente che sbaglio qualche ragionamento o calcolo. Come posso procedere?
Grazie
Raffaele
Spero possiate aiutarmi a risolvere questo problema.
Un cilindro contiene 2 moli di un gas ideale che occupano inizialmente 4,0 l. Il cilindro è sormontato da un pistone mobile del diametro di 14 cm con una massa di 0,24 Kg. Somministrando calore al gas contenuto all'interno del cilindro, l'altezza del pistone aumenta di 4 cm/min. Trova la velocità di aumento della temperatura del gas in K/s. [Risposta = $0,063 K/s$]
Ecco come ho affrontato io il problema.
In primis ho trasformato alcune unità di misura
$V_i = 4l = 4 \dm^3 = 4*10^-3 m^3$
$d = 14 \cm = 0,14 m$ per cui il raggio è $0,07 m$
Ho calcolato l'area di base del cilndro $A=\pir^2h = 3,14 *0,07^2 = 0,015 m^2$
Ho calcolato l'altezza iniziale del cilindro $h_1 = V_1/A = (4*10^-3)/(0,015) = 0,26 m$
La pressione é $ p=F/S = (m*a)/S = (0,24 *9,81)/(0,015) = (2,35)/(0,015) = 156,6 \Pa$
Ho assunto che l'accelerazione fosse uguale a $9,81 m*s^-2$ perché il pistone fermo è soggetto alla sola accelerazione di gravità.
Dopo 1 minuto, l'altezza aumenta di $4\cm$ ovvero di $0,04 m$, quindi $h_f = 0,26 + 0,04 = 0,3 m$.
Il volume finale è $V_f = \pir^2h_f = 3,14 * 0,07^2*0,3 = 4,62*10^-3 m^3$.
Infine ho calcolato la temperatura utilizzando l'equazione dei gas perfetti:
$ T=(pV_f)/(nR) = (156,6*4,62*10^-3)/(2*8,31) = (0,72)/(16,6) = 0,043$
Dividendo questo valore al secondo mi viene $(0,043)/60 = 7,16^10-4$.
E' evidente che sbaglio qualche ragionamento o calcolo. Come posso procedere?
Grazie
Raffaele
Risposte
Grazie per il tuo aiuto.
Non capisco bene come calcolare l'altezza. Nel mio calcolo l'altezza finale è 0,3; utilizzando il tuo ragionamento mi viene 0,26066 m.
Inoltre la risposta finale del libro è 0,063 K/s.
Riesci a postare i tuoi calcoli o ti da noia?
Raffaele
Non capisco bene come calcolare l'altezza. Nel mio calcolo l'altezza finale è 0,3; utilizzando il tuo ragionamento mi viene 0,26066 m.
Inoltre la risposta finale del libro è 0,063 K/s.
Riesci a postare i tuoi calcoli o ti da noia?
Raffaele
Dimenticavo di dirti che wuesta parte l'ho capita meno. 
Non rimane che calcolare il volume e la temperatura dopo che è trascorso il tempo \( \Delta t \): \[ V_1 = \frac{\pi}{4}\phi^2\,h_1 \; \; \Rightarrow \; \; T_1 = \frac{P_1\,V_1}{n\,R} \; , \] per determinare la velocità \( u_T \) di aumento della temperatura: \[ u_T = \frac{\Delta T}{\Delta t} = \frac{m\,g}{n\,R}u_h \; . \] In conclusione, dato che la velocità di aumento dell'altezza è fornita in centimetri al minuto
ed è richiesta una velocità di crescita della temperatura in Kelvin al secondo, segue che \[ u_T \approx \frac{0.24 \cdot 9.81}{2\cdot 8.31}\cdot \frac{4}{100\cdot 60} \approx 9.44\cdot 10^{-5}\frac{K}{s} \; . \] Spero sia sufficientemente chiaro.
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Non rimane che calcolare il volume e la temperatura dopo che è trascorso il tempo \( \Delta t \): \[ V_1 = \frac{\pi}{4}\phi^2\,h_1 \; \; \Rightarrow \; \; T_1 = \frac{P_1\,V_1}{n\,R} \; , \] per determinare la velocità \( u_T \) di aumento della temperatura: \[ u_T = \frac{\Delta T}{\Delta t} = \frac{m\,g}{n\,R}u_h \; . \] In conclusione, dato che la velocità di aumento dell'altezza è fornita in centimetri al minuto
ed è richiesta una velocità di crescita della temperatura in Kelvin al secondo, segue che \[ u_T \approx \frac{0.24 \cdot 9.81}{2\cdot 8.31}\cdot \frac{4}{100\cdot 60} \approx 9.44\cdot 10^{-5}\frac{K}{s} \; . \] Spero sia sufficientemente chiaro.
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