Problema sui conduttori

[sajhoiseddse]

Ciao a tutti, ho questo problema:

Tra due superfici sferiche concentriche si applica una data d.d.p. $V_0$; la superficie esterna di raggio $R_2$ è a potenziale zero,mentre quella interna di raggio $R_1$ è a potenziale $V_0$. Detto $E(R_1)$ il valore limite del campo per r tendente a $R_1$ con $r>=R_1$, determinare per quale relazione tra $R_1$ e $R_2$ $E(R_1)$ è minimo e dare l'espressione di $E_(min)$ in funzione di $V_0$ e $R_2$.

Comincio calcolando $V_0-V(R_2)=V(R_1)=int_(R_1)^(R_2) E(r)dr$
Per un conduttore sferico $E(r)=q/(4piepsilon_0r^2)$, quindi $V_0=q/(4piepsilon_0)(1/(R_1)-1/(R_2))$
Per come ho interpretato il testo, $E(R_1)=lim_(rrarrR_1) d/(dr) [-q/(4piepsilon_0)(1/(r)-1/(R_2))]$, in cui ho sfruttato $vecE=-gradV$;
Viene $E(R_1)=q/(4piepsilon_0(R_1)^2)=(V_0)/R_1 (R_2)/(R_2-R_1)$.
Quindi $(dE(R_1))/(dR_1)=0$ dà $R_1=R_2/2$ e quindi $E_(min)=(4V_0)/R_2$.

E' giusto? Quello che mi crea dubbio è il passaggio in cui eseguo il limite della derivata. Si procede così se voglio calcolare il campo in prossimità della superficie di un conduttore?

[mgrau]

Prova a vederla diversamente.
- le due superfici costituiscono un condensatore sferico, con capacità $C = 4piepsi_0 (r_1r_2 DeltaV)/(r_2 - r_1)$
- la carica quindi è $q = CDeltaV$
- la densità di carica interna è $sigma = q/(4pir_1^2)$
- il campo in prossimità di un conduttore è $E = sigma/epsi_0$
- la dipendenza di $E$ da $r_1$ sta in $(r_1r_2)/(r_2 - r_1)*1/r_1^2 = r_2/r_1* 1/(r_2-r_1)$
- se calcoli la derivata di questo rispetto a $r_1$ e trovi dove si azzera sei a posto

[sajhoiseddse]

Mi sembra una strada intelligente ma essenzialmente equivalente alla mia. Certo non si passa al limite della derivata del potenziale, operazione un po' fumosa