Problema su uno yo-yo
Qualcuno potrebbe gentilmente controllare la correttezza della soluzione di questo problema?
Uno yo-yo di massa M = 25g e raggio R = 2,5cm è dotato di un filo inestensibile, di massa e spessore trascurabili e di lunghezza totale pari a L = 85cm. Il filo è completamente svolto e lo yo-yo comincia a risalire. Supponendo che il raggio di avvolgimento del filo sia R0 = 0,5cm, determinare:
1) Il momento di inerzia dello yo-yo rispetto all’asse istantaneo di rotazione passante
per il punto P;
2) La velocità angolare che lo yo-yo deve possedere per risalire fino a completo
riavvolgimento del filo.
soluzione:
$ m\(vecg) + \vecT = \Sigma \vec F_y = m\vec a $
$ mg - T = ma = m\alphaR_o$
$T = m\alpha r - mg $
Momento di inerzia : $I=(mR^2 )/2$
$ \alpha = (TR_0)/I a=\alpha R_0 $
Mettendo a sistema le condizioni ottengo :
$ \alpha=( (m\alpha r - mg) R_0)/ I $ svolgendo i calcoli $ \alpha= g/(R_0 + I/(MR_0))$
da qui applico le formulette:
$\omega = \alpha t"
$\vartheta = 1/2 ((\omega)^2/(\alpha))$
$ (\omega)^2 = 2 \vartheta\alpha$
Vi ritrovate in questa soluzione ?
Grazie in anticipo
Uno yo-yo di massa M = 25g e raggio R = 2,5cm è dotato di un filo inestensibile, di massa e spessore trascurabili e di lunghezza totale pari a L = 85cm. Il filo è completamente svolto e lo yo-yo comincia a risalire. Supponendo che il raggio di avvolgimento del filo sia R0 = 0,5cm, determinare:
1) Il momento di inerzia dello yo-yo rispetto all’asse istantaneo di rotazione passante
per il punto P;
2) La velocità angolare che lo yo-yo deve possedere per risalire fino a completo
riavvolgimento del filo.
soluzione:
$ m\(vecg) + \vecT = \Sigma \vec F_y = m\vec a $
$ mg - T = ma = m\alphaR_o$
$T = m\alpha r - mg $
Momento di inerzia : $I=(mR^2 )/2$
$ \alpha = (TR_0)/I a=\alpha R_0 $
Mettendo a sistema le condizioni ottengo :
$ \alpha=( (m\alpha r - mg) R_0)/ I $ svolgendo i calcoli $ \alpha= g/(R_0 + I/(MR_0))$
da qui applico le formulette:
$\omega = \alpha t"
$\vartheta = 1/2 ((\omega)^2/(\alpha))$
$ (\omega)^2 = 2 \vartheta\alpha$
Vi ritrovate in questa soluzione ?
Grazie in anticipo
Risposte
Non torna la seconda equazione che hai scritto, da dove hai ricavato che l'accelerazione è costante?
Nella soluzione haii utilizzato solo la prima equazione cardinale della dinamica, sei sicuro che sia sufficiente per risolvere, che non sia necessaria anche la seconda?
Comunque per semplificare ti consiglierei un approccio energetico, cioè di risolvere con il teorema delle forze vive.
Nella soluzione haii utilizzato solo la prima equazione cardinale della dinamica, sei sicuro che sia sufficiente per risolvere, che non sia necessaria anche la seconda?
Comunque per semplificare ti consiglierei un approccio energetico, cioè di risolvere con il teorema delle forze vive.
L'accelerazione in effetti dovrebbe essere costante, perchè sullo yo-yo agiscono solo il peso e la tensione che sono costanti.
Anch'io non mi trovo con la seconda equazione; scegliendo come positivo, ad esempio, il verso uscente dal "foglio", non dovrebbe essere impostata così?
$I alpha=TR_0$ da cui $alpha=(TR_0)/I$
Non capisco quell'$a$ da dove viene fuori (forse è un errore di battitura, dato che dopo non compare).
Dopo devi considerare lo spostamento lineare, non angolare, dello yo-yo: per fare questo devi vedere a quanti giri del dichetto minore di raggio R_0 (e quindi a che angolo) corrisponde la lunghezza $L$ del filo.
Comunque, a parte questo, anch'io sono per l'approccio energetico: bisognerebbe eguagliare i lavori di peso e tensione alla variazione di energia cinetica, che coincide con l'energia iniziale in quanto lo yo-yo, quando arriva in cima, si ferma.
Anch'io non mi trovo con la seconda equazione; scegliendo come positivo, ad esempio, il verso uscente dal "foglio", non dovrebbe essere impostata così?
$I alpha=TR_0$ da cui $alpha=(TR_0)/I$
Non capisco quell'$a$ da dove viene fuori (forse è un errore di battitura, dato che dopo non compare).
Dopo devi considerare lo spostamento lineare, non angolare, dello yo-yo: per fare questo devi vedere a quanti giri del dichetto minore di raggio R_0 (e quindi a che angolo) corrisponde la lunghezza $L$ del filo.
Comunque, a parte questo, anch'io sono per l'approccio energetico: bisognerebbe eguagliare i lavori di peso e tensione alla variazione di energia cinetica, che coincide con l'energia iniziale in quanto lo yo-yo, quando arriva in cima, si ferma.
ho supposto che $|\veca| $ fosse costante, perchè non mi sembrava dipendere dal tempo ...
riguardo all'approccio suggerito da te, non saprei come indicare l'energia nel moto rototraslatorio ...
riguardo all'approccio suggerito da te, non saprei come indicare l'energia nel moto rototraslatorio ...
si scusate è
$ \alpha = (Tr_0)/I$
(un errore di battitura)
p.s. ho indicato con $\vartheta$ lo spostamento angolare ...
$ \alpha = (Tr_0)/I$
(un errore di battitura)
p.s. ho indicato con $\vartheta$ lo spostamento angolare ...
"matteol":
ho supposto che $|\veca| $ fosse costante, perchè non mi sembrava dipendere dal tempo ...
riguardo all'approccio suggerito da te, non saprei come indicare l'energia nel moto rototraslatorio ...
Per quanto riguarda peso e tensione, puoi pensarle applicate al centro di massa, come se lo yo-yo fosse un punto materiale.
L'energia cinetica di un corpo che si muove di moto traslatorio è $E_k=1/2 I omega^2$.
Infatti, se consideri gli infiniti punti di cui è composto un corpo rigido, l'energia cinetica di un punto è $E_i=1/2 m_i v_i^2$.
Sommando su tutti i punti, ponendo $v_i^2=omega^2 r_i^2$ e tirando fuori dalla sommatoria $(1/2) omega^2$ (costante), rimane la formula di cui sopra.
dovrebbe quindi essere così:
$L(\vecF_p) + L(\vecT) = \DeltaK_c = 1/2 I \omega^2$
Ho un dubbio : come indico il lavoro della Tensione ?
$L(\vecF_p) + L(\vecT) = \DeltaK_c = 1/2 I \omega^2$
Ho un dubbio : come indico il lavoro della Tensione ?
"matteol":
dovrebbe quindi essere così:
$L(\vecF_p) + L(\vecT) = \DeltaK_c = 1/2 I \omega^2$
Ho un dubbio : come indico il lavoro della Tensione ?
Scusami tanto, ma prima ho dimenticato di dire che al termine $1/2 I omega^2$ va sommata l'energia cinetica del moto del centro di massa, cioè $1/2 m v_(cm)^2$; quella che ti ho detto prima è l'energia in un moto rotatorio, non rototraslatorio.
La velocità del centro di massa puoi ricavarla dalla nota relazione spazio-velocità di un moto rettilineo uniformemente accelerato.
Il lavoro della tensione è semplicemente$TL$, in quanto la tensione è costante e sempre parallela e concorde allo spostamento.
sarebbe così:
$mgh + ma \int dx = 1/2 I \omega ^2 + 1/2 (mv_cm) ^ 2$
ma non mi manca un dato ? La tensione ?
$mgh + ma \int dx = 1/2 I \omega ^2 + 1/2 (mv_cm) ^ 2$
ma non mi manca un dato ? La tensione ?
"matteol":
sarebbe così:
$mgh + ma \int dx = 1/2 I \omega ^2 + 1/2 (mv_cm) ^ 2$
La tensione te la sei già ricavata, è $T=m alpha R_0 - mg$
ho capito ... quindi risolvo tutto in funzione di omega e si dovrebbe risolvere 
vi faccio sapere ...
vi faccio sapere ...
Si è fatta un po' di confusione
Applicando il teorema delle forze vive viene fuori che l'unica forza che compie lavoro è la forza peso, ammesso che il filo teso rimanga fermo. In queste condizioni infatti la forza che tende il filo non compie lavoro sullo Yoyo essendo il punto di applicazione fisso.
Prima di passare alla dinamica è importante capire come funziona il sistema dal punto di vista cinematico.
Applicando il teorema delle forze vive viene fuori che l'unica forza che compie lavoro è la forza peso, ammesso che il filo teso rimanga fermo. In queste condizioni infatti la forza che tende il filo non compie lavoro sullo Yoyo essendo il punto di applicazione fisso.
Prima di passare alla dinamica è importante capire come funziona il sistema dal punto di vista cinematico.
La tensione non fa lavoro! il punto di contatto dello yo yo con il filo mica si muove, rispetto al filo, ma se non si muove lo spostamento infinitesimo è 0, ovvero niente lavoro. È lo stesso motivo per cui nell'equazione dell'energia di una palla che rotola senza strisciare il lavoro fatto dall'attrito non esiste!
"Zkeggia":
La tensione non fa lavoro! il punto di contatto dello yo yo con il filo mica si muove, rispetto al filo, ma se non si muove lo spostamento infinitesimo è 0, ovvero niente lavoro. È lo stesso motivo per cui nell'equazione dell'energia di una palla che rotola senza strisciare il lavoro fatto dall'attrito non esiste!
Non è molto chiaro da copme lo hai scritto: la tensione non compie lavoro perchè il filo è fermo rispetto al sistema di riferimento preso in considerazione (la terra, anche se nessuno l'ha specificato) e il punto di contatto tra filo e yoyo è fermo anch'esso, rispetto al sistema terra. Se il filo fosse in movimento la tensione compirebbe lavoro sullo yoyo, anche se il punto di contatto tra questo e il filo continua a rimanere fermo rispetto al filo.
Anche nel secondo esempio che hai riportato, del rotolamento puro della palla su un piano, non è sempre vero che la forza di attrito non compie lavoro. Se per esempio si applica una forza al piano la forza di attrito può compiere lavoro sulla palla, incrementando la sua energia cinetica, così come anche la forza di reazione vincolare normale al piano può compiere lavoro sulla palla se il piano con la palla vengono sollevati.
ho un po- di confusione ...
siete sicuri che la mia soluzione nn possa andare bene ?
siete sicuri che la mia soluzione nn possa andare bene ?
Dov'è che hai confusione?
Se intendi la soluzione che hai postato inizialmente direi di no, hai supposto che l'accelerazione del centro di massa e la tensione del filo siano costanti. Anche nelle soluzioni date in seguito mi pare che ci sia lo stesso errore
-cercare di capire come funziona cinematicamente il sistema
-se si vuole risolvere con il teorema delle foze vive, dopo aver stabilito il sistema di riferimento, vedere quali sono le forze in gioco e come si spostano i punti dei corpi (non quelli geometrici) su cui sono applicate, per calcolare il lavoro
Se intendi la soluzione che hai postato inizialmente direi di no, hai supposto che l'accelerazione del centro di massa e la tensione del filo siano costanti. Anche nelle soluzioni date in seguito mi pare che ci sia lo stesso errore
-cercare di capire come funziona cinematicamente il sistema
-se si vuole risolvere con il teorema delle foze vive, dopo aver stabilito il sistema di riferimento, vedere quali sono le forze in gioco e come si spostano i punti dei corpi (non quelli geometrici) su cui sono applicate, per calcolare il lavoro
"nnsoxke":
... hai supposto che l'accelerazione del centro di massa e la tensione del filo siano costanti.
Fermo restando che il problema si risolve in maniera molto più semplice con un approccio energetico, scrivendo le equazioni della dinamica si vede che la tensione della fune come l'accelerazione del centro di massa sono infatti costanti durante la risalita dello yoyo:
$T-mg=ma_c$
$I \dot \omega=m g R $
La seconda equazione scegliendo come asse di riduzione dei momenti la retta di contatto tra filo e yoyo (quindi $I$ va calcolato di conseguenza).
Inoltre $a_c=\dot \omega R$
Da qui si può ricavare l'accelerazione del centro di massa...
"Faussone":
[quote="nnsoxke"]
... hai supposto che l'accelerazione del centro di massa e la tensione del filo siano costanti.
Fermo restando che il problema si risolve in maniera molto più semplice con un approccio energetico, scrivendo le equazioni della dinamica si vede che la tensione della fune come l'accelerazione del centro di massa sono infatti costanti durante la risalita dello yoyo:
$T-mg=ma_c$
$I \dot \omega=m g R $
La seconda equazione scegliendo come asse di riduzione dei momenti la retta di contatto tra filo e yoyo (quindi $I$ va calcolato di conseguenza).
Inoltre $a_c=\dot \omega R$
Da qui si può ricavare l'accelerazione del centro di massa...[/quote]
Si non avevo visto apllicata la seconda equazione cardinale della dinamica, c'era solo la prima e il ragionamento sembrava partire direttamente dal risultato, cioè che la tensione e quindi l'accelerazione dovessero essere necessariamente costanti
stasera rifletto sull'approccio energetico e vi faccio sapere ...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo