Problema su una trasformazione adiabatica

[Sheker]

Raga aiutatemi con questo esercizio che proprio non riesco a risolvere!

"un gas monoatomico è contenuto in un cilindro perfettamente isolato e dotato di un pistone mobile. La pressione iniziale del gas è di 130 Kpa e la sua temperatura iniziale è 310 K. Premendo sul pistone fai aumentare la pressione fino a 180 Kpa. Calcola la temperatura finale

Allora io ho pensato di risovere così:

$P_i V_i ^gamma = P_i V_f ^gamma$

sostituisco le due pressioni che sono note e i volumi con l'equazione generale dei gas

$130*10^3 ((n*8,31*310)/(130000))^gamma = 180*10^3 ((n*8,31*T_2)/180000)^gamma$

ma risolvendo mi viene un risultato sballato (non 354 k come dovrebbe essere)

[Marco831]

Allora:

$\frac{T_2}{T_1}=\(\frac{P_2}{P_1}\)^(\frac{gamma-1}{gamma})$

per un gas ideale monoatomico $gamma=1.66$, quindi

$T_2=T_1\(\frac{P_2}{P_1}\)^(\frac{gamma-1}{gamma})=310\(\frac{180}{130}\)^(\frac{1.66-1}{1.66})=353K$

[Sheker]

si ma questo teorema non l'abbiamo mai fatto...c'è un altro modo per risolvere?

[Marco831]

Ma quale teorema...

Prendi la tua bella formuletta:

$P_i V_i ^gamma = P_f V_f ^gamma$

(Nota che tu quella formula l'hai scritta sbagliata)

poi prendi la legge dei gas perfetti (e non mi dire che non l'avete mai fatta):

$PV=NRT$ da cui $V=\frac{NRT}{P}$

sostituisci nella tua formula e ottieni:

$(\frac{NRT_i}{P_i}) ^gamma P_i= (\frac{NRT_f}{P_f})^gamma P_f $

semplificando:

$P_i^(1-gamma)T_i ^gamma = P_f^(1-gamma)T_f ^gamma $

da cui:

$\(\frac{P_f}{P_i}\)^\frac{gamma-1}{gamma}= \frac{T_f}{T_i} $

[Marco831]

Tra l'altro se fai i conti il risultato ti viene giusto anche con la formula:

$130*10^3 ((n*8,31*310)/(130000))^gamma = 180*10^3 ((n*8,31*T_2)/180000)^gamma$

che poi risulta:

$T_2=(\frac{130*10^3}{180*10^3}((180000*310)/(130000))^gamma)^\frac{1}{gamma}$

[Sheker]

si l'avevo scritta sbagliata sostituendo i con f...errore di battitura...
comunque ci riprovo!