Problema su potenziale sfera carica

[Dome731]

Salve a tutti, son bloccato a risolvere quest'esercizio nonostante sia analogo ad altri che ho già svolto.

"Una sfera di raggio a = 0.0157 m, uniformemente carica, è racchiusa dentro una superficie sferica di raggio b = 0.0401 m, concentrica alla sfera carica. Il potenziale della sfera di raggio b è tenuto fisso al valore V = 0, mentre il centro della sfera carica di raggio a è a potenziale V = 1.15 volt.
Determinare la densità volumetrica, in nC/m3, della carica contenuta nella sfera di raggio a. "
La risposta è 112 nC/m3

Ho provato a risolverlo calcolando prima il campo elettrico e poi integrandolo tra a e b per ottenere la differenza di potenziale: V(b)-V(a) e come risultato trovo $ (rho *a^3 )/(3epsilon ) *(-1/b + 1/a)=V(a) $
e isolando $ rho $ mi viene un risultato differente da 112.

Qualche suggerimento su come impostarlo ?
Grazie.

[ondine1]

Il campo elettrico si calcola con il teorema di Gauss e vale
$vec E= (rho 4/3pia^3)/(4pi r^2epsilon_o) hat(n) $ per $r>= a$
se invece $r $vec E= (rho 4/3pir^3)/(4pi r^2epsilon_o) hat(n)=(rho r)/(3epsilon_o) hat(n)$
con $hat(n)$ normale alla superficie sferica.
Dato che $(dV)/(dr)=-E$, si ha che:
$int_(0)^(b) dV =- int_(0)^(b) Edr $ dove 0 è il centro comune alle due sfere.
spezzo l'integrale al secondo membro come un integrale da $0$ ad $a$ e uno da $a $ a $b$.
$V(b)-V(0)= -int_(0)^(a) (rho r)/( 3epsilon_o) dr- int_(a)^(b) (rho a^3)/( 3r^2epsilon_o) dr$
$V(b)-V(0)= -rho/(3epsilon_o)int_(0)^(a) r dr -(rhoa^3)/(3epsilon_o) int_(a)^(b) 1/r^2 dr$
quindi
$V(b)-V(0)=-(rhoa^2)/(6epsilon_o)+ 1/3 (rho a^3)/(epsilon_o) (1/b-1/a)$
$ V(b)-V(0)= rho ( -a^3b+2a^3(a-b))/(6abepsilon_o)$
quindi
$rho= ((V(b)-V(0))(6abepsilon_o))/(( -a^3b+2a^3(a-b))$
nel caso specifico del problema $V(b)=0$ perciò
$rho = (V(0)6abepsilon_0)/(a^3b+2a^3(b-a))$
sostituendo i valori $ rho = 112 (nC)/m^3$

[Dome731]

Ok perfetto, sbagliavo a spezzare l'integrale.
Grazie.