Problema su piccole oscillazioni
Ciao ragazzi avrei bisogno di aiuto su questo esercizio che non riesco a svolgere.
Un'asta rigida (M=35.6 kg e L=4.00 m) è collegata a una molla di costante elastica k=1550 N/m come in figura a).
Calcolare, trascurando gli attriti:
1) Il momento di inerzia della barra rispetto al perno in figura.
2) Il periodo delle piccole oscillazioni del sistema.
3) Il periodo delle piccole oscillazioni del sistema, se all'altra estremità venisse collegata un'altra molla di eguale costante elastica, come in figura b).
Grazie mille in anticipo!
Un'asta rigida (M=35.6 kg e L=4.00 m) è collegata a una molla di costante elastica k=1550 N/m come in figura a).
Calcolare, trascurando gli attriti:
1) Il momento di inerzia della barra rispetto al perno in figura.
2) Il periodo delle piccole oscillazioni del sistema.
3) Il periodo delle piccole oscillazioni del sistema, se all'altra estremità venisse collegata un'altra molla di eguale costante elastica, come in figura b).
Grazie mille in anticipo!
Risposte
Non sai trovare neanche il momento d'inerzia dell'asta rispetto al suo centro?
Ammesso che a questo riesci ad arrivare, poi devi considerare l'equazione di moto dell'asta in rotazione:
$ I ddot theta = M$ notando che $M = -k L theta$ ($L$ semilunghezza dell'asta)
Se la confronti con la classica oscillazione di una massa attaccata ad una molla,
$m ddotx = F = -kx$ che porta ad un valore di $omega = sqrt(k/m)$ puoi arrivare facilmente a trovare $omega$ nel tuo caso.
Se poi le molle sono due, si vede subito che l'effetto è lo stesso che si avrebbe raddoppiando k con una sola molla, quindi...
Ammesso che a questo riesci ad arrivare, poi devi considerare l'equazione di moto dell'asta in rotazione:
$ I ddot theta = M$ notando che $M = -k L theta$ ($L$ semilunghezza dell'asta)
Se la confronti con la classica oscillazione di una massa attaccata ad una molla,
$m ddotx = F = -kx$ che porta ad un valore di $omega = sqrt(k/m)$ puoi arrivare facilmente a trovare $omega$ nel tuo caso.
Se poi le molle sono due, si vede subito che l'effetto è lo stesso che si avrebbe raddoppiando k con una sola molla, quindi...
Ciao, innanzitutto grazie per la tua risposta, vorrei chiederti però delle spiegazioni in quanto non mi sono ben chiari dei passaggi.
Inizio a "spulciare" la tua risposta e ti dico cosa ho capito.
-In primo luogo hai posto il Momento torcente dell'asta uguale a quello delle forze agenti su di essa. Hai considerato quello della forza elastica che vale $M=kxL$, essendo $x=Lsenθ$, con il seno molto piccolo, hai approssimato $x=Lθ$.
Non dovrebbe quindi essere $M=kθL^2$, considerando che l'angolo braccio-forza è quasi retto?
Inoltre, non hai considerato il momento della forza di gravità perchè il braccio è zero o perchè i due momenti ai lati opposti si annullano?
-La seconda parte non mi è ben chiara perchè non capisco come possa servirmi quella formula della pulsazione ω.
Avevo pensato di considerare l'accelerazione angolare come $α=θω^2$ in modo da poter eliminare theta da entrambe le parti.
L'equazione risultante sarebbe quindi (senza contare l'eventuale contributo della forza di gravità):
$Iω^2=kL^2$ da cui, trovando ω, ricaverei il periodo T.
Scusami se mi sono dilungato ma ho proprio bisogno di capire bene il funzionamento dell'esercizio.
Grazie mille di nuovo per la risposta, e grazie in anticipo se avrai la pazienza di rispondermi ancora!
Inizio a "spulciare" la tua risposta e ti dico cosa ho capito.
-In primo luogo hai posto il Momento torcente dell'asta uguale a quello delle forze agenti su di essa. Hai considerato quello della forza elastica che vale $M=kxL$, essendo $x=Lsenθ$, con il seno molto piccolo, hai approssimato $x=Lθ$.
Non dovrebbe quindi essere $M=kθL^2$, considerando che l'angolo braccio-forza è quasi retto?
Inoltre, non hai considerato il momento della forza di gravità perchè il braccio è zero o perchè i due momenti ai lati opposti si annullano?
-La seconda parte non mi è ben chiara perchè non capisco come possa servirmi quella formula della pulsazione ω.
Avevo pensato di considerare l'accelerazione angolare come $α=θω^2$ in modo da poter eliminare theta da entrambe le parti.
L'equazione risultante sarebbe quindi (senza contare l'eventuale contributo della forza di gravità):
$Iω^2=kL^2$ da cui, trovando ω, ricaverei il periodo T.
Scusami se mi sono dilungato ma ho proprio bisogno di capire bene il funzionamento dell'esercizio.
Grazie mille di nuovo per la risposta, e grazie in anticipo se avrai la pazienza di rispondermi ancora!
"Gabbro96":
Non dovrebbe quindi essere $M=kθL^2$
Giusto, mi è scappato il 2
"Gabbro96":
Inoltre, non hai considerato il momento della forza di gravità perchè il braccio è zero o perchè i due momenti ai lati opposti si annullano?
Per questi motivi (che però si contraddicono) e poi perchè comunque è costante e non influenza le oscillazioni
"Gabbro96":
-La seconda parte non mi è ben chiara perchè non capisco come possa servirmi quella formula della pulsazione ω.
Intendevo dire che, dato che l'equazione per le oscillazioni ha la forma $ddotx = -k/mx = -omega^2x$ e ha per soluzioni $Acos(omegat + phi)$ dove $omega$ è $sqrt(k/m)$ ossia la radice del coefficiente del termine non derivato $x$,
allora, la tua che è $ddottheta = -k/IL^2theta$ ha la stessa forma, quindi la stessa soluzione, se poniamo $omega = Lsqrt(k/I)$
Suggerivo di procedere per analogia. Infine, $T = (2pi)/omega$
"Gabbro96":
Avevo pensato di considerare l'accelerazione angolare come $α=θω^2$ in modo da poter eliminare theta da entrambe le parti.
Qui non ho capito da dove viene l'accelerazione angolare.
Ammesso che a questo riesci ad arrivare, poi devi considerare l'equazione di moto dell'asta in rotazione:
$Iθ''=M$
Ho pensato che il $θ$ coi due pallini sopra (scusami non so metterli
) fosse la derivata seconda dello spostamento angolare, ergo, l'accelerazione angolare. Il che rispetta la formula per il Momento Torcente $M=Iα$.
il $θ$ coi due pallini sopra ($ddot theta$) si scrive
ddot theta
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