Problema su moto uniformemente decelerato e lavoro
Buongiorno a tutti!
Ho un dubbio riguardo al seguente esercizio:
TESTO:
In una frenata improvvisa, a una velocità $vo = 100 (km)/h$, il pilota mantiene in azione i freni con una decelerazione costante $a=-6 m/s^²$. L'automobile ha una massa $m = 800 kg$. Calcolare:
a) lo spazio di frenata $DeltaX$,
b) il lavoro compiuto dalla forza frenante.
Di per sè so che è un problema semplice però ho un dubbio sul ruolo che gioca la massa in esso:
dato che il testo non parla di attrito in teoria la massa con il punto a non ha niente a che vedere giusto?
Solo che così, ovviamente , mi escono risultati molto poco realistici ($60s,10800m$).
Purtroppo il libro non ha le soluzioni per cui non so se ho fatto correttamente, me lo potreste confermare?
Ho però anche un dubbio matematico sul punto 2: so che in questo caso posso calcolare il lavoro come prodotto scalare per il $cos(180)$ ma, avendo visto all'Università la trattazione integrale (che alle superiori non avevo fatto), mi sto trovando in difficoltà a risolvere l'integrale di linea corrispondente (nel senso che proprio non ho capito come farlo) mi potreste aiutare per favore? Grazie mille!
Ho un dubbio riguardo al seguente esercizio:
TESTO:
In una frenata improvvisa, a una velocità $vo = 100 (km)/h$, il pilota mantiene in azione i freni con una decelerazione costante $a=-6 m/s^²$. L'automobile ha una massa $m = 800 kg$. Calcolare:
a) lo spazio di frenata $DeltaX$,
b) il lavoro compiuto dalla forza frenante.
Di per sè so che è un problema semplice però ho un dubbio sul ruolo che gioca la massa in esso:
dato che il testo non parla di attrito in teoria la massa con il punto a non ha niente a che vedere giusto?
Solo che così, ovviamente , mi escono risultati molto poco realistici ($60s,10800m$).
Purtroppo il libro non ha le soluzioni per cui non so se ho fatto correttamente, me lo potreste confermare?
Ho però anche un dubbio matematico sul punto 2: so che in questo caso posso calcolare il lavoro come prodotto scalare per il $cos(180)$ ma, avendo visto all'Università la trattazione integrale (che alle superiori non avevo fatto), mi sto trovando in difficoltà a risolvere l'integrale di linea corrispondente (nel senso che proprio non ho capito come farlo) mi potreste aiutare per favore? Grazie mille!
Risposte
Per quanto riguarda l'integrale ho provato a fare in questo modo:
$L_(AB)^(gamma)=\int_{0}^{10800} (-4800) ds=-5,18*10^7J$.
Non so però se sia la cosa giusta e, più in generale, non saprei come fare in un caso generico, mi servirebbe trovare un'equazione che descriva il cammino $gamma$ in funzione di $s$ e integrare quella?
E se la forza varia anch'essa in funzione di $s$ dovrei integrare entrambe?
Ad esempio (sto inventando), se riuscissi a trovare $F(s)=5s+2$ e $gamma(s)=s^2$ il lavoro $L_(AB)^(gamma)$ sarebbe:
$\int_{A}^{B} (5s+2)*(s^2) ds$?
Si tratta così un generico integrale di linea per trovare il lavoro?
Grazie di tutto!
$L_(AB)^(gamma)=\int_{0}^{10800} (-4800) ds=-5,18*10^7J$.
Non so però se sia la cosa giusta e, più in generale, non saprei come fare in un caso generico, mi servirebbe trovare un'equazione che descriva il cammino $gamma$ in funzione di $s$ e integrare quella?
E se la forza varia anch'essa in funzione di $s$ dovrei integrare entrambe?
Ad esempio (sto inventando), se riuscissi a trovare $F(s)=5s+2$ e $gamma(s)=s^2$ il lavoro $L_(AB)^(gamma)$ sarebbe:
$\int_{A}^{B} (5s+2)*(s^2) ds$?
Si tratta così un generico integrale di linea per trovare il lavoro?
Grazie di tutto!
Perché dici che la massa non serve?
Conosci accelerazione (negativa in quanto decelerazione, ma non cambia nulla) e massa, quindi puoi trovare la forza esercitata[nota]In realtà in questi termini è la forza che il terreno esercita sulle ruote che a loro volta esercitano l'azione frenante sull'auto grazie ai freni.[/nota] e da qui noto lo spazio di arresto puoi calcolare il lavoro di tale forza frenante.
Conosci accelerazione (negativa in quanto decelerazione, ma non cambia nulla) e massa, quindi puoi trovare la forza esercitata[nota]In realtà in questi termini è la forza che il terreno esercita sulle ruote che a loro volta esercitano l'azione frenante sull'auto grazie ai freni.[/nota] e da qui noto lo spazio di arresto puoi calcolare il lavoro di tale forza frenante.
Ciao Faussone, grazie per il tempo dedicatomi; forse mi sono espresso male: io non intendevo dire che la massa non serve in tutto l'esercizio, io intendevo che, nel punto $a$, la massa non devo utilizzarla perchè, mancando la forza di attrito, non ho bisogno di calcolare il valore di $N$ lungo l'asse delle ordinate (che in questo caso dipenderebbe dalla forza peso e quindi dalla massa) e quindi sull'asse delle ascisse non agisce alcuna forza che sia in qualche modo legata alla massa e quindi la legge oraria non viene influenzata dal valore della massa ma solo da quello dell'accelerazione, che mi è già stata fornita dal testo.
Poi chiaramente la massa, come dici tu, serve nel punto $b$ per calcolare la forza e conseguentemente il lavoro.
Mi potresti aiutare però anche nella seconda domanda (quella sull'integrale intendo)?
Grazie ancora!
Poi chiaramente la massa, come dici tu, serve nel punto $b$ per calcolare la forza e conseguentemente il lavoro.
Mi potresti aiutare però anche nella seconda domanda (quella sull'integrale intendo)?
Grazie ancora!
@mau21
Per il primo punto puoi semplicemente considerare che il moto è uniformemente decelerato e calcolare prima il tempo di arresto e poi la spazio percorso. Non vengono risultati così irrealistici, sei sicuro di aver trattato correttamente le unità di misura?
Se hai dubbi posta i calcoli.
Per il primo punto puoi semplicemente considerare che il moto è uniformemente decelerato e calcolare prima il tempo di arresto e poi la spazio percorso. Non vengono risultati così irrealistici, sei sicuro di aver trattato correttamente le unità di misura?
Se hai dubbi posta i calcoli.
Grazie ancora per l'aiuto, per quanto riguarda il primo punto è corretto (ho trovato i risultati che danno gli autori del libro), per quanto riguarda il secondo mi potresti aiutare a capire meglio il lavoro inteso come integrale?
Grazie ancora!
Grazie ancora!
Non occorre fare alcun integrale, hai una forza costante e uno spostamento rettilineo, se vuoi scrivere l'integrale ritroverai semplicemente il prodotto tra forza e spostamento.
Avevo scritto nella prima risposta come procederei, cosa non ti torna?
Avevo scritto nella prima risposta come procederei, cosa non ti torna?
Grazie ancora per il tempo dedicatomi, in realtà (probabilmente non mi sono spiegato bene) la mia domanda riguardo al lavoro non era riferita a questo specifico esercizio, mi chiedevo come risolvere un integrale di questo tipo dati una forza e uno spostamento generici (non costanti/rettilinei).
Potresti darmi qualche informazione in merito?
Grazie mille!
Potresti darmi qualche informazione in merito?
Grazie mille!
Il "lavoro" lungo una curva di un campo vettoriale è, dal punto di vista matematico, un integrale di linea di seconda specie.
https://it.wikipedia.org/wiki/Integrale ... nda_specie
Concettualmente tale integrale consiste nel prendere il campo in un punto della curva, fare il prodotto scalare per il versore tangente alla curva nel punto in questione, moltiplicare lo scalare così ottenuto per il tratto infinitesimo di lunghezza della curva e quindi integrare su tutta la curva.
In pratica, data una parametrizzazione della curva, si può esplicitare l'integrale in questione in modo relativamente semplice (vedi sempre su wikipedia).
https://it.wikipedia.org/wiki/Integrale ... nda_specie
Concettualmente tale integrale consiste nel prendere il campo in un punto della curva, fare il prodotto scalare per il versore tangente alla curva nel punto in questione, moltiplicare lo scalare così ottenuto per il tratto infinitesimo di lunghezza della curva e quindi integrare su tutta la curva.
In pratica, data una parametrizzazione della curva, si può esplicitare l'integrale in questione in modo relativamente semplice (vedi sempre su wikipedia).
Grazie di tutto, ho provato a fare alcuni esercizi di questo tipo e mi sono venuti, quindi penso di aver capito.
Grazie ancora e buona giornata!
Grazie ancora e buona giornata!
Ti posso fare un ultima domanda?
Mi potresti dire come (se si può) dimostrare rigorosamente che una determinata forza è conservativa?
Se io calcolo il lavoro lungo due percorsi diversi e risulta lo stesso (oppure lo calcolo lungo una linea chiusa e viene uguale a $0$) posso dire per certo che tale forza è conservativa oppure potrei essere stato sfortunato e aver preso l'unico caso in cui vale?
In pratica: basta fare un tentativo andato bene per dimostrare che tale forza è conservativa oppure quelle di prima sono condizioni necessarie (ma non sufficienti) per dimostrarlo?
Grazie ancora!
Mi potresti dire come (se si può) dimostrare rigorosamente che una determinata forza è conservativa?
Se io calcolo il lavoro lungo due percorsi diversi e risulta lo stesso (oppure lo calcolo lungo una linea chiusa e viene uguale a $0$) posso dire per certo che tale forza è conservativa oppure potrei essere stato sfortunato e aver preso l'unico caso in cui vale?
In pratica: basta fare un tentativo andato bene per dimostrare che tale forza è conservativa oppure quelle di prima sono condizioni necessarie (ma non sufficienti) per dimostrarlo?
Grazie ancora!
"mau21":
Ti posso fare un ultima domanda?
Mi potresti dire come (se si può) dimostrare rigorosamente che una determinata forza è conservativa?
Se io calcolo il lavoro lungo due percorsi diversi e risulta lo stesso (oppure lo calcolo lungo una linea chiusa e viene uguale a $0$) posso dire per certo che tale forza è conservativa oppure potrei essere stato sfortunato e aver preso l'unico caso in cui vale?
In pratica: basta fare un tentativo andato bene per dimostrare che tale forza è conservativa oppure quelle di prima sono condizioni necessarie (ma non sufficienti) per dimostrarlo?
Grazie ancora!
Per dimostrare in generale che un campo di forze è conservativo (non una forza in sé il che non ha molto senso a rigore) devi verificare che esiste una funzione potenziale il cui gradiente in qualsiasi punto ti dà la forza del campo nel punto, immaginando che nel punto sia presente un "qualcosa" che interagisce col campo di forze. Ovviamente la differenza di questa funzione potenziale tra due punti fornisce il lavoro compiuto dalle forze del campo nello spostare quel qualcosa da un punto all'altro.
In pratica: basta fare un tentativo andato bene per dimostrare che tale forza è conservativa oppure quelle di prima sono condizioni necessarie (ma non sufficienti) per dimostrarlo?
sono condizioni necessarie.
per la conservatività di un campo di forze nel dominio di definizione serve che 1) il lavoro lungo qualsiasi curva suff regolare (diciamo C1) con estremi fissati sia lo stesso. Il che è equivalente alle seguenti:
2) lavoro nullo lungo qualsiasi percorso chiuso
3) esistenza del potenziale tc F = gradV
nel dubbio che abbia omesso qualcosa, puoi controllare wiki
per intenderci, la definizione di conservatività 1) implica 2), 2) implica 3) e 3) implica 1). Ossia sono tutte definizioni equivalenti.
"Lampo1089":
.... Ossia sono tutte definizioni equivalenti.
Il discorso di esistenza della funzione potenziale e di circuitazione nulla su qualunque percorso chiuso implicano anche che, come condizione necessaria affinché il campo sia conservativo, il campo di forze abbia rotore nullo nello spazio di interesse.
Grazie a entrambi, scusate se non vi ho risposto per giorni.
Guardando sul mio libro di testo ho letto che una forza è conservativa se è centrale, dato che il suo modulo dipende solo dalla distanza dal punto di applicazione.
Si può verificare un questo modo che un determinato campo sia conservativo?
Un campo è conservativo se e solo se la forza è centrale o esistono altri campi conservativi?
Grazie ancora!
Guardando sul mio libro di testo ho letto che una forza è conservativa se è centrale, dato che il suo modulo dipende solo dalla distanza dal punto di applicazione.
Si può verificare un questo modo che un determinato campo sia conservativo?
Un campo è conservativo se e solo se la forza è centrale o esistono altri campi conservativi?
Grazie ancora!
Come ha scritto Faussone, la definizione data da Lampo è fuorviante.
Risposta breve a tutte le tue domande:
1. Per verifica se un campo è conservativo senza conoscere la funzione potenziale, il campo deve essere connesso
e deve essere soddisfatta la relazione: $vec(grad)xxvec(F)=0 $.
2. Se (1) è verificata, allora esiste la funzione potenziale V, e risulta che $vecF=gradcdotV$
3. Le forze centrali sono conservative (basta verificare usando la (1), suggerimento, usa il gradiente in coordinate polari). Non è vero che un campo è conservativo se e solo se la forza è centrale. La forza di gravità non è centrale, ma è conservativa.
Ciao
Risposta breve a tutte le tue domande:
1. Per verifica se un campo è conservativo senza conoscere la funzione potenziale, il campo deve essere connesso
e deve essere soddisfatta la relazione: $vec(grad)xxvec(F)=0 $.
2. Se (1) è verificata, allora esiste la funzione potenziale V, e risulta che $vecF=gradcdotV$
3. Le forze centrali sono conservative (basta verificare usando la (1), suggerimento, usa il gradiente in coordinate polari). Non è vero che un campo è conservativo se e solo se la forza è centrale. La forza di gravità non è centrale, ma è conservativa.
Ciao
@professorkappa in che senso la mia definizione è fuorviante?
Da quel che mi risulta, definizione di campo conservativo è avere integrale di linea nullo su tutti i cammini chiusi (+ eventuali ipotesi di regolarità che non ricordo).
Probabilmente intendi che ha una difficile applicazione pratica?
Per quanto riguarda quello che scrivi, cosa intendi con campo connesso in relazione a rotore nullo? Ti riferisci forse al dominio di definizione semplicemente connesso?
Da quel che mi risulta, definizione di campo conservativo è avere integrale di linea nullo su tutti i cammini chiusi (+ eventuali ipotesi di regolarità che non ricordo).
Probabilmente intendi che ha una difficile applicazione pratica?
Per quanto riguarda quello che scrivi, cosa intendi con campo connesso in relazione a rotore nullo? Ti riferisci forse al dominio di definizione semplicemente connesso?
Ti risulta giusto, infatti la tua risposta non è scorretta, ma la domanda era: "come stabilisco che una forza è conservativa?
La tua risposta, ripeto corretta, porta fuori strada (o, se preferisici, ha poca utilità pratica): non puoi usare (1) e (2), per determinare se il campo è conservativo, perche non puoi verificare che tutti i percorsi chiusi forniscono lavoro nullo, mentre la (3) presuppone che tu conosca il potenziale della forza (e quindi hai GIA stabilito che è conservativa).
La conservativita di una forza è assicurata da
$(partialF_x)/(partialy)=(partialF_y)/(partialx)=0$
$(partialF_x)/(partialz)=(partialF_z)/(partialx)=0$
$(partialF_y)/(partialz)=(partialF_z)/(partialy)=0$
Il che equivale a dire che il rotore è nullo
Questa condizione è necessaria ma non sufficiente, e deve essere affiancata dal fatto che il campo è semplicemente connesso (in soldoni, "non ha buchi"), cosa che si verifica prticamente sempre nei problemi di dinamica e meccanica che si trattano in Fisica 1.
Ora, verificate le condizioni di cui sopra, siamo certi che la forza è conservative e dunque:
1. si può trovare la funzione potenziale V (operazione leggermente macchinosa, ma nemmeno tanto)
2. Saremo certi che il lavoro su ogni circuito chiuso sarà necessariamente nullo
3. Deve valere che$vecF=vec(grad)*V$
La tua risposta, ripeto corretta, porta fuori strada (o, se preferisici, ha poca utilità pratica): non puoi usare (1) e (2), per determinare se il campo è conservativo, perche non puoi verificare che tutti i percorsi chiusi forniscono lavoro nullo, mentre la (3) presuppone che tu conosca il potenziale della forza (e quindi hai GIA stabilito che è conservativa).
La conservativita di una forza è assicurata da
$(partialF_x)/(partialy)=(partialF_y)/(partialx)=0$
$(partialF_x)/(partialz)=(partialF_z)/(partialx)=0$
$(partialF_y)/(partialz)=(partialF_z)/(partialy)=0$
Il che equivale a dire che il rotore è nullo
Questa condizione è necessaria ma non sufficiente, e deve essere affiancata dal fatto che il campo è semplicemente connesso (in soldoni, "non ha buchi"), cosa che si verifica prticamente sempre nei problemi di dinamica e meccanica che si trattano in Fisica 1.
Ora, verificate le condizioni di cui sopra, siamo certi che la forza è conservative e dunque:
1. si può trovare la funzione potenziale V (operazione leggermente macchinosa, ma nemmeno tanto)
2. Saremo certi che il lavoro su ogni circuito chiuso sarà necessariamente nullo
3. Deve valere che$vecF=vec(grad)*V$
Penso di aver capito il concetto.
Grazie a tutti!
Grazie a tutti!
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