Problema su moto smorzato
Buongiorno!
Prima di tutto, una nota: il post può sembrare lungo perché ci sono alcuni miei ragionamenti, ma tranquilli...
i dubbi, in sè, sono molto coincisi. Detto questo..
Avrei 3 dubbi sul moto smorzato, che riguardano un problema.
Io so che, in generale, la legge oraria per il moto smorzato in una dimensione è la seguente:
Problema
Un punto materiale di massa $m = 1 kg$ entra in un fiume profondo $h = 3 m$ con una velocità di modulo
$v(0) = 10 m/s $ la cui direzione forma un angolo di $pi/6$ rispetto alla superficie del fiume (che è orizzontale).
L’acqua del fiume si muove ad una velocità di modulo $v_c$ diretta unicamente lungo l'orizzontale .
Si schematizzi la forza di attrito viscoso dell’acqua come $vecF= −gamma vecv_[rel]$ ,
dove $vecv_[rel]$ è la velocità del punto rispetto all’acqua del fiume e $gamma = 3 (kg)/s$ .
Sapendo che il punto continua a muoversi su di una traiettoria rettilinea:
$1)$ Scrivere le equazioni del moto e le leggi orarie per l'asse orizzontale e verticale;
$2)$ trovare il valore di $v_c$;
$3)$ trovare a quale istante il punto materiale tocca il fondo del fiume.
Nota: Il fatto che il punto continui a muoversi su di una traiettoria rettilinea è un dato del problema, da assumere come vero in questo caso.
Mie risoluzioni e dubbi
$text(Punto numero 1)$
Equazioni del moto:
$ddot(x)= -gamma/mdot(x)+ gamma/mv_c$
$ddot(y)= -gamma/mdot(y)+ g$
Leggi orarie:
Lungo l'orizzontale, crescente verso destra:
$x(t)= m/gamma(v(0)sin(pi/6)- gamma/mv_c)(1-e^(-gamma/mt))+ v_ct$
$ rArr x(t)=(m/gammav(0)sin(pi/6)-v_c)(1-e^(-gamma/mt))+ v_ct$
Lungo la verticale crescente verso il basso:
$y(t)= m/gamma(v(0)cos(pi/6)- g)(1-e^(-gamma/mt))+ gm/gammat$
Dubbio:
Per la legge oraria $x(t)$ due ragazzi con cui studio hanno ottenuto risultati diversi. Ho sbagliato qualcosa secondo voi?
In riferimento alla prima immagine di questo post, in alto, ho considerato $a=gamma/mv_c$. Dovrebbe essere corretto, no?
$text(Punto numero 2)$
Dato che
$ddot(x)= -gamma/mdot(x)+ gamma/mv_c$
$ddot(y)= -gamma/mdot(y)+ g$
e che il punto continua a muoversi su di una traiettoria rettilinea, se l'angolo fosse stato $pi/4$, avrei semplicemente posto $ gamma/mv_c=g$ .
Dubbio:
Dal momento che l'angolo che la direzione della velocità forma con la superficie del fiume è $pi/6$, come posso fare?
$text(Punto numero 3)$
Io ho semplicemente preso la legge oraria lungo la verticale e l'ho posta uguale a $3$, ovvero
$3= (m/gammav(0)cos(pi/6)- m/gammag)(1-e^(-gamma/mt))+ gm/gammat$
ovvero
$1-e^(-gamma/mt)+ gm/gammat= 3/ (m/gammav(0)cos(pi/6)- m/gammag)$
$rArr e^(-gamma/mt)- gm/gammat= 1 - 3/ (m/gammav(0)cos(pi/6)- m/gammag)$
Dubbio:
Non ho la più pallida idea di come risolvere questa equazione!
Ho forse sbagliato qualcosa?
Prima di tutto, una nota: il post può sembrare lungo perché ci sono alcuni miei ragionamenti, ma tranquilli...
i dubbi, in sè, sono molto coincisi. Detto questo..
Avrei 3 dubbi sul moto smorzato, che riguardano un problema.
Io so che, in generale, la legge oraria per il moto smorzato in una dimensione è la seguente:
Problema
Un punto materiale di massa $m = 1 kg$ entra in un fiume profondo $h = 3 m$ con una velocità di modulo
$v(0) = 10 m/s $ la cui direzione forma un angolo di $pi/6$ rispetto alla superficie del fiume (che è orizzontale).
L’acqua del fiume si muove ad una velocità di modulo $v_c$ diretta unicamente lungo l'orizzontale .
Si schematizzi la forza di attrito viscoso dell’acqua come $vecF= −gamma vecv_[rel]$ ,
dove $vecv_[rel]$ è la velocità del punto rispetto all’acqua del fiume e $gamma = 3 (kg)/s$ .
Sapendo che il punto continua a muoversi su di una traiettoria rettilinea:
$1)$ Scrivere le equazioni del moto e le leggi orarie per l'asse orizzontale e verticale;
$2)$ trovare il valore di $v_c$;
$3)$ trovare a quale istante il punto materiale tocca il fondo del fiume.
Nota: Il fatto che il punto continui a muoversi su di una traiettoria rettilinea è un dato del problema, da assumere come vero in questo caso.
Mie risoluzioni e dubbi
$text(Punto numero 1)$
Equazioni del moto:
$ddot(x)= -gamma/mdot(x)+ gamma/mv_c$
$ddot(y)= -gamma/mdot(y)+ g$
Leggi orarie:
Lungo l'orizzontale, crescente verso destra:
$x(t)= m/gamma(v(0)sin(pi/6)- gamma/mv_c)(1-e^(-gamma/mt))+ v_ct$
$ rArr x(t)=(m/gammav(0)sin(pi/6)-v_c)(1-e^(-gamma/mt))+ v_ct$
Lungo la verticale crescente verso il basso:
$y(t)= m/gamma(v(0)cos(pi/6)- g)(1-e^(-gamma/mt))+ gm/gammat$
Dubbio:
Per la legge oraria $x(t)$ due ragazzi con cui studio hanno ottenuto risultati diversi. Ho sbagliato qualcosa secondo voi?
In riferimento alla prima immagine di questo post, in alto, ho considerato $a=gamma/mv_c$. Dovrebbe essere corretto, no?
$text(Punto numero 2)$
Dato che
$ddot(x)= -gamma/mdot(x)+ gamma/mv_c$
$ddot(y)= -gamma/mdot(y)+ g$
e che il punto continua a muoversi su di una traiettoria rettilinea, se l'angolo fosse stato $pi/4$, avrei semplicemente posto $ gamma/mv_c=g$ .
Dubbio:
Dal momento che l'angolo che la direzione della velocità forma con la superficie del fiume è $pi/6$, come posso fare?
$text(Punto numero 3)$
Io ho semplicemente preso la legge oraria lungo la verticale e l'ho posta uguale a $3$, ovvero
$3= (m/gammav(0)cos(pi/6)- m/gammag)(1-e^(-gamma/mt))+ gm/gammat$
ovvero
$1-e^(-gamma/mt)+ gm/gammat= 3/ (m/gammav(0)cos(pi/6)- m/gammag)$
$rArr e^(-gamma/mt)- gm/gammat= 1 - 3/ (m/gammav(0)cos(pi/6)- m/gammag)$
Dubbio:
Non ho la più pallida idea di come risolvere questa equazione!
Ho forse sbagliato qualcosa?
Risposte
Il primo punto mi pare corretto (le equazioni iniziali intendo non ho controllato i conti).
Nel secondo basta imporre che il rapporto tra lo spostamento lungo y e lungo x sia costante e uguale a $"tan"(pi/6)$.
Per il terzo punto puoi adottare un procedimento iterativo: assumi $t$ abbastanza grande da trascurare l'esponenziale e quindi ricavi $t$, poi sostituisci il valore di $t$ nell'esponenziale e ricavi la nuova $t$ e così via fino a convergenza (puoi fare con Excel se non vuoi fare a mano, ma in sostanza ti basta una calcolatrice scientifica normale).
Nel secondo basta imporre che il rapporto tra lo spostamento lungo y e lungo x sia costante e uguale a $"tan"(pi/6)$.
Per il terzo punto puoi adottare un procedimento iterativo: assumi $t$ abbastanza grande da trascurare l'esponenziale e quindi ricavi $t$, poi sostituisci il valore di $t$ nell'esponenziale e ricavi la nuova $t$ e così via fino a convergenza (puoi fare con Excel se non vuoi fare a mano, ma in sostanza ti basta una calcolatrice scientifica normale).
Ciao Faussone! Grazie per avermi risposto.
Per il terzo dubbio ho capito, perfetto, sospettavo non fosse un procedimento scontato. Ma comunque il terzo dubbio è stato risolto.
Per gli altri due invece:
$1)$
Se riuscissi, tu o qualcun altro, a confermarmi che:
$ddot(x)= -gamma/m(dot(x)-v_c)$
IMPLICA
$x(t)= m/gamma(v(0)sin(pi/6)- gamma/mv_c)(1-e^(-gamma/mt))+ v_ct$
Sarebbe fantastico.
$2)$
Come mai $"tan"(pi/6)$ ? Da dove viene fuori?
Per il terzo dubbio ho capito, perfetto, sospettavo non fosse un procedimento scontato. Ma comunque il terzo dubbio è stato risolto.
Per gli altri due invece:
$1)$
"Faussone":
Il primo punto mi pare corretto (le equazioni iniziali intendo non ho controllato i conti).
Se riuscissi, tu o qualcun altro, a confermarmi che:
$ddot(x)= -gamma/m(dot(x)-v_c)$
IMPLICA
$x(t)= m/gamma(v(0)sin(pi/6)- gamma/mv_c)(1-e^(-gamma/mt))+ v_ct$
Sarebbe fantastico.
$2)$
"Faussone":
Nel secondo basta imporre che il rapporto tra lo spostamento lungo y e lungo x sia costante e uguale a $"tan"(pi/6)$.
Come mai $"tan"(pi/6)$ ? Da dove viene fuori?
Per il punto 2, scusa ma basta che derivi per vedere se è rispettata la equazione differenziale e poi le condizioni iniziali.
Poi se è dato l'angolo tra velocità e orizzontale direi che ci vuole un coseno non un seno.
Per il secondo punto in pratica imponi che il coefficiente angolare della retta della traiettoria in acqua sia tale che la direzione della velocità non cambi fuori e dentro l'acqua.
Poi se è dato l'angolo tra velocità e orizzontale direi che ci vuole un coseno non un seno.
Per il secondo punto in pratica imponi che il coefficiente angolare della retta della traiettoria in acqua sia tale che la direzione della velocità non cambi fuori e dentro l'acqua.
"Faussone":
Per il punto 2, scusa ma basta che derivi per vedere se è rispettata la equazione differenziale e poi le condizioni iniziali.
Poi se è dato l'angolo tra velocità e orizzontale direi che ci vuole un coseno non un seno.
Giusto! Grazie.
"Faussone":
Per il secondo punto in pratica imponi che il coefficiente angolare della retta della traiettoria in acqua sia tale che la direzione della velocità non cambi fuori e dentro l'acqua.
Ma come faccio a determinare $v_c$ tale che ciò avvenga, date le equazioni del moto?
Prova con questo ragionamento forse è più intuitivo.
Trova la velocità al tempo zero, quindi sul pelo libero, facile dalle equazioni del moto, imponi che l'angolo del vettore velocità trovato con l'orizzontale sia pari a quei 30 gradi.
Trova la velocità al tempo zero, quindi sul pelo libero, facile dalle equazioni del moto, imponi che l'angolo del vettore velocità trovato con l'orizzontale sia pari a quei 30 gradi.
"Faussone":
Prova con questo ragionamento forse è più intuitivo.
Trova la velocità al tempo zero, quindi sul pelo libero, facile dalle equazioni del moto, imponi che l'angolo del vettore velocità trovato con l'orizzontale sia pari a quei 30 gradi.
Ah, quindi mi consigli di trovare le velocità $dot(x)(t)$ ed $dot(y)(t)$ dalle equazioni di moto...
...e dopodichè impongo che $(dot(y)(t))/(dot(x)(t))$ ad un $t$ qualsiasi (quello che mi risulta più comodo), sia uguale $tg(pi/6)$.
Giusto?
O lavori con le posizioni come ti avevo scritto all'inizio, o con le velocità come ti ho scritto prima, è equivalente. Prova, invece di chiedere continuamente conferme!
"Faussone":
O lavori con le posizioni come ti avevo scritto all'inizio, o con le velocità come ti ho scritto prima, è equivalente. Prova, invece di chiedere continuamente conferme!
Grazie Faussone!
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