Problema su momento angolare!!!leggere per capire!!!
Una pallina di massa m si trova su un piano orizzontale liscio ed è collegata, tramite un filo inestensibile, di massa tracurabile e passante per un piccolo foro O praticato nel piano,a un corpo di massa M posto al di sotto del piano sopra la verticale passante per O. All istante t=0 la pallina è a distanza d da O e possiede veloctà V(vettore) parallela al piano e normale a filo!!!
a)Nella fase di moto immediatamente successiva a t=0, la pallina si avvicina o si allontana dal foro O?
b)Si determinano le distanze r(min) e r(max) da O raggiunte dalla pallina durante il moto
chi mi aiuta?
il punto a l ho risolto..ma per il punto b non so che fare!!!
a)Nella fase di moto immediatamente successiva a t=0, la pallina si avvicina o si allontana dal foro O?
b)Si determinano le distanze r(min) e r(max) da O raggiunte dalla pallina durante il moto
chi mi aiuta?
il punto a l ho risolto..ma per il punto b non so che fare!!!
Risposte
Toglimi una curiosità innanzitutto; per il punto a io ho considerato un sistema non inerziale solidale con il filo, lungo il quale agiscono la tensione e la forza centrifuga su $m$, nonchè il peso su $M$; le equazioni del moto sono quindi:
$ma = (m v^2)/d - T$
$Ma = T - Mg$ considerando che il filo è inestensibile, quindi i due corpi hanno la stessa accelerazione.
Ricavando $T$ dalla seconda e sostituendolo nella prima si ha
$a = (m v^2)/((M + m) d) - (M g)/(M+ m)$
Se l'accelerazione è positiva $m$ si allontana, altrimenti si avvicina; ponendo $a > 0$ si trova
$v > sqrt((M g d)/m)$, cioè la condizione che deve soddisfare $v$ affinchè $m$ si allontani. Ti viene un risultato del genere? Te lo chiedo solo per vedere se ho
afferrato l'esercizio.
$ma = (m v^2)/d - T$
$Ma = T - Mg$ considerando che il filo è inestensibile, quindi i due corpi hanno la stessa accelerazione.
Ricavando $T$ dalla seconda e sostituendolo nella prima si ha
$a = (m v^2)/((M + m) d) - (M g)/(M+ m)$
Se l'accelerazione è positiva $m$ si allontana, altrimenti si avvicina; ponendo $a > 0$ si trova
$v > sqrt((M g d)/m)$, cioè la condizione che deve soddisfare $v$ affinchè $m$ si allontani. Ti viene un risultato del genere? Te lo chiedo solo per vedere se ho
afferrato l'esercizio.
non so se hai sbagliato a scrivere, ma praticamente per il punto a) deve essere $v^2=Mgd/m$ in quanto:
se la tensione sviluppata dal filo e la forza sviluppata dalla massettina sono uguali allora si ha un moto circolare uniforme e basta porre
$ Mg=mv^2/d $
quindi con velocità maggiori si allontana e minori si avvicina...
per il secondo punto io avevo provato a ragionare col momento angolare in quanto ad un certo punto la massa si trova ad un certa distanza x da O con la velocità che è diminuita e perciò rientra di nuovo in moto circolare uniforme...avevo provato così, ma il risultato non mi esce...
se non sono stato chiaro dimmelo
se la tensione sviluppata dal filo e la forza sviluppata dalla massettina sono uguali allora si ha un moto circolare uniforme e basta porre
$ Mg=mv^2/d $
quindi con velocità maggiori si allontana e minori si avvicina...
per il secondo punto io avevo provato a ragionare col momento angolare in quanto ad un certo punto la massa si trova ad un certa distanza x da O con la velocità che è diminuita e perciò rientra di nuovo in moto circolare uniforme...avevo provato così, ma il risultato non mi esce...
se non sono stato chiaro dimmelo
ho rifatto i tuoi calcoli ed esce il mio stesso risultato!!!hai soltanto sbagliato nella scrittura sul forum!!!:)
Non è che ho sbagliato a scrivere, semplicemente ho estratto la radice! I risultati sono gli stessi!
Secondo me la pallina "oscilla" tra $r_(min)$ e $r_(max)$. Partendo da $d$, in cui c'è una forza radiale non nulla, la massa si allontana (o si avvicina), passa per una posizione di equilibrio in cui la risultante è nulla e poi per inerzia raggiunge un estremo (proprio come una molla) in cui la velocità radiale (non tangenziale!) è nulla mentre forza e accelerazione sono massime. Tali oscillazioni, ovviamente, non sono armoniche (lo si riconosce dall'equazione differenziale del moto...purtroppo).
Detta $R_(eq)$ la posizione "di equilibrio", si può imporre $(m v_(eq)^2)/R_(eq) - Mg = 0$ da cui $v_(eq) = sqrt((M g R_(eq))/m)$
Applicando la conservazione del momento angolare si ha $m v d = m sqrt((M g R_(eq))/m) R_(eq)$
Si può ricavare la posizione di equilibrio (un vero e proprio "centro di oscillazione") che risulta essere $R_(eq) =((m v^2 d^2)/(M g))^(1/3)$.
Ora mi chiedo: è possibile che $R_(eq)$ sia il punto medio del segmento $r_(min) -> r_(max)$?
Si potrebbe fare un'analogia con la molla: se la deformo di un tratto $x$ dall'equilibrio (punto $x_0$), essa comincerà ad oscillare fra $x_0 + x$ e $x_0 - x$, con $x_0$ punto medio.
Nel nostro caso avremmo come primo estremo $r_(min) = R_(eq) - d$, mentre l'altro estremo di oscillazione sarebbe $r_(max) = R_(eq) + d$.
Sò che il risultato è un pò forzato, ma per ora è l'unico concreto che abbia ottenuto.
Un metodo "sicuro" sarebbe quello di integrare l'equazione del moto; ponendoci in un sistema non inerziale si ha:
$m a = (m v(r)^2)/r - T$
$M a = T - M g$ cioè il sistema di prima ma per una generica posizione $r$
Da qui si ottiene $a = (m v(r)^2)/((M + m) r) - M/(m + M) g$
Conservando il momento angolare si ricava $v(r)$ : $m v d = m v(r) r$ cioè $v(r) = (v d)/r$
Sostituendo si ha $a = (m v^2 d^2)/((M + m) r^3) - M/(m + M) g$
cioè $(d^2 r)/(dt^2) - (m v^2 d^2)/(M +m) r^(-3) = - M/(M + m) g$
un'equazione differenziale non lineare non omogenea, che francamente non saprei proprio risolvere.
Conoscendo la legge oraria, ricavando da essa la velocità (radiale!!), si potrebbero trovare i punti per cui tale velocità si annulla, cioè $r_(min)$ e $r_(max)$
Secondo me la pallina "oscilla" tra $r_(min)$ e $r_(max)$. Partendo da $d$, in cui c'è una forza radiale non nulla, la massa si allontana (o si avvicina), passa per una posizione di equilibrio in cui la risultante è nulla e poi per inerzia raggiunge un estremo (proprio come una molla) in cui la velocità radiale (non tangenziale!) è nulla mentre forza e accelerazione sono massime. Tali oscillazioni, ovviamente, non sono armoniche (lo si riconosce dall'equazione differenziale del moto...purtroppo).
Detta $R_(eq)$ la posizione "di equilibrio", si può imporre $(m v_(eq)^2)/R_(eq) - Mg = 0$ da cui $v_(eq) = sqrt((M g R_(eq))/m)$
Applicando la conservazione del momento angolare si ha $m v d = m sqrt((M g R_(eq))/m) R_(eq)$
Si può ricavare la posizione di equilibrio (un vero e proprio "centro di oscillazione") che risulta essere $R_(eq) =((m v^2 d^2)/(M g))^(1/3)$.
Ora mi chiedo: è possibile che $R_(eq)$ sia il punto medio del segmento $r_(min) -> r_(max)$?
Si potrebbe fare un'analogia con la molla: se la deformo di un tratto $x$ dall'equilibrio (punto $x_0$), essa comincerà ad oscillare fra $x_0 + x$ e $x_0 - x$, con $x_0$ punto medio.
Nel nostro caso avremmo come primo estremo $r_(min) = R_(eq) - d$, mentre l'altro estremo di oscillazione sarebbe $r_(max) = R_(eq) + d$.
Sò che il risultato è un pò forzato, ma per ora è l'unico concreto che abbia ottenuto.
Un metodo "sicuro" sarebbe quello di integrare l'equazione del moto; ponendoci in un sistema non inerziale si ha:
$m a = (m v(r)^2)/r - T$
$M a = T - M g$ cioè il sistema di prima ma per una generica posizione $r$
Da qui si ottiene $a = (m v(r)^2)/((M + m) r) - M/(m + M) g$
Conservando il momento angolare si ricava $v(r)$ : $m v d = m v(r) r$ cioè $v(r) = (v d)/r$
Sostituendo si ha $a = (m v^2 d^2)/((M + m) r^3) - M/(m + M) g$
cioè $(d^2 r)/(dt^2) - (m v^2 d^2)/(M +m) r^(-3) = - M/(M + m) g$
un'equazione differenziale non lineare non omogenea, che francamente non saprei proprio risolvere.
Conoscendo la legge oraria, ricavando da essa la velocità (radiale!!), si potrebbero trovare i punti per cui tale velocità si annulla, cioè $r_(min)$ e $r_(max)$
il fatto che esca quella robaccia non mi convince...comunque ora sono in partenza per l università e non ho potuto ben seguire quanto hai detto...appena ho un attimo...
devo dire che il tuo ragionamento è molto complesso...purtroppo in ogni caso non si arriva ad una soluzione concreta dal momenti che nel libro che sto seguendo tutti gli esercizi non richiedono conoscenze complesse sulle differenziali...le classiche conoscenze!!!quindi non credo che la soluzione passa per quello...
io purtroppo riesco a vedere il problema in questo modo che non coincide con quello del libro...
la massettina si avvicina al centro O (o si allontana) dal momento che non ha la velocità necessaria per stare in equilibrio...man mano che si avvicina ad O la velocità diventa tale da metterla di nuovo in moto circolare perchè altrimenti raggiungerebbe O...almeno credo...
io purtroppo riesco a vedere il problema in questo modo che non coincide con quello del libro...
la massettina si avvicina al centro O (o si allontana) dal momento che non ha la velocità necessaria per stare in equilibrio...man mano che si avvicina ad O la velocità diventa tale da metterla di nuovo in moto circolare perchè altrimenti raggiungerebbe O...almeno credo...
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