Problema su Induttanza e Capacità
Salve a tutti,
Sono alle prese col seguente esercizio:
Il primo punto è abbastanza facile; a meno di segni che tanto posso aggiustare sapendo che C ed L sono quantità non negative,
\(\displaystyle \frac{\Delta C}{\Delta z}=\frac{Q}{\Delta V \Delta z}=\frac{Q}{\Delta z \int_{-}^{+}{\vec{E}d\vec{l}}}=\frac{2\pi\epsilon_0}{\ln(b/a)} \).
Analogamente[nota]Come superficie scelgo un piano con angolo polare \(\displaystyle \phi \) costante.[/nota] \(\displaystyle \frac{\Delta L}{\Delta z}=\frac{\int{\vec{B}d\vec{a}}}{\Delta z I}=\frac{\mu_0}{2\pi}\ln(b/a) \).
E dunque il prodotto vale \(\displaystyle \mu_0 \epsilon_0 =c^2 \).
E qua mi blocco. Per il secondo punto ho immaginato si dovesse usare la simmetria \(\displaystyle \partial_z E=\partial_z B=0 \), ma non sono andato molto lontano :-/
Sono alle prese col seguente esercizio:
Il primo punto è abbastanza facile; a meno di segni che tanto posso aggiustare sapendo che C ed L sono quantità non negative,
\(\displaystyle \frac{\Delta C}{\Delta z}=\frac{Q}{\Delta V \Delta z}=\frac{Q}{\Delta z \int_{-}^{+}{\vec{E}d\vec{l}}}=\frac{2\pi\epsilon_0}{\ln(b/a)} \).
Analogamente[nota]Come superficie scelgo un piano con angolo polare \(\displaystyle \phi \) costante.[/nota] \(\displaystyle \frac{\Delta L}{\Delta z}=\frac{\int{\vec{B}d\vec{a}}}{\Delta z I}=\frac{\mu_0}{2\pi}\ln(b/a) \).
E dunque il prodotto vale \(\displaystyle \mu_0 \epsilon_0 =c^2 \).
E qua mi blocco. Per il secondo punto ho immaginato si dovesse usare la simmetria \(\displaystyle \partial_z E=\partial_z B=0 \), ma non sono andato molto lontano :-/
Risposte
In una linea di trasmissione [nota]Non dissipativa, ovvero priva di perdite.[/nota], come può essere "vista" quella coassiale in oggetto, il prodotto $ L C$ fra induttanza e capacità per unità di lunghezza è sempre pari al prodotto $\mu \epsilon$ fra permeabilità magnetica e permittività elettrica e quindi dipende solo dalle caratteristiche del mezzo e non dalla geometria dei conduttori; non serviva quindi nemmeno quella tua verifica per affermarlo.
Occhio comunque a quel tuo typo, la velocità di trasmissione è pari all'inverso della radice quadrata del suddetto prodotto.
Occhio comunque a quel tuo typo, la velocità di trasmissione è pari all'inverso della radice quadrata del suddetto prodotto.
@RenzoDF Ok, però l'esercizio chiede di dimostrarlo...
E allora dimostriamolo in generale, via eq. differenziali, usando un generico modello costituito da una successione infinita di celle LC rappresentanti sezioni infinitesime di linea.
Rieccomi! Ho finalmente avuto modo di riguardare il problema dopo averne visto uno simile a lezione. Vado spedito ma l'idea è:
Imposto una rete LC semi-infinita di spaziatura $a$ come in figura:
Allora varranno le relazioni \(\displaystyle I_{n-1}=\dot{Q}_n+I_n \) e $V_{n+1}-V_n=-L\dot{I}_n=\frac{1}{C}[Q_{n+1}-Q_n] $ da cui $\ddot{I}_n= \frac{1}{LC} (I_{n-1}-2I_n+I_{n+1})$.
Cercando soluzioni della forma $ I_n(t)=I_0 e^{ikna-i\omega t} $ (onda monocromatica che si propaga indefinitamente) ottengo la relazione di dispersione cercata $\omega^2= \frac{4}{LC} \sin^2(ka/2) $. Nel limite $a \rightarrow 0$ la rete non ha più una frequenza "di taglio" $2\omega_0$, ma soprattutto, sviluppando \(\displaystyle \sin x = x+o(x) \) troviamo che
\(\displaystyle \frac{L}{a} \frac{C}{a}=(\frac{k}{\omega})^2 \), ovvero il prodotto di capacità per unità di lunghezza e induttanza per unità di lunghezza è uguale all'inverso del quadrato della velocità di propagazione di un segnale elettrico, che è proprio la velocità della luce. Quest'ultimo passaggio è l'unico che mi turba un attimo: uno scettico non potrebbe obbiettare che quella velocità di fase abbia un valore numerico diverso
Imposto una rete LC semi-infinita di spaziatura $a$ come in figura:
Allora varranno le relazioni \(\displaystyle I_{n-1}=\dot{Q}_n+I_n \) e $V_{n+1}-V_n=-L\dot{I}_n=\frac{1}{C}[Q_{n+1}-Q_n] $ da cui $\ddot{I}_n= \frac{1}{LC} (I_{n-1}-2I_n+I_{n+1})$.
Cercando soluzioni della forma $ I_n(t)=I_0 e^{ikna-i\omega t} $ (onda monocromatica che si propaga indefinitamente) ottengo la relazione di dispersione cercata $\omega^2= \frac{4}{LC} \sin^2(ka/2) $. Nel limite $a \rightarrow 0$ la rete non ha più una frequenza "di taglio" $2\omega_0$, ma soprattutto, sviluppando \(\displaystyle \sin x = x+o(x) \) troviamo che
\(\displaystyle \frac{L}{a} \frac{C}{a}=(\frac{k}{\omega})^2 \), ovvero il prodotto di capacità per unità di lunghezza e induttanza per unità di lunghezza è uguale all'inverso del quadrato della velocità di propagazione di un segnale elettrico, che è proprio la velocità della luce. Quest'ultimo passaggio è l'unico che mi turba un attimo: uno scettico non potrebbe obbiettare che quella velocità di fase abbia un valore numerico diverso
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