Problema su forze elettrostatiche
Salve a tutti, son bloccato in questo esercizio che ho provato più volte e non mi torna.
"" Una particella di massa m = 1.672×10−27 kg e carica elettrica q0 = 1.602×10−19 C è inizialmente ferma sull’asse del sistema costituito da due cariche elettriche negative puntiformi q = −1.36 pC, mantenute fisse a distanza d = 0.0301 m l’una dall’altra. Determinare la velocità, in m/s, con cui la particella, lasciata libera di muoversi, transita per il centro O del sistema se
a = 0.109 m è la sua distanza iniziale da O. "" Il risultato è 5,24x10^4
Ho provato a svolgerlo come due differenti configurazioni di sistemi di cariche, la prima quella iniziale fatta a triangolo e la seconda con le 3 cariche allineate in modo perpendicolare all'asse su cui si trovava la carica libera e quindi sfruttando la seguente relazione: $ Delta Ek=L $ dove L sarebbe il lavoro fatto dalle forze elettrostatiche "per attrarre" la carica libera verso di loro.
Soltanto che non mi torna il risultato, qualcuno ha qualche idea diversa/suggerimento ? Grazie.
"" Una particella di massa m = 1.672×10−27 kg e carica elettrica q0 = 1.602×10−19 C è inizialmente ferma sull’asse del sistema costituito da due cariche elettriche negative puntiformi q = −1.36 pC, mantenute fisse a distanza d = 0.0301 m l’una dall’altra. Determinare la velocità, in m/s, con cui la particella, lasciata libera di muoversi, transita per il centro O del sistema se
a = 0.109 m è la sua distanza iniziale da O. "" Il risultato è 5,24x10^4
Ho provato a svolgerlo come due differenti configurazioni di sistemi di cariche, la prima quella iniziale fatta a triangolo e la seconda con le 3 cariche allineate in modo perpendicolare all'asse su cui si trovava la carica libera e quindi sfruttando la seguente relazione: $ Delta Ek=L $ dove L sarebbe il lavoro fatto dalle forze elettrostatiche "per attrarre" la carica libera verso di loro.
Soltanto che non mi torna il risultato, qualcuno ha qualche idea diversa/suggerimento ? Grazie.
Risposte
Come idea va bene.
Più facilmente ( e in generale ti conviene usare questa strada) puoi usare il fatto che la forza elettrostatica è conservativa quindi non ti serve calcolare esplicitamente $L$ ma puoi usare direttamente l'espressione dell'energia potenziale elettrostatica $U=(q_1q_2)/(4piepsilon_o r)$ ed impostare una semplice equazione di conservazione dell'energia meccanica totale.
In ogni caso, se vuoi calcolare direttamente $L$ viene così:
Dalla definizione di lavoro $L= 2 int_(0)^(a)F costheta ds$ (con $F$ si intende il modulo, quindi quando vai a sostituire i valori delle cariche metti il loro modulo)
Il fattore 2 viene dal fatto che ci sono due cariche che attirano $q_o$ .
Lo spostamento è legato all'ordinata dalla relazione $s=a-y$ e quindi l'integrale diventa
$2int_(0)^(a) (qq_o)/(4piepsilon_o) costheta/((d/2)^2+y^2) dy$
Osservando che $costheta= y/sqrt((d/2)^2+y^2) $
$L=int_(0)^(a) (qq_o)/(4piepsilon_o) (2y)/((d/2)^2+y^2)^(3/2) dy$
che da come soluzione
$L=(qq_o)/(4piepsilon_o) (-2)( 1/sqrt((d/2)^2+a^2)-2/d)$
$L= (2qq_o)/(4piepsilon_o) (2/d- 1/sqrt((d/2)^2+a^2))$
Più facilmente ( e in generale ti conviene usare questa strada) puoi usare il fatto che la forza elettrostatica è conservativa quindi non ti serve calcolare esplicitamente $L$ ma puoi usare direttamente l'espressione dell'energia potenziale elettrostatica $U=(q_1q_2)/(4piepsilon_o r)$ ed impostare una semplice equazione di conservazione dell'energia meccanica totale.
In ogni caso, se vuoi calcolare direttamente $L$ viene così:
Dalla definizione di lavoro $L= 2 int_(0)^(a)F costheta ds$ (con $F$ si intende il modulo, quindi quando vai a sostituire i valori delle cariche metti il loro modulo)
Il fattore 2 viene dal fatto che ci sono due cariche che attirano $q_o$ .
Lo spostamento è legato all'ordinata dalla relazione $s=a-y$ e quindi l'integrale diventa
$2int_(0)^(a) (qq_o)/(4piepsilon_o) costheta/((d/2)^2+y^2) dy$
Osservando che $costheta= y/sqrt((d/2)^2+y^2) $
$L=int_(0)^(a) (qq_o)/(4piepsilon_o) (2y)/((d/2)^2+y^2)^(3/2) dy$
che da come soluzione
$L=(qq_o)/(4piepsilon_o) (-2)( 1/sqrt((d/2)^2+a^2)-2/d)$
$L= (2qq_o)/(4piepsilon_o) (2/d- 1/sqrt((d/2)^2+a^2))$
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