Problema su forza elettromotrice e corrente indotte
Salve a tutti,
sono alle prese con il seguente problema:
"Su un piano verticale sono poste due rotaie conduttrici parallele, distanti $1m$ una dall'altra, di resistenza elettrica trascurabile e connesse elettricamente tra loro alla sommità. Su di esse può scorrere senza attrito una sbarretta conduttrice, si massa $10g$ e resistenza elettrica $R=1\Omega$. Il tutto è immerso in un campo magnetico uniforme e costante, diretto orizzontalmente, di modulo $B=0.5T$. A un certo istante la sbarretta viene lasciata cadere (con velocità iniziale nulla) luno le rotaie. Si assuma per l'accelerazione di gravitò il valore approssimato $g=10ms^_2$.
1)Calcolare, in funzione della velocità della sbarretta, la forza elettromotrice indotta nella sbarretta e la corrente indotta e la corrente indotta nella spira costituita dal sistema rotaie-sbarretta.
2)Descrivere qualitativamente il moto della sbarretta lungo le rotaie e calcolare la velocità limite (se esiste). Trovare come varia la velocità limite al variare della resistenza elettrica $R$ della sbarretta. Che succede quando $R$ tende all'infinito e quando $R$ tende a zero?$
Per risolvere il problema ho pensato di ricorrere alla legge di Faraday-Neumann,
$$\mathcal E=-\frac{d\Phi(\textbf{B})}{dt}.$$
La variazione del flusso del campo magnetico è dovuta alla variazione dell'area delimitata dal sistema asse-rotaie. Ho pertanto determinato l'espressione di tale area.
La sbarretta è dotata di massa, per cui sarà soggetta alla forza peso e si muoverà di moto uniformemente accelerato. Indicata $y(t)$ la distanza percorsa dalla sbarretta, si avrà
$$y(t)=-\frac{1}{2}gt^2=-\frac{v(t)^2}{2g},$$
in quanto $v(t)=-g*t \Rightarrow t=-\frac{v(t)}{g}$.
Indicata con $A$ l'area del sistema asse-rotaie, si ha
$$A=-\frac{1}{2}\frac{v(t)^2}{g},$$
poiché la distanza fra le rotaie è pari a $1m$.
Quindi $\Phi(B)=B*A=\frac{1}{2}*(-\frac{1}{2}\frac{v(t)^2}{g})=(-\frac{1}{4}\frac{v(t)^2}{g})$. Ne segue che $\mathcal{E}=-\frac{d\Phi(B)}{dt}=\frac{1}{4g}2v(t)\frac{dv(t)}{dt}=\frac{1}{4g}2v(t)g=\frac{1}{2}v(t)$. In conclusione, la corrente indotta sarà
$$i=\frac{\mathcal{E}}{R}=\frac{1}{2}v(t),$$
poiché $R=1$.
Vorrei chiedere se giudicata corretta questa parte di soluzione ed un suggerimento per proseguire con il secondo punto del problema.
Grazie anticipatamente.
sono alle prese con il seguente problema:
"Su un piano verticale sono poste due rotaie conduttrici parallele, distanti $1m$ una dall'altra, di resistenza elettrica trascurabile e connesse elettricamente tra loro alla sommità. Su di esse può scorrere senza attrito una sbarretta conduttrice, si massa $10g$ e resistenza elettrica $R=1\Omega$. Il tutto è immerso in un campo magnetico uniforme e costante, diretto orizzontalmente, di modulo $B=0.5T$. A un certo istante la sbarretta viene lasciata cadere (con velocità iniziale nulla) luno le rotaie. Si assuma per l'accelerazione di gravitò il valore approssimato $g=10ms^_2$.
1)Calcolare, in funzione della velocità della sbarretta, la forza elettromotrice indotta nella sbarretta e la corrente indotta e la corrente indotta nella spira costituita dal sistema rotaie-sbarretta.
2)Descrivere qualitativamente il moto della sbarretta lungo le rotaie e calcolare la velocità limite (se esiste). Trovare come varia la velocità limite al variare della resistenza elettrica $R$ della sbarretta. Che succede quando $R$ tende all'infinito e quando $R$ tende a zero?$
Per risolvere il problema ho pensato di ricorrere alla legge di Faraday-Neumann,
$$\mathcal E=-\frac{d\Phi(\textbf{B})}{dt}.$$
La variazione del flusso del campo magnetico è dovuta alla variazione dell'area delimitata dal sistema asse-rotaie. Ho pertanto determinato l'espressione di tale area.
La sbarretta è dotata di massa, per cui sarà soggetta alla forza peso e si muoverà di moto uniformemente accelerato. Indicata $y(t)$ la distanza percorsa dalla sbarretta, si avrà
$$y(t)=-\frac{1}{2}gt^2=-\frac{v(t)^2}{2g},$$
in quanto $v(t)=-g*t \Rightarrow t=-\frac{v(t)}{g}$.
Indicata con $A$ l'area del sistema asse-rotaie, si ha
$$A=-\frac{1}{2}\frac{v(t)^2}{g},$$
poiché la distanza fra le rotaie è pari a $1m$.
Quindi $\Phi(B)=B*A=\frac{1}{2}*(-\frac{1}{2}\frac{v(t)^2}{g})=(-\frac{1}{4}\frac{v(t)^2}{g})$. Ne segue che $\mathcal{E}=-\frac{d\Phi(B)}{dt}=\frac{1}{4g}2v(t)\frac{dv(t)}{dt}=\frac{1}{4g}2v(t)g=\frac{1}{2}v(t)$. In conclusione, la corrente indotta sarà
$$i=\frac{\mathcal{E}}{R}=\frac{1}{2}v(t),$$
poiché $R=1$.
Vorrei chiedere se giudicata corretta questa parte di soluzione ed un suggerimento per proseguire con il secondo punto del problema.
Grazie anticipatamente.
Risposte
Non è corretta, ti sei dimenticato della seconda legge di Laplace. 
Intendi dire che c'è l'azione frenante di F=iBL?
Sí.
Per la fem poi, potevi più semplicemente usare Lorentz (E= BLv).
Per la fem poi, potevi più semplicemente usare Lorentz (E= BLv).
Se la usassi mi pare si giungerebbe alla mia stessa conclusione: $\mathcal{E}=\frac{1}{2}v(t)$.
Mi chiedo se si debba tener conto dell'azione frenante di $F=ilB$ in prima istanza in quanto inizialmente non scorre corrente nella sbarretta. In seguito alla variazione di flusso, si genererà corrente indotta e a quel punto interverrà $F$. il ragionamento è errato?
Mi chiedo se si debba tener conto dell'azione frenante di $F=ilB$ in prima istanza in quanto inizialmente non scorre corrente nella sbarretta. In seguito alla variazione di flusso, si genererà corrente indotta e a quel punto interverrà $F$. il ragionamento è errato?
Ti consiglio di lasciare inizialmente la formulazione in forma simbolica e solo successivamente passare a quella numerica.
Scusa ma, è chiaro che nell'istante iniziale "tutto" è nullo: la velocità, la fem, la corrente e la forza.
Ed è anche chiaro che, per le richieste iniziali [nota]Ipotizzando che il campo, più che essere "orizzontale", sia normale al piano del binario.[/nota], è sufficiente scrivere la fem e la corrente in funzione della velocità, ovvero
$\mathcal E(t)=BLv(t)$
e
$i(t)=(BL v(t))/R$
ma il moto [nota]Scelgo, ovviamente, per ragioni di "convenienza", l'asse y orientato verso il basso.[/nota] non è accelerato con accelerazion $g$, in quanto l'effettiva accelerazione $a$ la ricavi da
$ma(t)=mg-BLi(t)$
e da questa la $v(t)$.
"jakojako":
... Mi chiedo se si debba tener conto dell'azione frenante di $F=ilB$ in prima istanza in quanto inizialmente non scorre corrente nella sbarretta.
Scusa ma, è chiaro che nell'istante iniziale "tutto" è nullo: la velocità, la fem, la corrente e la forza.
Ed è anche chiaro che, per le richieste iniziali [nota]Ipotizzando che il campo, più che essere "orizzontale", sia normale al piano del binario.[/nota], è sufficiente scrivere la fem e la corrente in funzione della velocità, ovvero
$\mathcal E(t)=BLv(t)$
e
$i(t)=(BL v(t))/R$
ma il moto [nota]Scelgo, ovviamente, per ragioni di "convenienza", l'asse y orientato verso il basso.[/nota] non è accelerato con accelerazion $g$, in quanto l'effettiva accelerazione $a$ la ricavi da
$ma(t)=mg-BLi(t)$
e da questa la $v(t)$.
Perdonami, se ti disturbo ancora, ma la tua obiezione è relativa a ciò che adesso ho ribattezzato come punto 2) del problema, cioè laddove mi descrivere il moto della barretta?
Scusa ma non hai forse scritto che
per andare a rispondere al punto 1) del problema
E io, relativamente allo stesso punto, non ti ho forse risposto che
"jakojako":
... La sbarretta è dotata di massa, per cui sarà soggetta alla forza peso e si muoverà di moto uniformemente accelerato. Indicata $y(t)$ la distanza percorsa dalla sbarretta, si avrà
$$y(t)=-\frac{1}{2}gt^2=-\frac{v(t)^2}{2g},$$
in quanto $v(t)=-g*t \Rightarrow t=-\frac{v(t)}{g}$. ...
per andare a rispondere al punto 1) del problema
E io, relativamente allo stesso punto, non ti ho forse risposto che
"RenzoDF":
... il moto non è accelerato con accelerazion $g$, in quanto l'effettiva accelerazione $a$ la ricavi da
$ma(t)=mg-BLi(t)$
Benissimo. Assodato questo, perché pensavo ci stessimo fraintendendo a un certo punto, dovrei scrivere:
$$t=\frac{v(t)}{g-\frac{BLi(t)}{m}} \Rightarrow y(t)=\frac{1}{2}\left(g-\frac{BLi(t)}{m}\right)\frac{v(t)^2}{\left(g-\frac{BLi(t)}{m}\right)^2}=\frac{1}{2}\frac{v(t)^2}{\left(g-\frac{BLi(t)}{m}\right)}.$$
A questo punto poi dovrei risolvere:
$$i(t)=-\frac{d\left(\frac{1}{2}\frac{v(t)^2}{\left(g-\frac{BLi(t)}{m}\right)}\right)}{dt},$$
visto che $R=1$.
Cioè mi dovrei mettere a risolvere questa equazione differenziale?
$$t=\frac{v(t)}{g-\frac{BLi(t)}{m}} \Rightarrow y(t)=\frac{1}{2}\left(g-\frac{BLi(t)}{m}\right)\frac{v(t)^2}{\left(g-\frac{BLi(t)}{m}\right)^2}=\frac{1}{2}\frac{v(t)^2}{\left(g-\frac{BLi(t)}{m}\right)}.$$
A questo punto poi dovrei risolvere:
$$i(t)=-\frac{d\left(\frac{1}{2}\frac{v(t)^2}{\left(g-\frac{BLi(t)}{m}\right)}\right)}{dt},$$
visto che $R=1$.
Cioè mi dovrei mettere a risolvere questa equazione differenziale?
Scusa ma, direi di no, in quanto non è un moto uniformemente accelerato, e poi, non è più semplice dalla
$ma(t)=mg-BLi(t)$
andare a risolvere la semplice, "classica" seguente eq. diff.
$\dot v(t)=g-(B^2L^2)/(mR)v(t)$
che porta alla solita salita esponenziale
$v(t)=v_L(1-e^{- (mR)/(B^2L^2)t})$
che evidenzia la velocità limite, tipica dei moti viscosi.
$ma(t)=mg-BLi(t)$
andare a risolvere la semplice, "classica" seguente eq. diff.
$\dot v(t)=g-(B^2L^2)/(mR)v(t)$
che porta alla solita salita esponenziale
$v(t)=v_L(1-e^{- (mR)/(B^2L^2)t})$
che evidenzia la velocità limite, tipica dei moti viscosi.
Perdona la castroneria di prima. Ora é tutto chiaro, é la prima volta che mi approccio a questi problemi e ci sono molte cose che devo imparare. Scusa per il disturbo e grazie ancora!
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