Problema su energia orbite ellittiche

[mikwii2000]

Ciao a tutti,
vi propongo questo problema 10.9 p.179 del libro "Fisica" di Zotto, Lo Russo, Sartori... non riesco ancora a capire perché sbaglio il risultato..

Un satellite di massa $ m $ ruota attorno ad un pianeta di massa $ M $ su un'orbita $ gamma_1 $ circolare di raggio $ R $ con velocità $ v_0=2*10^4 $ m/s. Determinare il modulo dell'aumento di velocità $ Delta v $ necessario e supposto istantaneo, affinché il satellite si sposti su un'orbita $ gamma_2 $ ellittica di semiasse maggiore $ a=2R $.

Io ho provato a usare le energie meccaniche orbitali, con formula $ E=-G(Mm)/(2a) $... se riusciste a seguire questa via sarebbe perfetto, ma accetto qualsiasi tipo di aiuto... vi ringrazio tanto

[anonymous_0b37e9]

Dovrebbe trattarsi della rappresentazione sottostante:

Se questo è il caso, si può concludere impostando un sistema di due equazioni le cui incognite sono le velocità all'apogeo e al perigeo.

[mikwii2000]

Sì, il disegno è corretto.. il problema richiede appunto di trovare $ Delta v $ affinché ci sia il cambio di orbita mentre il corpo si trova nel perigeo da te raffigurato... Se riuscissi a impostare la risoluzione ti ringrazierei tanto

[anonymous_0b37e9]

Devi imporre che il momento angolare e l'energia meccanica abbiano lo stesso valore all'apogeo e al perigeo.

[mikwii2000]

"anonymous_0b37e9":Devi imporre che il momento angolare e l'energia meccanica abbiano lo stesso valore all'apogeo e al perigeo.

Allora, seguendo il tuo consiglio, ho impostato il seguente sistema:
\begin{cases} \frac{1}{2}mv_p^2-G\frac{Mm}{R}=\frac{1}{2}mv_a^2-G\frac{Mm}{3R} \\ mv_pR=mv_a(3R) \end{cases}
dal quale, aggiungendo la condizione \( v_0^2=\frac{GM}{R} \) ricavata per l'orbita circolare, ottengo che
\( \Delta v=v_p-v_0=(\frac{\sqrt{6}}{2}-1)v_0 \)

Può essere corretto?

[anonymous_0b37e9]

Anche se non ho controllato i calcoli, il sistema è corretto.

[mikwii2000]

"anonymous_0b37e9":Anche se non ho controllato i calcoli, il sistema è corretto.

Ok grazie mille, problema risolto