Problema su distribuzione continua di una carica
Dato questo esercizio
ho fatto il disegno
Ho capito che devo trovare $dE$ come somma tra $dE_1$ e $dE_2$ in modo da poter elidere le componenti lungo l'asse delle ascisse. Dunque essendo $dE = (kdq)/r^2$ io scrivo $dE = dE_1 + dE_2 = (2kdqcosθu_y)/r^2$
Dunque per integrare questa formula e trovare E devo mettere tutto in funzione di una variabile, ovvero θ, quindi $r = h/cosθ$ ed essendo $dq = λdx$ devo trovare $dx$ in funzione di θ e qui ho il problema, se x(intesa come base del triangolo) lo posso esprimere grazie alla trigonometria come $x = htgθ$ come esprimo l'infinitesimo dx in funzione di θ se $dx$ è il segmento trovato dall'intersezione delle due rette passanti per C con l'asse x?
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ho fatto il disegno
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Ho capito che devo trovare $dE$ come somma tra $dE_1$ e $dE_2$ in modo da poter elidere le componenti lungo l'asse delle ascisse. Dunque essendo $dE = (kdq)/r^2$ io scrivo $dE = dE_1 + dE_2 = (2kdqcosθu_y)/r^2$
Dunque per integrare questa formula e trovare E devo mettere tutto in funzione di una variabile, ovvero θ, quindi $r = h/cosθ$ ed essendo $dq = λdx$ devo trovare $dx$ in funzione di θ e qui ho il problema, se x(intesa come base del triangolo) lo posso esprimere grazie alla trigonometria come $x = htgθ$ come esprimo l'infinitesimo dx in funzione di θ se $dx$ è il segmento trovato dall'intersezione delle due rette passanti per C con l'asse x?
Risposte
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Prima di scegliere una variabile d'integrazione è meglio pensarci un attimo, e valutare più opzioni.
Prova a scegliere come variabile la ascissa dell'elemento dx di filo, fra 0 e l/2, penso sia più semplice
ma con dx non potrei scrivere la formula come hai fatto tu non diventerebbe $r=sqrt(h^2 + (L/2 - dx)^2)$?
"Leoddio":
ma con dx non potrei scrivere la formula come hai fatto tu non diventerebbe $r=sqrt(h^2 + (L/2 - dx)^2)$?
Non ti capisco: cosa rappresenta la tua formula? Cosa è $r$? La distanza di che cosa da che cosa?
r è l'ipotenusa, tu hai scritto $r = sqrt(h^2 + x^2)$ solo che per integrare non utilizzo X ma dx dunque geometricamente quel teorema di pitagora non può più rappresentare l'ipotenusa perché dx non è un cateto
correggimi se sbaglio perché sono molto confuso a riguardo
correggimi se sbaglio perché sono molto confuso a riguardo
Per trovare $E$ devi integrare i contributi di tutti gli elementi infinitesimi $dx$ che si trovano fra i due estremi.
Poi, siccome le componenti secondo x si annullano per simmetria, interessa solo la componente y, cioè il modulo dei vettori E va moltiplicato per il fattore $cos theta = h/r$
Possiamo considerare solo metà del filo, dal centro all'estremo, e poi moltiplicare per 2.
La carica di un elemento $dx$ è $lambda dx$
La distanza al quadrato di questo elemento dal punto che interessa è $h^2 + x^2$
Infine abbiamo
$E =2 * int_{0}^{l/2} 1/(4 pi epsi_0) lambda/(h^2 + x^2) * h/sqrt(h^2 + x^2) dx =(2h)/(4 pi epsi_0) int_{0}^{l/2} 1/(h^2 + x^2)^(3/2) dx$
P.S. Quel che precede riguarda il caso del punto C. L'altro punto, allineato col filo dovrebbe essere più semplice, prova tu
Poi, siccome le componenti secondo x si annullano per simmetria, interessa solo la componente y, cioè il modulo dei vettori E va moltiplicato per il fattore $cos theta = h/r$
Possiamo considerare solo metà del filo, dal centro all'estremo, e poi moltiplicare per 2.
La carica di un elemento $dx$ è $lambda dx$
La distanza al quadrato di questo elemento dal punto che interessa è $h^2 + x^2$
Infine abbiamo
$E =2 * int_{0}^{l/2} 1/(4 pi epsi_0) lambda/(h^2 + x^2) * h/sqrt(h^2 + x^2) dx =(2h)/(4 pi epsi_0) int_{0}^{l/2} 1/(h^2 + x^2)^(3/2) dx$
P.S. Quel che precede riguarda il caso del punto C. L'altro punto, allineato col filo dovrebbe essere più semplice, prova tu
aspetta un secondo, sul mio libro nella soluzione utilizza teta come incognita e calcola $x = htgθ$ e poi per trovare dx deriva rispetto a teta, il mio grande problema concettuale è che non riesco a capire perché il risultato di questa derivata ovvero $dx = h/cos^2θ dθ$ venga diverso da come troverei dx geometricamente ovvero così:
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In analisi non valgo un gran che, ma le cose che scrivi, tipo $cos d theta$ mi sembra non vogliano dire niente; a lume di naso, se $d theta$ è un infinitesimo, $cos d theta$ significa 1, e quindi non ci cavi molto.
E poi, spiegami meglio da dove salta fuori quella tua relazione $R(theta) = h/(cos d theta)$ che non ho capito
E poi, spiegami meglio da dove salta fuori quella tua relazione $R(theta) = h/(cos d theta)$ che non ho capito
R è l'ipotenusa quindi in funzione di dθ la esprimo come il cateto $h/cos(dθ)$, ma evidentemente ho delle lacune in analisi, magari provo a chiedere in quella sezione
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