Problema su corpo rigido con urto completamente anaelastico
Mi son ritrovato a dover risolvere questo esercizio senza avere idea da dove iniziare.
Un corpo rigido costituito da un’asta sottile di lunghezza l=1m e massa trascurabile e
2 corpi puntiformi, entrambi con massa pari ad ma= 1 kg, si muove su un piano orizzontale privo di attriti di moto rettilineo uniforme con velocità v0= 2m/s. Un corpo puntiforme di massa mb= ma= 1 kg si muove sulla stessa direzione, con velocità
uguale in modulo ma di segno opposto, verso il corpo rigido, urtandolo anelasticamente in uno degli estremi (v. figura) e rimanendovi conficcato. Determinare:
a.
La posizione del centro di massa del sistema nell’istante dell’urto;
Risultato:xcm=0m; ycm=0.33m
b.
Il moto del corpo dopo l’urto in (x,y);
Risultato:Vcm,x=0.66m/s; Vcm,y=0m/s; ωcm=2rad/s (lungo z)
c.
L’energia dissipata durante l’urto.
Risultato:ΔK=-4J
Immagino che per il punto b debba usare la legge di conservazione di moto per gli urti completamente anaelastici
(M1V1 + M2V2)=(M1+M2)Vf. Nel corpo rigido M1 sarà uguale al momento di inerzia dell'asta, M2 al peso della particella e (M1+M2) al momento di inerzia del sistema dopo l'urto.
Il mio problema è che non saprei come calcolare il centro di massa del punto a per poi trovare il momento di inerzia.
Qualcuno che riesca ad illuminarmi per favore?
Un corpo rigido costituito da un’asta sottile di lunghezza l=1m e massa trascurabile e
2 corpi puntiformi, entrambi con massa pari ad ma= 1 kg, si muove su un piano orizzontale privo di attriti di moto rettilineo uniforme con velocità v0= 2m/s. Un corpo puntiforme di massa mb= ma= 1 kg si muove sulla stessa direzione, con velocità
uguale in modulo ma di segno opposto, verso il corpo rigido, urtandolo anelasticamente in uno degli estremi (v. figura) e rimanendovi conficcato. Determinare:
a.
La posizione del centro di massa del sistema nell’istante dell’urto;
Risultato:xcm=0m; ycm=0.33m
b.
Il moto del corpo dopo l’urto in (x,y);
Risultato:Vcm,x=0.66m/s; Vcm,y=0m/s; ωcm=2rad/s (lungo z)
c.
L’energia dissipata durante l’urto.
Risultato:ΔK=-4J
Immagino che per il punto b debba usare la legge di conservazione di moto per gli urti completamente anaelastici
(M1V1 + M2V2)=(M1+M2)Vf. Nel corpo rigido M1 sarà uguale al momento di inerzia dell'asta, M2 al peso della particella e (M1+M2) al momento di inerzia del sistema dopo l'urto.
Il mio problema è che non saprei come calcolare il centro di massa del punto a per poi trovare il momento di inerzia.
Qualcuno che riesca ad illuminarmi per favore?
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Risposte
No, c'è una gran confusione tra masse, pesi e momenti di inerzia.
Devi applicare la conservazione della quantità di moto e del momento angolare rispetto al centro di massa del sistema al momento dell'urto...niente inutili formule
Devi applicare la conservazione della quantità di moto e del momento angolare rispetto al centro di massa del sistema al momento dell'urto...niente inutili formule
OK, ma come trovo il centro di massa al momento dell'urto?
Risolto grazie
Buongiorno, ho 2 problemi sullo stesso esercizio.
Punto B. Non riesco a calcolare ω. Provando a utilizzare tutte le formule che ricordi, per trovare ω ho bisogno sempre di un altra variabile che non conosco.
Punto C. ho svolto i calcoli ma ho un risultato diverso:
$E$dissipata$ = K$finale$ - K$iniziale
$K$iniziale$= 1/2 m1 v1^2 + 1/2 m2 v2^2 = 4+2 = 6J$
$K$finale$= 1/2 m1 v1'^2 + 1/2 m2 v2'^2 = 1/2 * 2 * (0.66)^2 + 1/2 *1 * (0.66)^2= 3/2 * (0.66)^2= 0.6534 J$
$E$dissipata$= 0.6534 - 6 = -5.3466 J$ invece di $-4 J$
Cosa sbaglio?
Ringrazio in anticipo tutti quelli che mi daranno una mano.
Punto B. Non riesco a calcolare ω. Provando a utilizzare tutte le formule che ricordi, per trovare ω ho bisogno sempre di un altra variabile che non conosco.
Punto C. ho svolto i calcoli ma ho un risultato diverso:
$E$dissipata$ = K$finale$ - K$iniziale
$K$iniziale$= 1/2 m1 v1^2 + 1/2 m2 v2^2 = 4+2 = 6J$
$K$finale$= 1/2 m1 v1'^2 + 1/2 m2 v2'^2 = 1/2 * 2 * (0.66)^2 + 1/2 *1 * (0.66)^2= 3/2 * (0.66)^2= 0.6534 J$
$E$dissipata$= 0.6534 - 6 = -5.3466 J$ invece di $-4 J$
Cosa sbaglio?
Ringrazio in anticipo tutti quelli che mi daranno una mano.
Sbagli tutto praticamente
Tutto, ma cosa? i calcoli? la formula? se si, quale dovrei utilizzare?
Che fosse sbagliato lo avevo intuito ma chiedevo cosa ci fosse di sbagliato e come risolverlo.
Grazie.
Che fosse sbagliato lo avevo intuito ma chiedevo cosa ci fosse di sbagliato e come risolverlo.
Grazie.
"matteomatte":
... ho bisogno sempre di un'altra variabile che non conosco ...
Devi conservare la quantità di moto e il momento angolare prima e dopo l'urto.
Ti ringrazio, ci provo!
Per quanto riguarda la conservazione del momento angolare, ti consiglio di prendere come polo il centro di massa:
Il risultato è negativo perchè il sistema, dopo l'urto, ruota in senso orario.
Passo 1
$[m_a=m_b] ^^ [y_G=(m_al)/(2m_a+m_b)] rarr [y_G=l/3]$
Passo 2
$[m_a=m_b] ^^ [y_G=l/3] rarr$
$rarr (m_a-m_b)v_0y_G-m_av_0(l-y_G)=[(m_a+m_b)y_G^2+m_a(l-y_G)^2]\omega rarr$
$rarr -2/3m_av_0l=2/3m_al^2\omega rarr$
$rarr \omega=-v_0/l$
Il risultato è negativo perchè il sistema, dopo l'urto, ruota in senso orario.
Non riesco a capire questo passaggio
$[ma=mb]∧[yG=l/3]→(ma−mb)v0 yG−ma v0(l−yG)=[(ma+mb)yG^2+ma(l−yG)^2]ω$
$[ma=mb]∧[yG=l/3]→(ma−mb)v0 yG−ma v0(l−yG)=[(ma+mb)yG^2+ma(l−yG)^2]ω$
Non hai idea di cosa si stia parlando, apri un libro e studia.
Cosa sbaglio?
$Li = L1+L2 = 0 + m2*v0b*L$
L1 = 0 perchè l'asta inizialmente non ruota
L2 = calcolo del momento angolare
$Lf = Lf $asta$+Lf $particella
$Lf $asta$= I ωf=1/3 * m1 *L^2 * ωf$
$Lf $particella$= m2 v$particella$*L=m2 * L^2 * ωf$
$Li=Lf$
$m2 * v0 * L = L^2 * ωf * ((1/3) * m1 + m2)$
$ωf= ((m2 * v0)/(L((1/3)*m1)+m2))=((1Kg*2(m/s))/(1m*(((1/3)*2Kg)+1Kg))) = (6/5)*((rad)/s) $invece di$ 2((rad)/s)$
$Li = L1+L2 = 0 + m2*v0b*L$
L1 = 0 perchè l'asta inizialmente non ruota
L2 = calcolo del momento angolare
$Lf = Lf $asta$+Lf $particella
$Lf $asta$= I ωf=1/3 * m1 *L^2 * ωf$
$Lf $particella$= m2 v$particella$*L=m2 * L^2 * ωf$
$Li=Lf$
$m2 * v0 * L = L^2 * ωf * ((1/3) * m1 + m2)$
$ωf= ((m2 * v0)/(L((1/3)*m1)+m2))=((1Kg*2(m/s))/(1m*(((1/3)*2Kg)+1Kg))) = (6/5)*((rad)/s) $invece di$ 2((rad)/s)$
Coordinate del centro di massa
1. $x_G=(m_1x_1+m_2x_2+m_3x_3)/(m_1+m_2+m_3)=(m_a*0+m_b*0+m_a*0)/(m_a+m_b+m_a)=0$
2. $y_G=(m_1y_1+m_2y_2+m_3y_3)/(m_1+m_2+m_3)=(m_a*0+m_b*0+m_a*l)/(m_a+m_b+m_a)=(m_al)/(2m_a+m_b)$
$[m_a=m_b] rarr [y_G=(m_al)/(3m_a)=l/3]$
Conservazione del momento angolare rispetto al centro di massa
1. Momento angolare prima dell'urto
(I bracci sono le distanze delle masse da $G$)
(I momenti angolari sono positivi se le rispettive velocità inducono una rotazione antioraria rispetto a $G$)
$L_1=m_1v_1b_1-m_2v_2b_2-m_3v_3b_3=m_av_0y_G-m_bv_0y_G-m_av_0(l-y_G)$
$[m_a=m_b] ^^ [y_G=l/3] rarr [L_1=m_av_0l/3-m_av_0l/3-m_av_0(l-l/3)=-2/3m_av_0l]$
2. Momento angolare dopo l'urto
($I_G$ è il momento d'inerzia delle masse rispetto a $G$)
$I_G=m_1d_1^2+m_2d_2^2+m_3d_3^2=m_ay_G^2+m_by_G^2+m_a(l-y_G)^2$
$[m_a=m_b] ^^ [y_G=l/3] rarr [I_G=m_al^2/9+m_al^2/9+m_a(l-l/3)^2=2/3m_al^2]$
$L_2=I_G\omega=2/3m_al^2\omega$
Equazione risolutiva
$[L_1=L_2] rarr [-2/3m_av_0l=2/3m_al^2\omega] rarr [\omega=-v_0/l]$
(Il risultato è negativo perchè il sistema, dopo l'urto, ruota in senso orario)
"matteomatte":
Punto C. ho svolto i calcoli ma ho un risultato diverso:
$E$dissipata$ = K$finale$ - K$iniziale
$K$iniziale$= 1/2 m1 v1^2 + 1/2 m2 v2^2 = 4+2 = 6J$
$K$finale$= 1/2 m1 v1'^2 + 1/2 m2 v2'^2 = 1/2 * 2 * (0.66)^2 + 1/2 *1 * (0.66)^2= 3/2 * (0.66)^2= 0.6534 J$
$E$dissipata$= 0.6534 - 6 = -5.3466 J$ invece di $-4 J$
Cosa sbaglio?
Provando anche ad utilizzare la velocità angolare al posto della velocità del centro di massa mi esce sempre un risultato diverso da -4J
Energia cinetica prima dell'urto
$K_1=1/2m_1v_1^2+1/2m_2v_2^2+1/2m_3v_3^2=1/2m_av_0^2+1/2m_bv_0^2+1/2m_av_0^2=1/2(2m_a+m_b)v_0^2$
$[m_a=m_b] rarr [K_1=3/2m_av_0^2]$
Energia cinetica dopo l'urto
$K_2=1/2(m_1+m_2+m_3)v_G^2+1/2I_G\omega^2=1/2(2m_a+m_b)v_G^2+1/2I_G\omega^2$
$[m_a=m_b] ^^ [I_G=2/3m_al^2] rarr [K_2=3/2m_av_G^2+1/3m_al^2\omega^2]$
Conservazione della quantutà di moto
$v_G=v_0/3$
Conservazione del momento angolare
$\omega=v_0/l$
Formula risolutiva
$K_2-K_1=3/2m_av_G^2+1/3m_al^2\omega^2-3/2m_av_0^2=3/2m_av_0^2/9+1/3m_al^2v_0^2/l^2-3/2m_av_0^2=-m_av_0^2$
Ad ogni modo, prima di affrontare gli esercizi, dovresti studiare un minimo di teoria. Se procedi per tentativi, non impari assolutamente nulla e scoraggi chi potrebbe risponderti.
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