Problema su campo magnetico indotto
Un problemino fisico interessante sul campo magnetico è il seguente.
Problema:
Sia $\Gamma$ un circuito piano[nota]Si può pensare che $\Gamma$ sia una curva semplice chiusa del piano.[/nota], racchiudente un aperto stellato $\Omega$, attraversato da una corrente d'intensità $j$.
Detto $p$ un punto di $\Omega$ rispetto al quale $\Omega$ è stellato, la legge di Biot-Savart consente di esprimere l'intensità $B(p)$ del vettore induzione magnetica \(\mathbf{B}(p)\) nel punto $p$ usando un integrale in coordinate polari.
Provare che, a parità di area racchiusa dal circuito $\Gamma$, il valore di $B$ è minimo quando $\Gamma $ è una circonferenza e $p$ è il suo centro.
Problema:
Sia $\Gamma$ un circuito piano[nota]Si può pensare che $\Gamma$ sia una curva semplice chiusa del piano.[/nota], racchiudente un aperto stellato $\Omega$, attraversato da una corrente d'intensità $j$.
Detto $p$ un punto di $\Omega$ rispetto al quale $\Omega$ è stellato, la legge di Biot-Savart consente di esprimere l'intensità $B(p)$ del vettore induzione magnetica \(\mathbf{B}(p)\) nel punto $p$ usando un integrale in coordinate polari.
Provare che, a parità di area racchiusa dal circuito $\Gamma$, il valore di $B$ è minimo quando $\Gamma $ è una circonferenza e $p$ è il suo centro.
Risposte
Provo a rispondere in modo molto informale, indicando solo qualche idea. Credo che la dimostrazione si regga su questi due fatti:
a) a parità di area racchiusa, la figura piana che ha il perimetro minore è la circonferenza. Dalla legge di Biot-Savart (o meglio, dalla prima legge di Laplace) si deduce che il contributo dato a \(\displaystyle B \) da una porzione di cicuito infinitesima lunga \(\displaystyle dl \) è proporzionale a \(\displaystyle dl \). Ne segue che un circuito più corto genera un campo minore. Questo "dimostra" che la forma di \(\displaystyle \Gamma \) che minimizza \(\displaystyle B \) è la circonferenza.
b) sempre dalla legge di Laplace, si deduce che il contributo dato a \(\displaystyle B \), in un punto \(\displaystyle P \), da una porzione di cicuito infinitesima lunga \(\displaystyle dl \) è inversamente proporzionale al quadrato della distanza di \(\displaystyle dl \) da \(\displaystyle P \). Consideriamo quindi un punto \(\displaystyle P \) interno alla circonferenza, e prendiamo una corda qualsiasi passante per \(\displaystyle P \). Siano \(\displaystyle A \) e \(\displaystyle B \) le intersezioni della corda con la circonferenza. Allora, il contributo dato a \(\displaystyle B \) dai pezzetti di circuito posti in \(\displaystyle A \) e\(\displaystyle B \) è del tipo
\(\displaystyle \propto \frac{1}{\overline{AP}^2}+\frac{1}{\overline{PB}^2}=\frac{1}{\overline{AP}^2}+\frac{1}{(d-\overline{AP}^2)} \)
dove $d$ è la lunghezza della corda. E' facile verificare che tale quantità è minima per \(\displaystyle \overline{AP}=\frac{d}{2} \) e cioè quando $P$ si trova al centro della corda. Ora, l'unico punto che soddisfa tale condizione per tutte le corde passanti per $P$ è proprio il centro della circonferenza. Ne segue (a naso...) che, prendendo $P$ nel centro della circonferenza, quando si va ad integrare su tutta la circonferenza, si ottiene il valore minimo possibile (basta immaginare di considerare tutti i pezzettini del circuito prendendoli a coppie, ciascuna delle quali formata dai pezzetti diametralmente opposti a rispetto a $P$).
Questa è l'idea di fondo. Una dimostrazione rigorosa forse si può fare nell'ambito della teoria del calcolo variazionale...o mi sto complicando la vita?
a) a parità di area racchiusa, la figura piana che ha il perimetro minore è la circonferenza. Dalla legge di Biot-Savart (o meglio, dalla prima legge di Laplace) si deduce che il contributo dato a \(\displaystyle B \) da una porzione di cicuito infinitesima lunga \(\displaystyle dl \) è proporzionale a \(\displaystyle dl \). Ne segue che un circuito più corto genera un campo minore. Questo "dimostra" che la forma di \(\displaystyle \Gamma \) che minimizza \(\displaystyle B \) è la circonferenza.
b) sempre dalla legge di Laplace, si deduce che il contributo dato a \(\displaystyle B \), in un punto \(\displaystyle P \), da una porzione di cicuito infinitesima lunga \(\displaystyle dl \) è inversamente proporzionale al quadrato della distanza di \(\displaystyle dl \) da \(\displaystyle P \). Consideriamo quindi un punto \(\displaystyle P \) interno alla circonferenza, e prendiamo una corda qualsiasi passante per \(\displaystyle P \). Siano \(\displaystyle A \) e \(\displaystyle B \) le intersezioni della corda con la circonferenza. Allora, il contributo dato a \(\displaystyle B \) dai pezzetti di circuito posti in \(\displaystyle A \) e\(\displaystyle B \) è del tipo
\(\displaystyle \propto \frac{1}{\overline{AP}^2}+\frac{1}{\overline{PB}^2}=\frac{1}{\overline{AP}^2}+\frac{1}{(d-\overline{AP}^2)} \)
dove $d$ è la lunghezza della corda. E' facile verificare che tale quantità è minima per \(\displaystyle \overline{AP}=\frac{d}{2} \) e cioè quando $P$ si trova al centro della corda. Ora, l'unico punto che soddisfa tale condizione per tutte le corde passanti per $P$ è proprio il centro della circonferenza. Ne segue (a naso...) che, prendendo $P$ nel centro della circonferenza, quando si va ad integrare su tutta la circonferenza, si ottiene il valore minimo possibile (basta immaginare di considerare tutti i pezzettini del circuito prendendoli a coppie, ciascuna delle quali formata dai pezzetti diametralmente opposti a rispetto a $P$).
Questa è l'idea di fondo. Una dimostrazione rigorosa forse si può fare nell'ambito della teoria del calcolo variazionale...o mi sto complicando la vita?
Mi trovo in accordo con quanto dice Mathbells,
anche se credo si voglia una dimostrazione meno intuitiva,
basata sul fatto che il circuito racchiuda un aperto stellato.
Ci penserò
anche se credo si voglia una dimostrazione meno intuitiva,
basata sul fatto che il circuito racchiuda un aperto stellato.
Ci penserò
"Light_":
anche se credo si voglia una dimostrazione meno intuitiva
lo credo anche io, considerando le "origini matematiche" di gugo82
"Light_":
basata sul fatto che il circuito racchiuda un aperto stellato
Questa ipotesi credo serva solo per evitare forme "esotiche" per \(\displaystyle \Gamma \), tipo circuiti a spirale (o, in generale, circuiti percorrendo i quali il punto $P$ non resterebbe sempre a destra o sempre a sinistra rispetto alla direzione di moto) per i quali alcune porzioni di essi diano un contributo a \(\displaystyle \vec B \) in un verso, mentre altre porzioni diano un contributo nel verso opposto. In tal caso, la cosa si complicherebbe alquanto, poiché l'integrale non potrebbe più essere visto come una "somma a termini positivi", ma sarebbe a termini con segno variabile, e quindi l'intensità risultante di \(\displaystyle \vec B \) dipenderebbe anche da come si distribuiscono "le curve" del circuito.
Anche qui, il tutto è detto molto in maniera informale. Spero di essere riuscito almeno a dare l'idea di quanto voglio dire.
Inizialmente ho pensato che magari era il caso di utilizzare il teorema del rotore ma ,
dato che non ne sono per niente sicuro, ho poi messo il problema in termini più pratici arrivando alle tue stesse conclusioni.
Sarei molto interessato alla formalizzazione del tutto
dato che non ne sono per niente sicuro, ho poi messo il problema in termini più pratici arrivando alle tue stesse conclusioni.
Sarei molto interessato alla formalizzazione del tutto
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