Problema su campo elettromotore indotto?
Quando la spira è parallela al piano $yz$ (per $ vartheta = pi/2$ o $ vartheta = 3/2 pi$), la f.e.m.i. dovrebbe essere nulla in quanto è nullo il flusso del campo magnetico $ B $ generato dal filo attraverso di essa. Con considerazioni analoghe risponderei all'ultima domanda dicendo che la f.e.m.i. è massima quando $ vartheta = 180° $.
Come si determina l'espressione del vettore campo elettromotore indotto nel generico punto della spira?
Risposte
Perchè il flusso è nullo in quelle posizioni? Il campo $ bar(B) $ è diretto come il versore $ bar(u)_theta $ e soltanto nei punti della spira sull'asse di rotazione in quelle posizioni che hai scritto esso risulta tangente al piano della spira, negli altri punti non lo è, per capirlo metti la spira in quella posizione e calcola il campo sul lato della spira a coordinate $ y $ maggiore. non è tangente ma forma un angolo.
Hai ragione...potrebbe essere allora che invece la f.e.m.i. è nulla quando $ vartheta = 0 $ e $vartheta = pi$ essendo il flusso rispettivamente nel suo minimo e massimo in queste posizioni?
Per quanto riguarda le altre due domande non mi viene ancora niente...
Per quanto riguarda le altre due domande non mi viene ancora niente...
Calcolarsi il flusso mi pare complicato quindi usa la forza di Lorentz. Comunque se è nullo il flusso non significa che sia nulla la derivata temporale e quindi la $fem $ indotta, perchè dovrebbe?
Per quanto riguarda la forza elettromotrice, nei due lati piccoli, la forza è sempre ortogonale al filo, quindi il loro contributo è nullo (pur essendoci un campo elettromotore indotto, questo non sposta le cariche perchè è ortogonale al filo), il lato $ h $ fermo non subisce la forza di Lorentz, per cui rimane il contributo del lato $ h $ mobile.
La sua velocità è $ bar(v)=omega l_0 (-sinomega t bar(u)_x+cosomegat bar(u)_y) $
Il campo è $ bar(B)=(mu_0i)/(2pir) (-sin phi bar(u)_x+cos phi bar(u)_y ) $ dove $ phi $ è la posizione angolare vista da un riferimento cilindrico con asse $ z $ sul filo.
Per cui la $ fem $ è nulla quando tali vettori sono paralleli, ovvero per $ theta(t)=0,pi $ se non sbaglio. Per il campo ci devo pensare.
Il campo indotto è $ bar(E)_i=bar(v) xx bar(B)=-bar(u)_z omega s (mu_0 i)/(2pir) sin alpha $
Si tratta di esprire tutte le variabili dipendenti, $ s $ è la distanza di un punto della spira dall'asse di rotazione, $ r $ la distanza dal filo, $ alpha $ l'angolo tra il vettore velocità e il campo, ora $ sin alpha=sin(omega t -phi) $, poi $r=s (sin omega t)/(sin phi) $ e infine $ tan phi=(s sin omega t)/(d_0+s cos omega t ) $
Per trovare un punto della spira nel tempo ti serve $ s $ in un certo istante $ t $, per cui il campo mi pare correttamente dipendere dallo spazio e dal tempo. Non so se è accettabile come soluzione.
Anche perchè la $ fem $ massima risulta difficile da calcolare, l'unico contributo è quello del filo $ h$ che ruota quindi $ fem=bar(E)_i(l_0,t)*(-h bar(u)_z) $ con orientazione tale che la corrente scorra contrariamente a $ z $ quando $ theta=0 $
Per quanto riguarda la forza elettromotrice, nei due lati piccoli, la forza è sempre ortogonale al filo, quindi il loro contributo è nullo (pur essendoci un campo elettromotore indotto, questo non sposta le cariche perchè è ortogonale al filo), il lato $ h $ fermo non subisce la forza di Lorentz, per cui rimane il contributo del lato $ h $ mobile.
La sua velocità è $ bar(v)=omega l_0 (-sinomega t bar(u)_x+cosomegat bar(u)_y) $
Il campo è $ bar(B)=(mu_0i)/(2pir) (-sin phi bar(u)_x+cos phi bar(u)_y ) $ dove $ phi $ è la posizione angolare vista da un riferimento cilindrico con asse $ z $ sul filo.
Per cui la $ fem $ è nulla quando tali vettori sono paralleli, ovvero per $ theta(t)=0,pi $ se non sbaglio. Per il campo ci devo pensare.
Il campo indotto è $ bar(E)_i=bar(v) xx bar(B)=-bar(u)_z omega s (mu_0 i)/(2pir) sin alpha $
Si tratta di esprire tutte le variabili dipendenti, $ s $ è la distanza di un punto della spira dall'asse di rotazione, $ r $ la distanza dal filo, $ alpha $ l'angolo tra il vettore velocità e il campo, ora $ sin alpha=sin(omega t -phi) $, poi $r=s (sin omega t)/(sin phi) $ e infine $ tan phi=(s sin omega t)/(d_0+s cos omega t ) $
Per trovare un punto della spira nel tempo ti serve $ s $ in un certo istante $ t $, per cui il campo mi pare correttamente dipendere dallo spazio e dal tempo. Non so se è accettabile come soluzione.
Anche perchè la $ fem $ massima risulta difficile da calcolare, l'unico contributo è quello del filo $ h$ che ruota quindi $ fem=bar(E)_i(l_0,t)*(-h bar(u)_z) $ con orientazione tale che la corrente scorra contrariamente a $ z $ quando $ theta=0 $
Per trovare il massimo a questo punto si potrebbe fare la derivata dell'ultima espressione che hai trovato (rispetto ad $alpha$) e porla uguale a zero?
"luc.mm":
Calcolarsi il flusso mi pare complicato
Non sono d'accordo, in questo caso, determinata la distanza r del lato attivo della spira da O in funzione di $\theta$
$r=\sqrt(5l_0^2+4l_0^2cos\theta)$
avremo il flusso attraverso la spira
$\Phi(t) =\int_{2l_0}^{r}B(r)hdr=\frac{\mu_0i h}{2\pi}ln\frac{\sqrt(5+4cos\theta(t))}{2}$
e quindi la forza elettromotrice,
$\epsilon= \frac{\mu_0ih}{2\pi} \frac{2 \omega sin(\omega t)}{5+4 cos(\omega t)}$
che chiaramente è indotta solo nel lato che taglia le linee di forza del campo e che porta ad un massimo per la stessa in corrispondenza ad un angolo
$\theta_{max}=cos^-1(-4/5)\approx 2.5 rad$
e nulla come già detto per $\theta=0$ e per $\theta =\pi$ in quanto in questi punti il vettore campo magnetico e il vettore velocità sono paralleli.
Dalla forza elettromotrice indotta, integrale di linea del campo indotto, sarà poi semplice ricavare il campo.
NB Il tutto ovviamente da ricontrollare.
Grazie mille, non riuscivo a vedere la relazione tra i versori.
Di nulla!
Con una spira che ruota intorno ad un suo lato, Lorentz è la prima cosa che viene in mente.
Con una spira che ruota intorno ad un suo lato, Lorentz è la prima cosa che viene in mente.
"RenzoDF":
determinata la distanza r del lato attivo della spira da O in funzione di $\theta$
$r=\sqrt(5l_0^2+4l_0^2cos\theta)$
avremo il flusso attraverso la spira
$\Phi(t) =\int_{2l_0}^{r}B(r)hdr=\frac{\mu_0i h}{2\pi}ln\frac{\sqrt(5+4cos\theta(t))}{2}$
Non riesco a vedere come hai trovato quella $r$...e stesso discorso per gli estremi di integrazione per calcolare il flusso
](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
"Fab527":
... Non riesco a vedere come hai trovato quella $r$...
Semplicemente con Pitagora.
"Fab527":
... e stesso discorso per gli estremi di integrazione per calcolare il flusso
Per il flusso, non ho fatto altro che considerare il tubo di flusso che va a concatenarsi con la spira, tubo che ha per superficie interna il cilindro di raggio $d_0=2l_0$, per superficie esterna quello di raggio $r$ e per altezza $h$.
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