Problema su campo di induzione magnetica e corrente superficiale?
"In un riferimento cartesiano $Oxyz$ posto nel vuoto sono definiti i campi di induzione magnetica uniformi rispettivamente $ vec(B)_1 = 4*10^-2vec(i)+6*10^-2vec(j)+8*10^-2vec(k) $ nel semispazio $ z < 0 $ e $ vec(B)_2 = 3*10^-2vec(i)+4.5*10^-2vec(j)+B_(2z)vec(k) $ nel semispazio $ z >0 $. I valori sono espressi in unità del S.I.. Determinare gli angoli che le linee di forza formano con l'asse $ z $. Determinare il vettore densità di corrente superficiale $ vec(lambda)$ nel piano $xy$; verificare se sul piano agisce una pressione."
Per il semispazio $z<0$ ho calcolato il modulo $|vec(B)_1| = sqrt (B_(1x)^2 + B_(1y)^2 + B_(1z)^2) = 0.09657 $ da cui $ |vec(B)_1|cos(alpha) = B_(1z) $ e quindi $ alpha = 34.06 ° $.
Per l'altro semispazio come si può procedere, non conoscendo la componente $ B_(2z) $?
Per la seconda domanda, avrei pensato di applicare la legge di Ampère, considerando per la circuitazione un rettangolo che sia per metà sopra e per metà sotto al piano $xy$...ma ancora, come faccio ad applicarla se non conosco $B_(2z)$?
Per l'ultima domanda non saprei proprio come procedere.
Per il semispazio $z<0$ ho calcolato il modulo $|vec(B)_1| = sqrt (B_(1x)^2 + B_(1y)^2 + B_(1z)^2) = 0.09657 $ da cui $ |vec(B)_1|cos(alpha) = B_(1z) $ e quindi $ alpha = 34.06 ° $.
Per l'altro semispazio come si può procedere, non conoscendo la componente $ B_(2z) $?
Per la seconda domanda, avrei pensato di applicare la legge di Ampère, considerando per la circuitazione un rettangolo che sia per metà sopra e per metà sotto al piano $xy$...ma ancora, come faccio ad applicarla se non conosco $B_(2z)$?
Per l'ultima domanda non saprei proprio come procedere.
Risposte
Sulla superficie del piano xy (di separazione fra i due semispazi) si dovrà, per Gauss, conservare la componente normale del campo di induzione B mentre, per le componenti parallele al piano, che come potrai notare sono parallele fra loro (4/6=3/4.5), potrai proprio usare Ampere per andare a ricavare la densità di corrente superficiale responsabile di quella discontinuità nella componente tangenziale del campo nei due semispazi.
Ci sono le condizioni di raccordo: il campo magnetico ha componente normale alla superficie continua, quindi $ B_(2z)=B_(1z) $
La componente tangente invece è discontinua e vale $ bar(B)_2-bar(B)_1=mu_0 j_s bar(u)_(12) $ da cui ti ricavi $ j_s $ e la sua direzione è $ bar(u)_t=u_(n12) xx u_12 $ ovvero ortogonale alla discontinuità, $ bar(u)_12 $ è il versore individuato dalla discontinuità, $ bar(u)_(n12)$ è il versore normale alla superficie da sotto a sopra ( $ u_z $ in questo caso).
Per la pressione non sono sicuro, visto che hai campi da entrambi i lati, si tratta di verificare com'è la forza che agisce su un pezzetto di superficie $ dbar(F)=j_s dl ds bar(u)_t xx bar(B)_1+j_s dl ds bar(u)_t xx bar(B)_2 $ normalmente ad esso, (non dovrebbe esserci sollecitazione meccanica se la forza è tangente, cioè se il campo è normale), ma se la forza totale è nulla?
Forse ha senso anche $ p=1/(2 mu_0) [(B_(1t))^2+(B_(2t))^2] $ mi sono capitati solo casi in cui il campo era nullo da una parte e tangente dall'altra, anche a me interessa capire come sviluppare il caso generale.
La componente tangente invece è discontinua e vale $ bar(B)_2-bar(B)_1=mu_0 j_s bar(u)_(12) $ da cui ti ricavi $ j_s $ e la sua direzione è $ bar(u)_t=u_(n12) xx u_12 $ ovvero ortogonale alla discontinuità, $ bar(u)_12 $ è il versore individuato dalla discontinuità, $ bar(u)_(n12)$ è il versore normale alla superficie da sotto a sopra ( $ u_z $ in questo caso).
Per la pressione non sono sicuro, visto che hai campi da entrambi i lati, si tratta di verificare com'è la forza che agisce su un pezzetto di superficie $ dbar(F)=j_s dl ds bar(u)_t xx bar(B)_1+j_s dl ds bar(u)_t xx bar(B)_2 $ normalmente ad esso, (non dovrebbe esserci sollecitazione meccanica se la forza è tangente, cioè se il campo è normale), ma se la forza totale è nulla?
Forse ha senso anche $ p=1/(2 mu_0) [(B_(1t))^2+(B_(2t))^2] $ mi sono capitati solo casi in cui il campo era nullo da una parte e tangente dall'altra, anche a me interessa capire come sviluppare il caso generale.
Grazie per le risposte
questo vale in generale? Intendo il modo per ricavare la direzione della densità di corrente superficiale.
"luc.mm":
e la sua direzione è $ bar(u)_t=u_(n12) xx u_12 $ ovvero ortogonale alla discontinuità, $ bar(u)_12 $ è il versore individuato dalla discontinuità, $ bar(u)_(n12)$ è il versore normale alla superficie da sotto a sopra ( $ u_z $ in questo caso).
questo vale in generale? Intendo il modo per ricavare la direzione della densità di corrente superficiale.
Sì, sul libro che ho dice solamente che la direzione è normale alla discontinuità (grazie tante, però ce ne sono due possibili) e mi sono dovuto ricavare la relazione. Te ne rendi conto se per esempio pensi a un piano con densità di corrente lineare costante, (il campo sopra e sotto vale $ bar(B)=+- (mu_0 js)/2 bar(u)_t xx bar(u)_(n12)$).
Comunque per la pressione le formule non sono corrette.
Ti espongo il ragionamento che farei in analogia a quello fatto per la pressione elettrostatica.
Il campo sopra e sotto è la somma del campo dell'elemento di superficie e del resto del sistema (che è quello che ci serve per calcolare la forza per unità di superficie) per cui:
$ bar(B)_2=bar(B)_0+(mu_0 js)/2 bar(u)_t xx bar(u)_(n12) $
$ bar(B)_1=bar(B)_0-(mu_0 js)/2 bar(u)_t xx bar(u)_(n12) $
Da cui:
$ bar(B)_0=1/2(bar(B)_1+bar(B)_2) $
La forza agente per unità di superficie è $bar(f)=j_s bar(u)_t xx bar(B)_0 $ e la pressione è $ p= bar(f)*bar(u)_(n12) $
Qualcuno può confermare?
Comunque per la pressione le formule non sono corrette.
Ti espongo il ragionamento che farei in analogia a quello fatto per la pressione elettrostatica.
Il campo sopra e sotto è la somma del campo dell'elemento di superficie e del resto del sistema (che è quello che ci serve per calcolare la forza per unità di superficie) per cui:
$ bar(B)_2=bar(B)_0+(mu_0 js)/2 bar(u)_t xx bar(u)_(n12) $
$ bar(B)_1=bar(B)_0-(mu_0 js)/2 bar(u)_t xx bar(u)_(n12) $
Da cui:
$ bar(B)_0=1/2(bar(B)_1+bar(B)_2) $
La forza agente per unità di superficie è $bar(f)=j_s bar(u)_t xx bar(B)_0 $ e la pressione è $ p= bar(f)*bar(u)_(n12) $
Qualcuno può confermare?
Se non ricordo male la pressione alla superficie di separazione fra due mezzi di diversa permeabilità magnetica dipende sia dalla componente normale del campo di induzione magnetica sia dalla componente tangenziale del campo magnetizzante ovvero, da 1 verso 2
$p=\frac{1}{2}B_n^2(\frac{1}{\mu_2}-\frac{1}{\mu_1})+\frac{1}{2} H_t^2(\mu_1 -\mu_2 )$
$p=\frac{1}{2}B_n^2(\frac{1}{\mu_2}-\frac{1}{\mu_1})+\frac{1}{2} H_t^2(\mu_1 -\mu_2 )$
Così come, dualmente, nel caso di campo elettrico e interfaccia fra due dielettrici avremo
$p=\frac{1}{2}D_n^2(\frac{1}{\epsilon_2}-\frac{1}{\epsilon_1})+\frac{1}{2} E_t^2(\epsilon_1 -\epsilon_2 )$
vedi per esempio
https://books.google.it/books?id=knoZBw ... &q&f=false
pag 186.
O meglio ancora a partire da pag. 409 del seguente
https://books.google.it/books?id=6o1CBA ... &q&f=false
$p=\frac{1}{2}D_n^2(\frac{1}{\epsilon_2}-\frac{1}{\epsilon_1})+\frac{1}{2} E_t^2(\epsilon_1 -\epsilon_2 )$
vedi per esempio
https://books.google.it/books?id=knoZBw ... &q&f=false
pag 186.
O meglio ancora a partire da pag. 409 del seguente
https://books.google.it/books?id=6o1CBA ... &q&f=false
Grazie mille!
Buonasera, chiedo scusa ma in questo problema non riesco a capire come individuare la componente tangente per applicare Ampere. Non ne sono due? Grazie
"luc.mm":
La componente tangente invece è discontinua e vale $ bar(B)_2-bar(B)_1=mu_0 j_s bar(u)_(12) $ da cui ti ricavi $ j_s $ e la sua direzione è $ bar(u)_t=u_(n12) xx u_12 $ ovvero ortogonale alla discontinuità, $ bar(u)_12 $ è il versore individuato dalla discontinuità, $ bar(u)_(n12)$ è il versore normale alla superficie da sotto a sopra ( $ u_z $ in questo caso).
A $vec B_2 - vec B_1$ quale componente devo mettere?
Si tratta della differenza dei due campi appena prima e appena dopo la superficie di separazione.
ok ma devo metterci il valore delle due componenti tangenti?
Se i campi magnetici hanno componenti normali uguali, e ciascuno di essi è la somma di una componente normale (ripeto, uguale) e una componente tangente (diversa), la differenza vettoriale dei campi totali, è puramente tangenziale.
Ad esempio $ 3bar(u)_x+2bar(u)_y+bar(u)_z-(2bar(u)_x+3bar(u)_y+bar(u)_z)=bar(u)_x-bar(u)_y $
Ad esempio $ 3bar(u)_x+2bar(u)_y+bar(u)_z-(2bar(u)_x+3bar(u)_y+bar(u)_z)=bar(u)_x-bar(u)_y $
grazie 
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