Problema statico, attrito e segni
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Il problema l'avevo sbagliato per via dei segni. In realtà non sono nemmeno sicuro che le soluzioni siano corrette.
Allora, ciò che si sa è che la forza d'attrito statico è $F_\text{attr} <= \mu_Smgcos\theta$
Io avevo posto $k*x + mgsin\theta <= F_\text{attr_max}$
Ottenendo $x <= mg/k*(\mu_Scos\theta-sin\theta)$ invece della soluzione riportata $x_\text{max} = mg/k*(\mu_Scos\theta+sin\theta)$
Cioè, il caso peggiore (di sollecitamento della resistenza d'attrito) non si ha quando la componente parallela al piano della forza peso e la forza elastica sono concordi?
Grazie,
Risposte
Occorre ragionare diversamente. LA soluzione riportata dal libro è corretta, vediamo perché.
Orienta positivamente l'asse $x$ verso il basso. Ora allontana la massa dalla posizione di equilibrio, tirandola verso il basso, e supponi che la massa rimanga ferma nella posizione in cui l'hai spostata, perciò tu non devi più applicare alcuna forza. Quindi lo spostamento $x$ è positivo, invece la forza elastica dovuta alla molla agisce sulla massa in verso opposto allo spostamento, perciò la sua componente sull'asse è negativa: $ -kx$.
Le altre due forze agenti sulla massa, cioè $mgsin\theta\veci$ e la forza di attrito sono dirette entrambe verso il basso: per la prima è banale, e la forza di attrito contrasta la tendenza al moto della massa verso l'alto.
Perciò se sommi le tre componenti sull'asse delle tre forze, e poni la componente della forza di attrito uguale a $mg\mu_Scos\theta$ (la massima forza di attrito statico che il piano può esercitare sulla massa), ottieni, per l'equilibrio al massimo spostamento:
$ -kx_(max) + mgsin\theta + mg\mu_Scos\theta = 0 $
da cui la soluzione del libro.
Orienta positivamente l'asse $x$ verso il basso. Ora allontana la massa dalla posizione di equilibrio, tirandola verso il basso, e supponi che la massa rimanga ferma nella posizione in cui l'hai spostata, perciò tu non devi più applicare alcuna forza. Quindi lo spostamento $x$ è positivo, invece la forza elastica dovuta alla molla agisce sulla massa in verso opposto allo spostamento, perciò la sua componente sull'asse è negativa: $ -kx$.
Le altre due forze agenti sulla massa, cioè $mgsin\theta\veci$ e la forza di attrito sono dirette entrambe verso il basso: per la prima è banale, e la forza di attrito contrasta la tendenza al moto della massa verso l'alto.
Perciò se sommi le tre componenti sull'asse delle tre forze, e poni la componente della forza di attrito uguale a $mg\mu_Scos\theta$ (la massima forza di attrito statico che il piano può esercitare sulla massa), ottieni, per l'equilibrio al massimo spostamento:
$ -kx_(max) + mgsin\theta + mg\mu_Scos\theta = 0 $
da cui la soluzione del libro.
Quindi bisogna immaginare che all'inizio la molla sia già allungata.
Il fatto è che immaginandomi dinamicamente lo spostamento verso il basso, la forza d'attrito mi risultava fosse verso l'alto. Non mi è ancora chiaro perché ciò non sia vero.
Inoltre, come si fa a dire che la forza elastica è più forte della della forza peso (componente parallela al piano)?
Il fatto è che immaginandomi dinamicamente lo spostamento verso il basso, la forza d'attrito mi risultava fosse verso l'alto. Non mi è ancora chiaro perché ciò non sia vero.
Inoltre, come si fa a dire che la forza elastica è più forte della della forza peso (componente parallela al piano)?
Non devi pensare alla fase transitoria in cui tu sposti la massa verso il basso: è chiaro che in questa fase la forza di attrito si oppone al moto e quindi è diretta verso l'alto.
Devi invece pensare, come ti ho già detto e forse ti è sfuggito, al momento in cui hai finito di spostare la massa in basso, e quindi togli la mano e non eserciti più alcuna forza. La massa rimane in equilibrio, nella posizione in cui tu l'hai spostata, sotto l'azione di tre forze : la forza che esercita la molla, la quale vorrebbe riportare la massa verso l'alto (segno "$-$" ); la componente del peso parallela al piano, diretta in basso (comp. positiva); e la forza di attrito, che si oppone anch'essa alla tendenza al moto verso l'alto dovuta alla molla che tira. Quindi anche la comp. su $x$ della forza di attrito è positiva.
In sostanza, all'azione della molla si oppongono due forze concordi. La massa rimane in equilibrio ( cioè in quiete nella posizione dove l'hai spostata) fin tanto che la somma algebrica delle tre è uguale a zero, per cui ci sarà un valore massimo dello spostamento, $x_(max)$, per il quale la forza di richiamo della molla può essere equilibrata dalle altre due.
È evidente (risposta alla seconda domanda) che essendo la forza elastica di richiamo proporzionale allo spostamento : $-kx$ , maggiore è lo spostamento maggiore sarà tale forza. Se sposti la massa di una quantità superiore a $x_(max)$ la forza elastica supererà in modulo la somma delle altre due, e riuscirà a far risalire la massa.
Se fai il giusto diagramma di corpo libero e consideri le forze parallele al piano, lo vedi subito.
Devi invece pensare, come ti ho già detto e forse ti è sfuggito, al momento in cui hai finito di spostare la massa in basso, e quindi togli la mano e non eserciti più alcuna forza. La massa rimane in equilibrio, nella posizione in cui tu l'hai spostata, sotto l'azione di tre forze : la forza che esercita la molla, la quale vorrebbe riportare la massa verso l'alto (segno "$-$" ); la componente del peso parallela al piano, diretta in basso (comp. positiva); e la forza di attrito, che si oppone anch'essa alla tendenza al moto verso l'alto dovuta alla molla che tira. Quindi anche la comp. su $x$ della forza di attrito è positiva.
In sostanza, all'azione della molla si oppongono due forze concordi. La massa rimane in equilibrio ( cioè in quiete nella posizione dove l'hai spostata) fin tanto che la somma algebrica delle tre è uguale a zero, per cui ci sarà un valore massimo dello spostamento, $x_(max)$, per il quale la forza di richiamo della molla può essere equilibrata dalle altre due.
È evidente (risposta alla seconda domanda) che essendo la forza elastica di richiamo proporzionale allo spostamento : $-kx$ , maggiore è lo spostamento maggiore sarà tale forza. Se sposti la massa di una quantità superiore a $x_(max)$ la forza elastica supererà in modulo la somma delle altre due, e riuscirà a far risalire la massa.
Se fai il giusto diagramma di corpo libero e consideri le forze parallele al piano, lo vedi subito.
Perfetto, tutto chiaro!
Grazie mille
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