PROBLEMA SEMPLICE CORPO RIGIDO
Ciao a tutti ho dei dubbi sulla soluzione di questo problema in particolare sul punto 2.
Una pallina di raggio r è posta sulla sommità di una semisfera di raggio R, quest'ultima è fissata al piano. Ad un certo punto la pallina viene lasciata rotolare. Si vuole calcolare:
1) l'angolo in cui avviene il distacco fra pallina e semisfera
2)la relazione fra la velocità angolare della pallina rispetto al proprio centro di massa e la velocità angolare rispetto al centro della semisfera.
r minore di R
Una pallina di raggio r è posta sulla sommità di una semisfera di raggio R, quest'ultima è fissata al piano. Ad un certo punto la pallina viene lasciata rotolare. Si vuole calcolare:
1) l'angolo in cui avviene il distacco fra pallina e semisfera
2)la relazione fra la velocità angolare della pallina rispetto al proprio centro di massa e la velocità angolare rispetto al centro della semisfera.
r minore di R
Risposte
Così come è scritto non è un problema banale... Si può a mio avviso fare, ma credo tu abbia bisogno di sapere il coefficente di attrito... Infatti se nel caso del corpo puntiforme che striscia senza attrito sulla semisferea determianre l'angolo al distacco è abbastanza banale, qui non lo è affatto, perchè all'inizio si ha rotolamento, poi si passa verso una condizione di puro strisciamento. La forza normale infatti diminuisce fino a tendere a zero, questa infatti è la condizione da imporre al distacco...
In effetti mi devo correggere... Avendo adesso letto più attentamente il testo, mi rendo conto che il problema è risolvibile anche senza la conoscenza del coefficiente d'attrito...
Il punto 2 è il primo punto da risolvere, poi puoi risolvere l'1... Comq prova a dire quali sono i dubbi
fra i due corpi c'è attrito.
in pratica il distacco avviene quando la forza centrifuga eguaglia la componente normale della forza peso
per la relazione fra le due velocità angolari mi rimane il dubbio:
se la velocità angolare rispetto al proprio centro di massa della pallina è omega e la velocità angolare della pallina rispetto al centro della semisfera lo chiamiamo alfa è giusto se considero che la velocità lineare del centro di massa della pallina debba essere la stessa quindi eguagliare [omega*r] e [alfa*(r+R)] quindi ricavare la relazione fra omega e alfa??
in pratica il distacco avviene quando la forza centrifuga eguaglia la componente normale della forza peso
per la relazione fra le due velocità angolari mi rimane il dubbio:
se la velocità angolare rispetto al proprio centro di massa della pallina è omega e la velocità angolare della pallina rispetto al centro della semisfera lo chiamiamo alfa è giusto se considero che la velocità lineare del centro di massa della pallina debba essere la stessa quindi eguagliare [omega*r] e [alfa*(r+R)] quindi ricavare la relazione fra omega e alfa??
r minore di R
Questo cosa significa che r è molto minore di R?
Se è così ti serve per semplificarti la relazione, ovvero la trovi nel modo simile che utilizzi per una pallina che rotola su un piano, altrimenti si fa in un altro modo , ora non mi ci sono messo ma devi considerare anche la rotazione dovuta all'andamento della superficie stessa ... scusami devo andare , il cibo mi chiama.
scusa facendo l'ugauaglianza che dicevo io trovo la relazione generale mica quella semplificata?
Si la relazione che hai trovato è quella generale , quindi va bene
Possiamo passare al primo punto , comq mi pare che tu sappia già com risolverlo .
Possiamo passare al primo punto , comq mi pare che tu sappia già com risolverlo .
"nikko801":
fra i due corpi c'è attrito.
in pratica il distacco avviene quando la forza centrifuga eguaglia la componente normale della forza peso
Beh a dirsi è facile, ma a farsi non lo è così tnato... Infatti se non ci fosse stato strisciamento relativo avremmo potuto utilizzare il principio di conservazione dell'energia meccanica, ma dato che lo striciamento c'è il tutto diventa piu complicato, la strada si allunga notevolemente... quindi conviene passare dalle "vecchie" equazioni cardinali per trovare una relazione del tipo: $\ddot{\theta}=f(\theta)$ e poi integrare eed arrivare a: $\dot{\theta}^2=g(\theta)$ per poi sostituire nella prima equazione trovata per ottenere: $N(\theta)=h(\theta)$. Infine basta imporre la condizione al distacco $N(\theta_d)=0$ e trovare l'angolo. Una volta conosciuto $\theta_d$ puoi a ritroso trovare l'espressione che lega le due velocità...
Dovrebbe essere un rotolamento puro se tra superficie e pallina c'è attrito, anche perchè non viene specificato il coefficiente, quindi la relazione trovata va bene.
Si può applicare il teorema della conservazione dell'energia meccanica...
Si può applicare il teorema della conservazione dell'energia meccanica...
NO, attenzione! Non si può applicare la conservazione dell'energia meccanica... In generale non c'è rotolamento fino al distacco... Si avrebbe rotolamento se:
$F_a/N<=\mu<=1$
Ora siccome la forza di attrito statico necessaria al rotolamento è direttamente proporzionale all'accelerazione, invece la forza normale tende a zero, si ha chge quel rapporto supera facilmente il valore 1, quindi si ha che non ci può essere rotolamento fino al distacco. Si potrebbe comunque sempre utilizzare il principio di conservazione dell'energia, ma considerando anche l'energia dissipata per effetto dell'attrito, ma a quel punto tutto si complicherebbe notevolemente...
$F_a/N<=\mu<=1$
Ora siccome la forza di attrito statico necessaria al rotolamento è direttamente proporzionale all'accelerazione, invece la forza normale tende a zero, si ha chge quel rapporto supera facilmente il valore 1, quindi si ha che non ci può essere rotolamento fino al distacco. Si potrebbe comunque sempre utilizzare il principio di conservazione dell'energia, ma considerando anche l'energia dissipata per effetto dell'attrito, ma a quel punto tutto si complicherebbe notevolemente...
In generale è vero , non è detto che ci sia rotolamento esattamente fino al distacco ... Ci sarà un tratto, forse molto breve, in cui la forza che la superficie esercita sulla pallina non sarà in grado di garantire il rotolamento puro ... A voler essere precisi allora si potrebbe applicare la conservazione dell'energia non fino al distacco ma fino al punto in cui la forza tangenziale che agisce sulla pallina è in grado di dare rotolamento puro ( per fare questo bisogna conoscere il coefficiente di attrito statico), poi si potrebbe applicare il teorema delle foze vive fino al distacco (bisogna conoscere il coefficiente di attrito dinamico).
Il risultato nel caso di superficie sferica non credo che sia molto differente da quello che si ottiene dall'utilizzo della sola conservazione dell'energia fino al punto di distacco , però ci potrebbero essere delle superfici in cui il fenomeno dello strisciamento è rilevante.
Il risultato nel caso di superficie sferica non credo che sia molto differente da quello che si ottiene dall'utilizzo della sola conservazione dell'energia fino al punto di distacco , però ci potrebbero essere delle superfici in cui il fenomeno dello strisciamento è rilevante.
Esatto! era proprio quello che volevo dire! 
In ogni caso fino ad adesso non ho postato la soluzione perchè non avevo tempo, ma appena lo trovo lo faccio...
In ogni caso fino ad adesso non ho postato la soluzione perchè non avevo tempo, ma appena lo trovo lo faccio...
Allora, prendiamo un sistema di versori normali e tangenti alla semicirconferenza, possiamo allora utilizzare una parte delle equazioni che abbiamo a disposizione:
${(mg\cos\theta-N=m\dot{\theta}^2(R+r)),(mg(R+r)\sin\theta-F_aR=I_1\ddot{\theta}),(mg\sin\theta-F_a=m\ddot{\theta}(R+r)):}
Ricavando $F_a$ dall'ultima e sostituendo poi nella seconda:
$F_a=mg\sin\theta-m\ddot{\theta}(R+r)=>mg(R+r)\sin\theta-mgR\sin\theta+m\ddot{\theta}(R+r)R=I_1\ddot{\theta}=>\ddot{\theta}={mgr\sin\theta}/{I_1-m(R+r)R}$
Per il teorema di Steiner il momento d'inerzia della sfera rispetto al centro della semisfera è uguale al momento d'inerzia della sfera rispetto al suo cdm più la sua massa moltiplicata per la distanza di esso dal centro della semisfera al quadrato. In simboli:
$I_1=I_0+m(R+r)^2$
Quindi si ha:
$\ddot{\theta}={mgr\sin\theta}/{I_0+mRr+mr^2}={mg\sin\theta}/{7/5mr+mR}=mg/k\sin\theta$ dove $k=7/5r+R$
Integrando opportunamente:
$\int_0^{\dot{\theta}}\dot{\theta}d\dot{\theta}=g/k\int_0^{\theta}\sin\thetad\theta=>\dot{\theta}^2=2g/k(1-\cos\theta)$
Sostituendo adesso nella prima equazione:
$N(\theta)=mg(\cos\theta-2(R+r)/k(1-\cos\theta))=mg((1+2(R+r)/k)\cos\theta-2(R+r)/k)$
Imponendo la condizione al distacco $N(\theta_0)=0$ ed essendo $0<\theta<\pi/2$:
$mg((1+2(R+r)/k)\cos\theta-2(R+r)/k)=0=>\theta_0=\text{arccos}({2(R+r)/k}/{1+2(R+r)/k})$
${(mg\cos\theta-N=m\dot{\theta}^2(R+r)),(mg(R+r)\sin\theta-F_aR=I_1\ddot{\theta}),(mg\sin\theta-F_a=m\ddot{\theta}(R+r)):}
Ricavando $F_a$ dall'ultima e sostituendo poi nella seconda:
$F_a=mg\sin\theta-m\ddot{\theta}(R+r)=>mg(R+r)\sin\theta-mgR\sin\theta+m\ddot{\theta}(R+r)R=I_1\ddot{\theta}=>\ddot{\theta}={mgr\sin\theta}/{I_1-m(R+r)R}$
Per il teorema di Steiner il momento d'inerzia della sfera rispetto al centro della semisfera è uguale al momento d'inerzia della sfera rispetto al suo cdm più la sua massa moltiplicata per la distanza di esso dal centro della semisfera al quadrato. In simboli:
$I_1=I_0+m(R+r)^2$
Quindi si ha:
$\ddot{\theta}={mgr\sin\theta}/{I_0+mRr+mr^2}={mg\sin\theta}/{7/5mr+mR}=mg/k\sin\theta$ dove $k=7/5r+R$
Integrando opportunamente:
$\int_0^{\dot{\theta}}\dot{\theta}d\dot{\theta}=g/k\int_0^{\theta}\sin\thetad\theta=>\dot{\theta}^2=2g/k(1-\cos\theta)$
Sostituendo adesso nella prima equazione:
$N(\theta)=mg(\cos\theta-2(R+r)/k(1-\cos\theta))=mg((1+2(R+r)/k)\cos\theta-2(R+r)/k)$
Imponendo la condizione al distacco $N(\theta_0)=0$ ed essendo $0<\theta<\pi/2$:
$mg((1+2(R+r)/k)\cos\theta-2(R+r)/k)=0=>\theta_0=\text{arccos}({2(R+r)/k}/{1+2(R+r)/k})$
"cavallipurosangue":
$\ddot{\theta}={mgr\sin\theta}/{I_0+mRr+mr^2}={mg\sin\theta}/{7/5mr+mR}=mg/k\sin\theta$ dove $k=7/5mr+mR$
Qui si semplifica la massa, altrimenti alla fine non torna dimensionalmente.
"cavallipurosangue":
Integrando opportunamente:
$\int_0^{\dot{\theta}}\dot{\theta}d\dot{\theta}=g/k\int_0^{\theta}\sin\thetad\theta=>\dot{\theta}^2=2g/k(1-\cos\theta)$
Potresti spiegarmi come hai ottenuto questa identità?
Per quanto riguarda la prima obiezione credo sia stato un banale errore di scrittura... Ci può stare con tutti quei calcoli...
Per la seconda:
$\ddot{\theta}=f(\theta)=>{d\dot{theta}}/dt=f(\theta)={d\dot{\theta}}/{d\theta}{d\theta}/{dt}=\dot{\theta}{d\dot{\theta}}/{d\theta}=>\dot{\theta}d\dot{\theta}=f(\theta)d\theta$
Per la seconda:
$\ddot{\theta}=f(\theta)=>{d\dot{theta}}/dt=f(\theta)={d\dot{\theta}}/{d\theta}{d\theta}/{dt}=\dot{\theta}{d\dot{\theta}}/{d\theta}=>\dot{\theta}d\dot{\theta}=f(\theta)d\theta$
"pepy86":
Per quanto riguarda la prima obiezione credo sia stato un banale errore di scrittura... Ci può stare con tutti quei calcoli...
Cavallipurosangue è decisamente bravo, si tratta senza dubbio di un errore di scrittura.
"pepy86":
Per la seconda:
$\ddot{\theta}=f(\theta)=>{d\dot{theta}}/dt=f(\theta)={d\dot{\theta}}/{d\theta}{d\theta}/{dt}=\dot{\theta}{d\dot{\theta}}/{d\theta}=>\dot{\theta}d\dot{\theta}=f(\theta)d\theta$
Capito, grazie per la risposta.
Beh si in effetti ho fatto copia incolla con la formua precedente e non ho tolto la massa... 
Cmq adesso edito.
Poi si è esattamente quello il ragionamento che ho usato per ricavare quella formula...
Cmq adesso edito. Poi si è esattamente quello il ragionamento che ho usato per ricavare quella formula...
Nel problema io ho considerato puro rotolamento fino al momento del distacco. Non si poteva dunque risolvere in modo più semplice?
$m*alpha^2 (r+R)=m*g*cos (theta max)$
$v=omega*r$
$v=alpha(R+r)$
$omega=alpha (R+r)/r$
$cos (theta max)=alpha^2 (r+R)/g$
dalla conservazione dell'energia meccanica:
$m*g(r+R)=m*g*(r+R)*cos (theta max)+1/2*m*alpha^2*(r+R)^2+2/5*m*r^2*alpha^2*[(R+r)/r]^2$
da questo sistema si ricava $alpha$ e si sostituisce sopra
$m*alpha^2 (r+R)=m*g*cos (theta max)$
$v=omega*r$
$v=alpha(R+r)$
$omega=alpha (R+r)/r$
$cos (theta max)=alpha^2 (r+R)/g$
dalla conservazione dell'energia meccanica:
$m*g(r+R)=m*g*(r+R)*cos (theta max)+1/2*m*alpha^2*(r+R)^2+2/5*m*r^2*alpha^2*[(R+r)/r]^2$
da questo sistema si ricava $alpha$ e si sostituisce sopra
Devo dire che la tua soluzione non mi convince affatto... e poi a dire il vero, per i motivi sopra elencati non credo che l'energia meccanica si conservi.
se c'è rotolamento senza strisciamento fino al distacco si dovrebbe conservare l'energia meccanica
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