Problema segno esercizio
Salve, ho quest'esercizio.
Una palla da biliardo di raggio $R$ è lanciata in modo traslatorio con velocità lineare orizzontale (diretta verso destra) $v$ su un tavolo. Si determini la velocità angolare posseduta dalla palla quando il moto, per effetto dell'attrito radente, diviene di puro rotolamento.
Innanzitutto volevo sapere se quello che dico è corretto.
Nell'istante immediatamente successivo al lancio della palla, il suo moto diventerà di strisciamento-rotolamento, con la parte rotazionale che prevale al trascorrere del tempo sempre più su quella traslazionale, che diminuisce; nel momento in cui la forza di attrito radente $F$ ha fatto si che la velocità del punto di contatto della ruota con il piano è diventata nulla, essa scompare e il moto rimane rettilineo uniforme. E' giusto?
Quello che non mi torna in quest'esercizio è il segno della seconda equazione cardinale:
la prima infatti è $ma_c=-F$, mentre per la seconda io ho scritto $((dw)/(dt))I_c=-rF$, mentre il libro non mette quel segno meno. Come mai? Grazie mille.
Una palla da biliardo di raggio $R$ è lanciata in modo traslatorio con velocità lineare orizzontale (diretta verso destra) $v$ su un tavolo. Si determini la velocità angolare posseduta dalla palla quando il moto, per effetto dell'attrito radente, diviene di puro rotolamento.
Innanzitutto volevo sapere se quello che dico è corretto.
Nell'istante immediatamente successivo al lancio della palla, il suo moto diventerà di strisciamento-rotolamento, con la parte rotazionale che prevale al trascorrere del tempo sempre più su quella traslazionale, che diminuisce; nel momento in cui la forza di attrito radente $F$ ha fatto si che la velocità del punto di contatto della ruota con il piano è diventata nulla, essa scompare e il moto rimane rettilineo uniforme. E' giusto?
Quello che non mi torna in quest'esercizio è il segno della seconda equazione cardinale:
la prima infatti è $ma_c=-F$, mentre per la seconda io ho scritto $((dw)/(dt))I_c=-rF$, mentre il libro non mette quel segno meno. Come mai? Grazie mille.
Risposte
Ma che significa $(dw/dw)$ ?
"Falco5x":
Ma che significa $(dw/dw)$ ?
Ho corretto grazie. Per la fretta non ho riletto quello che avevo scritto. Si tratta della derivata rispetto al tempo della velocità angolare.
L'unica forza esterna che agisce è la forza di attrito, che è orientata verso sinistra. Quindi, il suo momento rispetto al baricentro è un vettore entrante nel foglio giusto? Dunque, considerando una terna orientata in maniera standard la sua proiezione è negativa.
Per come hai scelto i versi positivi della velocità traslazionale (verso destra) e del momento (uscente dal foglio, e quindi per coerenza considerando positiva la omega antioraria), devi anche imporre che il puro rotolamento avviene quando $v=-\omegar$. Se invece poni la condizione di rotolamento da raggiungere come $v=\omegar$, allora devi considerare positiva la omega in senso orario, e quindi positivo il momento entrante nel foglio.
"Falco5x":
Per come hai scelto i versi positivi della velocità traslazionale (verso destra) e del momento (uscente dal foglio, e quindi per coerenza considerando positiva la omega antioraria), devi anche imporre che il puro rotolamento avviene quando $v=-\omegar$. Se invece poni la condizione di rotolamento da raggiungere come $v=\omegar$, allora devi considerare positiva la omega in senso orario, e quindi positivo il momento entrante nel foglio.
Ciao, si, ragionando mi ero accorto di questo particolare.
Allora, dette $vec P$, $vec R_n$, $vec F_a$ rispettivamente la forza peso agente sul baricentro, la reazione normale e la forza di attrito, le due equazioni cardinali della meccanica si scrivono:
1) $vec P+vec R_n+vec F_a=m*vec a_c$;
2) $vec R x vec F_a=(d vec B_c/dt)$.
Proiettando queste due equazioni abbiamo:
1) $-F_a=M*a_c$, con $F_a>0$;
2) $-F_a*R=I_c*w$, con $F_a*R>0$.
Da queste due equazioni si evince che l'accelerazione $a_c$ del centro di massa è una quantità negativa, e che $w$ è una quantità negativa.
Integrando la prima equazione, si ricava che $v_c(t)=-(F_a/M)t+v$, dove $v$ è la velocità iniziale del centro di massa.
Ora, quando vado ad imporre a quest'ultima equazione la condizione di puro rotolamento, essendo $v_c(t)$ una quantità positiva per $t in [0,b]$, devo scrivere che $v_c=-w*t$ e non $v_c=wt$, in quanto l'ultima equazione non è vera essendo $v_c>0$ e $w<0$ giusto?
Alla fine si ricava che la velocità angolare $w$ richiesta dall'esercizio è di $-10 rad/s$, coerentemente con quanto detto finora. E' corretto? Grazie mille
up!
UP!
"lisdap":
Ora, quando vado ad imporre a quest'ultima equazione la condizione di puro rotolamento...
Ti è già stato detto. Considerando $[F_a>0]$:
in questo caso: $\{(mddotx=-F_a),(Iddottheta=F_ar):} rarr \{(dotx=-F_a/mt+v),(dottheta=(F_ar)/It):}$ con la condizione di puro rotolamento data da $[dotx=rdottheta]$.
Quindi: $[-F_a/mt+v=(F_ar^2)/It] rarr [t=(mI)/(F_a(I+mr^2))v] rarr [dottheta=(mr)/(I+mr^2)v]$.
In quest'altro caso: $\{(mddotx=-F_a),(Iddottheta=-F_ar):} rarr \{(dotx=-F_a/mt+v),(dottheta=-(F_ar)/It):}$ con la condizione di puro rotolamento data da $[dotx=-rdottheta]$.
Quindi: $[-F_a/mt+v=(F_ar^2)/It] rarr [t=(mI)/(F_a(I+mr^2))v] rarr [dottheta=-(mr)/(I+mr^2)v]$. Ovviamente, mentre l'istante in cui la condizione si verifica non dipende dal sistema di riferimento, lo stesso non si può dire del segno della velocità angolare.
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