Problema rotolamento puro

[pippo931]

Su un piano é appoggiato un disco rigido perfettamente circolare di raggio $r$ e di massa $m$. Il disco si muove di rotolamento puro con $x_c$ punto di contatto e sia $I = 1/2 mr^2$ il suo momento d’inerzia rispetto al baricentro. Nel suo centro é attaccata una molla di costante $k$ perfettamente parallela al piano e a riposo nel punto $x = 0$. Al centro del cilindro viene applicata una forza $F$ diretta verso le $x$ positive e con angolo $\beta$ rispetto all’orizzontale. Si chiede:

I primi due punti non mi convincono:
1 La posizione di equilibrio $x_e$:
La componente lungo x della forza totale è $-kx+Fcos \beta-F_s$ dove $F_s$ è la forza di attrito statico. $r\timesF_s =rF_s=Id\omega/dt=Ia/r=1/2 ma$, dove $\omega$ è la velocità angolare del cilindro e $a$ l'accelerazione. Ora, se il corpo in equilibrio dovrebbe essere $a=0$ e quindi $F_s=0$ da cui $x_e=\frac{Fcos\beta}{k}$.
2. La componente tangente della reazione vincolare $R$, in $x=x_e$ all'equilibrio;
Se ho capito bene $R$ dovrebbe essere proprio la forza di attrito generata nel punto di contatto, quindi $R=0$?

3. Assumendo che a $t=0$ il disco sia fermo in $x=0$ si scriva l'equazione di moto x(t) del sistema nel caso in cui il disco si muova sul piano senza poter rotolare (scivolando senza attrito).

L'equazione differenziale del moto è $mx''=-kx+Fcos\beta$. Non riesco a risolverla perchè non ho ancora fatto le equazioni differenziali. sul libro di fisica è presente la soluzione di $mx''=-kx$, ma come si fa quando viene sommata una costante?

Grazie

[robbstark1]

Sui primi due punti mi trovi d'accordo. Anche sull'equazione differenziale.

Per risolverla ti posso dire che l'effetto di una forza costante su un sistema massa-molla è quello di spostare la posizione d'equilibrio, ovvero il centro d'oscillazione, di una quantità tale che la forza elastica bilanci quella della forza aggiuntiva, cioè nel nostro caso:
[tex]-k x_0 + F \cos{ \beta } = 0[/tex]
[tex]x_0 = \frac{F \cos{ \beta}}{k}[/tex]
Quindi la soluzione sarà un'oscillazione attorno a $x_0$, tra $0$ (perchè parte da fermo lì) e $2 x_0$, quindi di ampiezza $x_0$:
[tex]x(t) = - x_0 \cos{ \left ( \sqrt{ \frac{k}{m} } t \right )} + x_0[/tex]
dove $x_0$ è quello calcolato sopra.

Alternativamente non è nemmeno difficilissima da risolvere pur senza avere studiato le equazioni differenziali, a patto di conoscere le derivate e la soluzione dell'equazione senza la costante.
Si può infatti riscrivere l'equazione come:
[tex]x'' = - \frac{k}{m} \left ( x - \frac{ F \cos{ \beta}}{k} \right )[/tex]
Introduciamo la sostituzione:
[tex]y = x - \frac{ F \cos{ \beta}}{k}[/tex]
Risulta chiaramente:
[tex]y'' = x''[/tex]
Quindi:
[tex]y'' = - \frac{k}{m} y[/tex]
o se preferisci:
[tex]my'' = -k y[/tex]
di cui il libro ti dà la soluzione.
A questo punto ricorda come hai definito $y$, per ritrovare la $x$.