[Problema risolto] Dinamica dei sist. di p. materiali-Spieg.
Ciao a tutti, sono nuovo 
dopo parecchi mesi che lurkavo per vedere le soluzioni (e devo dire, molte risposte lette qui mi hanno tolto molti dubbi) per mancanza di tempo (martedì ho l'esame) non posso stare a spulciarmi tutto il forum o tutta internet, quindi chiedo a voi
Studio informatica all'università di Verona (a proposito, ho visto tantissima gente proprio di verona disperata a scrivere qui
)
Passando al problema: qui c'è problema con relativa soluzione, fatto dal professore.
Ora, premetto che non ho capito benissimo il discorso dei sistemi di punti materiali, soprattutto per quel che riguarda il discorso del momento angolare relativo al sistema, al centro di massa e interno.
A prescindere da questo, vorrei passare ai dubbi propri per il quale ho aperto questo thread. Alcuni sono semplicemente delle spiegazioni per capire se ho capito (:)), altre proprio non ho idea. Cominciamo:
I punti a,b,c,d sono banali, ma vorrei comunque chiedere: se io applico l'impulso a una delle due estremità, la velocità del sistema è equivalente come se l'avessi applicata al centro di massa? E se sì (dall'esercizio sembra così), mi spieghereste gentilmente il perchè, che non l'ho capito?
Punto e: Si applica la definizione di momento della quantità di moto: conosciamo la velocità (punto c) conosciamo la massa totale, conosciamo il raggio del centro di massa, si fa il prodotto vettoriale tra il raggio e la velocità, [tex]r_{CM}\wedge (M+m)v_{CM}[/tex]. Per il valore numerico, se non vado errato è il prodotto del modulo dei due vettori per il seno dell'angolo tra loro contenuto, corretto?
Punto f: Ecco, qui ho capito il discorso del prodotto vettoriale (la variazione del momento angolare del sistema è uguale al momento della forza applicato nel punto), però non ho capito bene come ha trovato il risultato numerico. Fermo restando che la formula sia giusta [tex]a\times b=|a||b|\sin \theta_{0}[/tex], il mio professore ha usato il coseno.
Ora, altra domanda: il prodotto vettoriale è uguale anche se i punti di origine dei due vettori non coincidono? Se supponiamo di si, allora la fomula corretta sarebbe stata [tex]L J_{0} \sin (\pi - (\frac{\pi}{2}-\theta_{0}))[/tex], o sbaglio?
Punto g: la prima formula è banale, ma qualcuno mi può spiegare la seconda? Non ho la minima idea di quel che viene fuori e perchè
Punto h: per calcolare il momento d'inerzia, dobbiamo capire intorno a cosa gira. Supponendo che giri intorno al centro di massa, si ha che il momento d'inerzia (poichè è discreto, calcolato come [tex]\sum_{i}m_{i}(x_{i}^2+y_{i}^2)[/tex]) vale:
[tex]r_{CM}=\frac{mL}{M+m}[/tex]
[tex]I_{CM,z}=M(r_{CM}-0)^2+m(r_{CM}-L)^2[/tex]
cioè si va a valutare la distanza dal centro di massa e la si moltiplica per la rispettiva massa. Sviluppando,
[tex]I_{CM,z}=M(\frac{mL}{M+m})^2+m(\frac{mL}{M+m}-L)^2=M(\frac{mL}{M+m})^2+m(\frac{mL-L(M+m)}{M+m})^2=M(\frac{mL}{M+m})^2+m(\frac{-LM)}{M+m})^2=\frac{Mm^2L^2}{(M+m)^2}+\frac{mM^2L^2}{(M+m)^2}=\frac{mM(m+M)}{(m+M)^2})L^2=\frac{mM}{m+M})L^2[/tex]
Sapendo che [tex]L_{CM}(t)=I_{CM,z}\omega(t)[/tex], basta sostituire (numericamente) per avere la soluzione.
Se qualcuno mi spiegasse la soluzione che mi da il profe ([tex]\frac{J_{0}\cos\theta}{Lm}[/tex]), io non la capisco.
Punto i: L'energia cinetica interna. Poichè è la somma dell'energia cinetica di ogni singolo punto (calcolata rispetto al centro di massa, perchè è l'energià interna, e si ha solo moto rotazionale), si ha [tex]E_{k}^{INT}=\sum \frac{1}{2}I_{z}\omega(t)^2[/tex], quindi è un semplice calcolo numerico
Punto j: La tensione T dell'asta. L'unica forza all'interno del sistema è quella centripeta, quindi la tensione è la forza centripeta:
[tex]T=F_{N,M}=F_{N,m}=M(r_{CM}-0)\omega^2=m(r_{CM}-L)\omega^2=M(\frac{mL}{M+m})\omega^2=\frac{MmL}{M+m}\omega^2[/tex]
Vi sarei davvero molto grato se mi aiutaste, non so più dove sbattere la testa.
Grazie in anticipo per gli aiuti, chiedo scusa se non ho rispettato qualche regola, nel caso correggo il prima possibile
Scusate se qualche frase ha un italiano che lascia a desiderare, spero che il senso generale del discorso si capisca
dopo parecchi mesi che lurkavo per vedere le soluzioni (e devo dire, molte risposte lette qui mi hanno tolto molti dubbi) per mancanza di tempo (martedì ho l'esame) non posso stare a spulciarmi tutto il forum o tutta internet, quindi chiedo a voi
Studio informatica all'università di Verona (a proposito, ho visto tantissima gente proprio di verona disperata a scrivere qui
)Passando al problema: qui c'è problema con relativa soluzione, fatto dal professore.
Ora, premetto che non ho capito benissimo il discorso dei sistemi di punti materiali, soprattutto per quel che riguarda il discorso del momento angolare relativo al sistema, al centro di massa e interno.
A prescindere da questo, vorrei passare ai dubbi propri per il quale ho aperto questo thread. Alcuni sono semplicemente delle spiegazioni per capire se ho capito (:)), altre proprio non ho idea. Cominciamo:
I punti a,b,c,d sono banali, ma vorrei comunque chiedere: se io applico l'impulso a una delle due estremità, la velocità del sistema è equivalente come se l'avessi applicata al centro di massa? E se sì (dall'esercizio sembra così), mi spieghereste gentilmente il perchè, che non l'ho capito?
Punto e: Si applica la definizione di momento della quantità di moto: conosciamo la velocità (punto c) conosciamo la massa totale, conosciamo il raggio del centro di massa, si fa il prodotto vettoriale tra il raggio e la velocità, [tex]r_{CM}\wedge (M+m)v_{CM}[/tex]. Per il valore numerico, se non vado errato è il prodotto del modulo dei due vettori per il seno dell'angolo tra loro contenuto, corretto?
Punto f: Ecco, qui ho capito il discorso del prodotto vettoriale (la variazione del momento angolare del sistema è uguale al momento della forza applicato nel punto), però non ho capito bene come ha trovato il risultato numerico. Fermo restando che la formula sia giusta [tex]a\times b=|a||b|\sin \theta_{0}[/tex], il mio professore ha usato il coseno.
Ora, altra domanda: il prodotto vettoriale è uguale anche se i punti di origine dei due vettori non coincidono? Se supponiamo di si, allora la fomula corretta sarebbe stata [tex]L J_{0} \sin (\pi - (\frac{\pi}{2}-\theta_{0}))[/tex], o sbaglio?
Punto g: la prima formula è banale, ma qualcuno mi può spiegare la seconda? Non ho la minima idea di quel che viene fuori e perchè
Punto h: per calcolare il momento d'inerzia, dobbiamo capire intorno a cosa gira. Supponendo che giri intorno al centro di massa, si ha che il momento d'inerzia (poichè è discreto, calcolato come [tex]\sum_{i}m_{i}(x_{i}^2+y_{i}^2)[/tex]) vale:
[tex]r_{CM}=\frac{mL}{M+m}[/tex]
[tex]I_{CM,z}=M(r_{CM}-0)^2+m(r_{CM}-L)^2[/tex]
cioè si va a valutare la distanza dal centro di massa e la si moltiplica per la rispettiva massa. Sviluppando,
[tex]I_{CM,z}=M(\frac{mL}{M+m})^2+m(\frac{mL}{M+m}-L)^2=M(\frac{mL}{M+m})^2+m(\frac{mL-L(M+m)}{M+m})^2=M(\frac{mL}{M+m})^2+m(\frac{-LM)}{M+m})^2=\frac{Mm^2L^2}{(M+m)^2}+\frac{mM^2L^2}{(M+m)^2}=\frac{mM(m+M)}{(m+M)^2})L^2=\frac{mM}{m+M})L^2[/tex]
Sapendo che [tex]L_{CM}(t)=I_{CM,z}\omega(t)[/tex], basta sostituire (numericamente) per avere la soluzione.
Se qualcuno mi spiegasse la soluzione che mi da il profe ([tex]\frac{J_{0}\cos\theta}{Lm}[/tex]), io non la capisco.
Punto i: L'energia cinetica interna. Poichè è la somma dell'energia cinetica di ogni singolo punto (calcolata rispetto al centro di massa, perchè è l'energià interna, e si ha solo moto rotazionale), si ha [tex]E_{k}^{INT}=\sum \frac{1}{2}I_{z}\omega(t)^2[/tex], quindi è un semplice calcolo numerico
Punto j: La tensione T dell'asta. L'unica forza all'interno del sistema è quella centripeta, quindi la tensione è la forza centripeta:
[tex]T=F_{N,M}=F_{N,m}=M(r_{CM}-0)\omega^2=m(r_{CM}-L)\omega^2=M(\frac{mL}{M+m})\omega^2=\frac{MmL}{M+m}\omega^2[/tex]
Vi sarei davvero molto grato se mi aiutaste, non so più dove sbattere la testa.
Grazie in anticipo per gli aiuti, chiedo scusa se non ho rispettato qualche regola, nel caso correggo il prima possibile
Scusate se qualche frase ha un italiano che lascia a desiderare, spero che il senso generale del discorso si capisca
Risposte
ragazzi vi prego, sono veramente in tilt 
nessuna anima pia che mi aiuti?
nessuna anima pia che mi aiuti?
"alde90":
I punti a,b,c,d sono banali, ma vorrei comunque chiedere: se io applico l'impulso a una delle due estremità, la velocità del sistema è equivalente come se l'avessi applicata al centro di massa? E se sì (dall'esercizio sembra così), mi spieghereste gentilmente il perchè, che non l'ho capito?
Deriva dalla definizione di impulso.
$J = m * v_(cm)$
nel tuo caso:
$J = (m+M) * v_(cm)$
"alde90":
Punto e: Si applica la definizione di momento della quantità di moto: conosciamo la velocità (punto c) conosciamo la massa totale, conosciamo il raggio del centro di massa, si fa il prodotto vettoriale tra il raggio e la velocità, [tex]r_{CM}\wedge (M+m)v_{CM}[/tex]. Per il valore numerico, se non vado errato è il prodotto del modulo dei due vettori per il seno dell'angolo tra loro contenuto, corretto?
Esatto
"alde90":
Punto f: Ecco, qui ho capito il discorso del prodotto vettoriale (la variazione del momento angolare del sistema è uguale al momento della forza applicato nel punto), però non ho capito bene come ha trovato il risultato numerico. Fermo restando che la formula sia giusta [tex]a\times b=|a||b|\sin \theta_{0}[/tex], il mio professore ha usato il coseno.
Ora, altra domanda: il prodotto vettoriale è uguale anche se i punti di origine dei due vettori non coincidono? Se supponiamo di si, allora la fomula corretta sarebbe stata [tex]L J_{0} \sin (\pi - (\frac{\pi}{2}-\theta_{0}))[/tex], o sbaglio?
Sbagli. Lo sai perchè il tuo prof ha usato il coseno? Certo, poteva scegliere lettere diverse per il momento angolare e la lunghezza.
Come hai detto correttamente, è presente un prodotto vettoriale.
Tu devi moltiplicare l'impulso $J_0$ al lato perpendicolare a cui è applicato l'impulso. Questo lato perpendicolare lo ottieni (guardando la figura) moltiplicando la lunghezza per il coseno dell'angolo. Se moltiplicavi per il seno, il momento era nullo in quanto braccio e forza sono paralleli.
"alde90":
Punto g: la prima formula è banale, ma qualcuno mi può spiegare la seconda? Non ho la minima idea di quel che viene fuori e perchè
La seconda formula la ottieni calcolando il centro di massa. Lo sai calcolare il centro di massa di un sistema?
Basta porre l'origine del sistema di riferimento in una delle masse e poi applicare la definizione di centro di massa.
"alde90":
Punto h: per calcolare il momento d'inerzia, dobbiamo capire intorno a cosa gira. Supponendo che giri intorno al centro di massa, si ha che il momento d'inerzia (poichè è discreto, calcolato come [tex]\sum_{i}m_{i}(x_{i}^2+y_{i}^2)[/tex]) vale:
[tex]r_{CM}=\frac{mL}{M+m}[/tex]
[tex]I_{CM,z}=M(r_{CM}-0)^2+m(r_{CM}-L)^2[/tex]
cioè si va a valutare la distanza dal centro di massa e la si moltiplica per la rispettiva massa. Sviluppando,
[tex]I_{CM,z}=M(\frac{mL}{M+m})^2+m(\frac{mL}{M+m}-L)^2=M(\frac{mL}{M+m})^2+m(\frac{mL-L(M+m)}{M+m})^2=M(\frac{mL}{M+m})^2+m(\frac{-LM)}{M+m})^2=\frac{Mm^2L^2}{(M+m)^2}+\frac{mM^2L^2}{(M+m)^2}=\frac{mM(m+M)}{(m+M)^2})L^2=\frac{mM}{m+M})L^2[/tex]
Sapendo che [tex]L_{CM}(t)=I_{CM,z}\omega(t)[/tex], basta sostituire (numericamente) per avere la soluzione.
Se qualcuno mi spiegasse la soluzione che mi da il profe ([tex]\frac{J_{0}\cos\theta}{Lm}[/tex]), io non la capisco.
Dal punto g) ricavi che il momento angolare è:
$L =(ML/(M+m)) * J_0$
ma $L = I*omega$
nel punto i) si evince che $I= ((m*M) /[(M+m))*L^2$
$omega = L/I = [J_0 * cos(theta)]/(L*m)$
"alde90":
Punto i: L'energia cinetica interna. Poichè è la somma dell'energia cinetica di ogni singolo punto (calcolata rispetto al centro di massa, perchè è l'energià interna, e si ha solo moto rotazionale), si ha [tex]E_{k}^{INT}=\sum \frac{1}{2}I_{z}\omega(t)^2[/tex], quindi è un semplice calcolo numerico
Punto j: La tensione T dell'asta. L'unica forza all'interno del sistema è quella centripeta, quindi la tensione è la forza centripeta:
[tex]T=F_{N,M}=F_{N,m}=M(r_{CM}-0)\omega^2=m(r_{CM}-L)\omega^2=M(\frac{mL}{M+m})\omega^2=\frac{MmL}{M+m}\omega^2[/tex]
Vedo che non hai dubbi.
"qwerty90":
[quote="alde90"]
I punti a,b,c,d sono banali, ma vorrei comunque chiedere: se io applico l'impulso a una delle due estremità, la velocità del sistema è equivalente come se l'avessi applicata al centro di massa? E se sì (dall'esercizio sembra così), mi spieghereste gentilmente il perchè, che non l'ho capito?
Deriva dalla definizione di impulso.
$J = m * v_(cm)$
nel tuo caso:
$J = (m+M) * v_(cm)$
[/quote]
Ok, quello che mi sembrava leggermente strano è che se io applico un'energia (perchè alla fine di questo si tratta, all'incirca), si trasforma in velocità (ok, è scorretto, ma è per spiegare meglio il mio concetto). Quello che mi chiedevo era se il fatto di applicarlo ad un punto che non sia il centro di massa cambiasse qualcosa perchè una parte dell'energia verrebbe "spesa" per farlo andare in moto circolare.
Non è un problema di primaria importanza, ma mi piacerebbe capire dove sta l'inghippo logico
"qwerty90":
[quote="alde90"]
Punto f: Ecco, qui ho capito il discorso del prodotto vettoriale (la variazione del momento angolare del sistema è uguale al momento della forza applicato nel punto), però non ho capito bene come ha trovato il risultato numerico. Fermo restando che la formula sia giusta [tex]a\times b=|a||b|\sin \theta_{0}[/tex], il mio professore ha usato il coseno.
Ora, altra domanda: il prodotto vettoriale è uguale anche se i punti di origine dei due vettori non coincidono? Se supponiamo di si, allora la fomula corretta sarebbe stata [tex]L J_{0} \sin (\pi - (\frac{\pi}{2}-\theta_{0}))[/tex], o sbaglio?
Sbagli. Lo sai perchè il tuo prof ha usato il coseno? Certo, poteva scegliere lettere diverse per il momento angolare e la lunghezza.
Come hai detto correttamente, è presente un prodotto vettoriale.
Tu devi moltiplicare l'impulso $J_0$ al lato perpendicolare a cui è applicato l'impulso. Questo lato perpendicolare lo ottieni (guardando la figura) moltiplicando la lunghezza per il coseno dell'angolo. Se moltiplicavi per il seno, il momento era nullo in quanto braccio e forza sono paralleli.
[/quote]
guarda, in realtà è correttto, perchè [tex]\sin (\pi - (\frac{\pi}{2}-\theta_{0}))[/tex] fa proprio [tex]\cos \theta[/tex]
il ragionamento che ho fatto era corretto, e ti spiego perchè: se facciamo partire [tex]J_{0}[/tex] da [tex]m[/tex], abbiamo che l'angolo compreso tra i due è esattamente [tex](\pi - (\frac{\pi}{2}-\theta_{0}))[/tex].
Ciononostante, tu dici che devo moltiplicare l'impulso per il raggio perpendicolare (il braccio) ad esso? Cioè nel nostro caso la distanza di [tex]m[/tex] dall'asse [tex]y[/tex], no? Però questo funziona bene solo nel caso in cui abbiamo l'impulso parallelo ad uno degli assi, no?
Ah, un'altra cosa: in questa maniera non sto facendo il prodotto vettoriale [tex]J_{0}\wedge r_{m}[/tex], ovvero il contrario di quello che voglio fare? Mi è balzato in mente questo, vorrei proprio essere tranquillo nell'avere capito
Comunque, come nota personale: moltiplicare l'impulso per il braccio (ovvero la distanza dall'asse y, in questo caso, perchè è perpendicolare ad esso). Quindi moltiplicare l'impulso per la distanza del punto di applicazione dell'impulso dalla retta perpendicolare all'impulso passante per l'origine (scusate le ripetizioni
)Ecco, questo è un punto che ancora non mi è chiarissimo
"qwerty90":
[quote="alde90"]
Punto g: la prima formula è banale, ma qualcuno mi può spiegare la seconda? Non ho la minima idea di quel che viene fuori e perchè
La seconda formula la ottieni calcolando il centro di massa. Lo sai calcolare il centro di massa di un sistema?
Basta porre l'origine del sistema di riferimento in una delle masse e poi applicare la definizione di centro di massa.
[/quote]
hai ragione, bastava semplicemente fare i calcoli
ho una domanda però: perchè si moltiplica per l'impulso e non per la sua proiezione nella parte perpendicolare rispetto al raggio della massa? Cioè, l'impulso non è applicato in maniera perpendicolare all'asta, non dovrebbe quindi risultare "attenuato"? Se non mi sono spiegato bene ditemelo che vi faccio un'immagine di quello che ho in testa"qwerty90":
[quote="alde90"]
Punto h: per calcolare il momento d'inerzia, dobbiamo capire intorno a cosa gira. Supponendo che giri intorno al centro di massa, si ha che il momento d'inerzia (poichè è discreto, calcolato come [tex]\sum_{i}m_{i}(x_{i}^2+y_{i}^2)[/tex]) vale:
[tex]r_{CM}=\frac{mL}{M+m}[/tex]
[tex]I_{CM,z}=M(r_{CM}-0)^2+m(r_{CM}-L)^2[/tex]
cioè si va a valutare la distanza dal centro di massa e la si moltiplica per la rispettiva massa. Sviluppando,
[tex]I_{CM,z}=M(\frac{mL}{M+m})^2+m(\frac{mL}{M+m}-L)^2=M(\frac{mL}{M+m})^2+m(\frac{mL-L(M+m)}{M+m})^2=M(\frac{mL}{M+m})^2+m(\frac{-LM)}{M+m})^2=\frac{Mm^2L^2}{(M+m)^2}+\frac{mM^2L^2}{(M+m)^2}=\frac{mM(m+M)}{(m+M)^2})L^2=\frac{mM}{m+M})L^2[/tex]
Sapendo che [tex]L_{CM}(t)=I_{CM,z}\omega(t)[/tex], basta sostituire (numericamente) per avere la soluzione.
Se qualcuno mi spiegasse la soluzione che mi da il profe ([tex]\frac{J_{0}\cos\theta}{Lm}[/tex]), io non la capisco.
Dal punto g) ricavi che il momento angolare è:
$L =(ML/(M+m)) * J_0$
ma $L = I*omega$
nel punto i) si evince che $I= ((m*M) /[(M+m))*L^2$
$omega = L/I = [J_0 * cos(theta)]/(L*m)$
[/quote]
perdonami, ma questi passaggi proprio non mi sono chiari:
Se
$L_0 =(ML/(M+m)) * J_0$
e anche $L_0 = I*omega$
e $I= ((m*M) /[(M+m))*L^2$,
allora [tex]\omega = L_0/I = \frac{ML}{M+m}J_{0}*\frac{m+M}{mM L^2}=\frac{J_{0}}{mL}[/tex], cioè non riesco a capire cosa c'entra il coseno.
grazie infinite
scusate se rompo, ma sono terrorizzato di dover portare fisica a febbraio gentilmente, qualcuno può controllare gli ultimi dubbi rimasti? Grazie in anticipo!
gentilmente, qualcuno può controllare gli ultimi dubbi rimasti? Grazie in anticipo!
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