Problema - Riflessione sulla Relatività Ristretta
Salve a tutti, avrei un problemino (a mio parere molto istruttivo) da sottoporre alla vostra attenzione.
Consideriamo un sistema di riferimento monometrico ortogonale Oxyz. Lungo l'asse z facciamo scorrere un flusso discreto di elettroni (un piano perpendicolare all'asse z è attraversato da N elettroni ogni secondo).
Adesso poniamoci in un punto di coordinate (x,0,0), sull'asse x quindi.
Il sistema di riferimento scelto è caratterizzato sia da un campo elettrico (ci sono delle cariche, gli elettroni), sia da un campo magnetico (gli elettroni sono in movimento). Poniamo una carica di prova nel punto (x,0,0). Questa carica di prova è statica. Quindi non risente della forza di Lorentz. Ma risente della presenza del campo elettrico, quindi sarà attratta verso l'origine del sistema di riferimento (del resto finora è un problema analogo al campo elettrico generato da un filo).
Adesso arriva il bello: cosa succede se invece di un sistema di riferimento fisso, utilizziamo un sistema di riferimento in moto (rispetto a quello fisso) e avente la stessa velocità (direzione, verso e intensità) degli elettroni? Cosa succede alla stessa, ipotetica carica di prova posta nel punto (x,0,0)? Nel nuovo sistema di riferimento, gli elettroni si muovono solidali ad esso, quindi non c'è movimento di carica. Niente campo magnetico. Il campo elettrico c'è, evidentemente, ma la domanda è... la forza a cui è sottoposta la carica di prova è la stessa del sistema di riferimento in quiete? La domanda nasce da questa considerazione: il campo elettrico generato da una distribuzione lineare di carica, dipende dalla densità lineare di carica. Ma questa, per l'appunto, in un sistema in moto varia, poichè interviene la restrizione relativistica delle lunghezze! Allora... come si esce dal problema? E' possibile ancora applicare la famosa $F=q*E$ per trovare la forza agente sulla carica?
E poi... domanda più filosofica: è possibile che la forza agente su di un corpo dipenda dal sistema di riferimento in cui il suo stato viene considerato?
Vi ringrazio per l'attenzione.
Saluti Spaziali
Fabio
Consideriamo un sistema di riferimento monometrico ortogonale Oxyz. Lungo l'asse z facciamo scorrere un flusso discreto di elettroni (un piano perpendicolare all'asse z è attraversato da N elettroni ogni secondo).
Adesso poniamoci in un punto di coordinate (x,0,0), sull'asse x quindi.
Il sistema di riferimento scelto è caratterizzato sia da un campo elettrico (ci sono delle cariche, gli elettroni), sia da un campo magnetico (gli elettroni sono in movimento). Poniamo una carica di prova nel punto (x,0,0). Questa carica di prova è statica. Quindi non risente della forza di Lorentz. Ma risente della presenza del campo elettrico, quindi sarà attratta verso l'origine del sistema di riferimento (del resto finora è un problema analogo al campo elettrico generato da un filo).
Adesso arriva il bello: cosa succede se invece di un sistema di riferimento fisso, utilizziamo un sistema di riferimento in moto (rispetto a quello fisso) e avente la stessa velocità (direzione, verso e intensità) degli elettroni? Cosa succede alla stessa, ipotetica carica di prova posta nel punto (x,0,0)? Nel nuovo sistema di riferimento, gli elettroni si muovono solidali ad esso, quindi non c'è movimento di carica. Niente campo magnetico. Il campo elettrico c'è, evidentemente, ma la domanda è... la forza a cui è sottoposta la carica di prova è la stessa del sistema di riferimento in quiete? La domanda nasce da questa considerazione: il campo elettrico generato da una distribuzione lineare di carica, dipende dalla densità lineare di carica. Ma questa, per l'appunto, in un sistema in moto varia, poichè interviene la restrizione relativistica delle lunghezze! Allora... come si esce dal problema? E' possibile ancora applicare la famosa $F=q*E$ per trovare la forza agente sulla carica?
E poi... domanda più filosofica: è possibile che la forza agente su di un corpo dipenda dal sistema di riferimento in cui il suo stato viene considerato?
Vi ringrazio per l'attenzione.
Saluti Spaziali
Fabio
Risposte
Il problema posto è per me assai interessante poichè mi risveglia in mente il ricordo dell'esame scritto di Fisca II. Dal momento che esso risale a trentacinque anni fà [gulp!... 
] si tratta di un ricordo assai 'annebbiato' e spero che vogliate perdonarmi se qualche tassello non è a posto. Lo scritto in questione richiedeva di trovare le condizioni alle quali un fascio omogeneo di elettroni aventi tutti lo stesso vettore velocità $v$ non 'diverge', ossia la distanza tra gli elettroni rimane costante nel tempo. Eseguendo i conti ho trovato la possibile 'soluzione' al problema, solo che questa mi lasciava assai 'titubante'. Alla fine ho deciso che tra rinunciare e rischiare di dare una solzione errata la seconda alternativa era preferibile e quindi consegnavo lo scritto facendo i debiti scongiuri. Il motivo per il quale ero stato 'esitante' era il seguente: la condizione da me trovata per la quale il fascio non divergeva era che fosse $|v|=c$, ove con $c$ si intende la velocità della luce nel vuoto [!...]. Tornato in collegio subito mi mettevo in contatto con un quart'anno di fisica ritenuto universalmente un autentico 'genio' e questi subito mi ha 'tranquilizzato' dicendomi non solo che la mia soluzione era 'esatta', ma aggiungendo che lo stesso problema era stato risolto per la prima volta da Einstein [ 
!!...] quando muoveva i primi passi verso la Relatività. Quando sono tornato per l'orale ho scoperto che ero stato l'unico in quella sessione di esami a passare lo scritto. Inutile dire che certi ricordi legati a un certo periodo della vita sono quanto di più bello ci portiamo dietro... 
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
] si tratta di un ricordo assai 'annebbiato' e spero che vogliate perdonarmi se qualche tassello non è a posto. Lo scritto in questione richiedeva di trovare le condizioni alle quali un fascio omogeneo di elettroni aventi tutti lo stesso vettore velocità $v$ non 'diverge', ossia la distanza tra gli elettroni rimane costante nel tempo. Eseguendo i conti ho trovato la possibile 'soluzione' al problema, solo che questa mi lasciava assai 'titubante'. Alla fine ho deciso che tra rinunciare e rischiare di dare una solzione errata la seconda alternativa era preferibile e quindi consegnavo lo scritto facendo i debiti scongiuri. Il motivo per il quale ero stato 'esitante' era il seguente: la condizione da me trovata per la quale il fascio non divergeva era che fosse $|v|=c$, ove con $c$ si intende la velocità della luce nel vuoto [!...]. Tornato in collegio subito mi mettevo in contatto con un quart'anno di fisica ritenuto universalmente un autentico 'genio' e questi subito mi ha 'tranquilizzato' dicendomi non solo che la mia soluzione era 'esatta', ma aggiungendo che lo stesso problema era stato risolto per la prima volta da Einstein [ !!...] quando muoveva i primi passi verso la Relatività. Quando sono tornato per l'orale ho scoperto che ero stato l'unico in quella sessione di esami a passare lo scritto. Inutile dire che certi ricordi legati a un certo periodo della vita sono quanto di più bello ci portiamo dietro... cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
E un aiutino per il mio problema...? 
Fabio
Fabio
Nella mia ingenuità un 'aiutino' mi illudevo di averlo dato... Se infatti è 'giusto' il mio esame scritto di Fisica II di trentacinque anni fà, questo significa che un fascio di elettroni che mantiene 'inalterata' la sua compattezza nel tempo è da considerarsi 'irreale' in quanto gli elettroni che lo compongono dovrebbero viaggiare alla velocità della luce, il che è in contrasto con la Relatività ristretta... o almeno così mi pare... 
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Qualitativamente, ci si convince subito che un fascio di elettroni non può in generale mantenersi collimato nel vuoto a causa della repulsione elettrica. Dovrei invece pensarci sopra un po', e magari ripassare qualcosa, per convincermi che se la velocità è c il fascio si mantiene. Così, su due piedi, non mi viene un'idea precisa di cosa significhi scrivere le equazioni del moto di particelle con massa che si muovono alla velocità della luce.
Per tornare al tuo problema, supponendo di avere il fascio di elettroni mantenuto in qualche modo (per esempio in un conduttore), se il sistema è solidale con le cariche in movimento e la carica di prova è sempre la stessa, questa non è più a riposo nel sistema. Per semplificare, puoi ricondurti al caso del campo della singola carica in moto uniforme, che trovi esposto nella maggior parte dei testi di elettromagnetismo classico, per esempio il Jackson o, meno chiaramente, qui. Ricorda che in SR il campo si trasforma come un tensore, ed è quindi naturale una trasformazione possa far comparire termini di campo elettrico o magnetico.
Per tornare al tuo problema, supponendo di avere il fascio di elettroni mantenuto in qualche modo (per esempio in un conduttore), se il sistema è solidale con le cariche in movimento e la carica di prova è sempre la stessa, questa non è più a riposo nel sistema. Per semplificare, puoi ricondurti al caso del campo della singola carica in moto uniforme, che trovi esposto nella maggior parte dei testi di elettromagnetismo classico, per esempio il Jackson o, meno chiaramente, qui. Ricorda che in SR il campo si trasforma come un tensore, ed è quindi naturale una trasformazione possa far comparire termini di campo elettrico o magnetico.
Grazie a entrambi dell'aiuto!
Alla fine ho ricavato che $F'=F/gamma$ ...
Bellissima la relatività...
Fabio
Alla fine ho ricavato che $F'=F/gamma$ ...
Bellissima la relatività...
Fabio
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