Problema Ricerca Punti di Equilibrio
Buonasera, ho l'equazione differenziale : $ddot x$ \(\displaystyle = f(x) = -2Ω^2senxcosx + ω^2 \)
e devo trovare le configurazioni di equilibrio e determinarne la stabilità.
Mi sembra che sia il caso di una biforcazione tangente ma faccio fatica ad arrivare al diagramma di biforcazione.
Io ho proceduto così:
ho riscritto l'equazione come : $ddot x$ \(\displaystyle = f(x) = -Ω^2sen(2x) + ω^2 \)
dopodichè ho ricercato gli equilibri imponendo f(x) = 0
da cui ottengo : \(\displaystyle x = (arcsen( ω^2/Ω^2 ))/2 ; x = π - (arcsen( ω^2/Ω^2 ))/2 \)
con la condizione di esistenza : \(\displaystyle ω^2/Ω^2 < 1 \)
a questo punto devo determinare la stabilità tramite la matrice :
$A = $$((0,1),(f'(x),0))$ con f'(x) calcolato nei punti di equilibrio, solo che con quei 2 punti li vado in difficoltà!
mi viene \(\displaystyle f'(x) = -2Ω^2(1 - 2(senx)^2) \) e poi non so se far un cambio di variabile e considerare t = 2x che mi semplificherebbe la vita (ma che poi mi da che sono entrambi instabili le 2 configurazioni e quindi un diagramma di biforcazione sbagliato) o se devo andare avanti con la x trovata e come farlo!
Se qualcuno mi può aiutare sarebbe veramente gentile!
e devo trovare le configurazioni di equilibrio e determinarne la stabilità.
Mi sembra che sia il caso di una biforcazione tangente ma faccio fatica ad arrivare al diagramma di biforcazione.
Io ho proceduto così:
ho riscritto l'equazione come : $ddot x$ \(\displaystyle = f(x) = -Ω^2sen(2x) + ω^2 \)
dopodichè ho ricercato gli equilibri imponendo f(x) = 0
da cui ottengo : \(\displaystyle x = (arcsen( ω^2/Ω^2 ))/2 ; x = π - (arcsen( ω^2/Ω^2 ))/2 \)
con la condizione di esistenza : \(\displaystyle ω^2/Ω^2 < 1 \)
a questo punto devo determinare la stabilità tramite la matrice :
$A = $$((0,1),(f'(x),0))$ con f'(x) calcolato nei punti di equilibrio, solo che con quei 2 punti li vado in difficoltà!
mi viene \(\displaystyle f'(x) = -2Ω^2(1 - 2(senx)^2) \) e poi non so se far un cambio di variabile e considerare t = 2x che mi semplificherebbe la vita (ma che poi mi da che sono entrambi instabili le 2 configurazioni e quindi un diagramma di biforcazione sbagliato) o se devo andare avanti con la x trovata e come farlo!
Se qualcuno mi può aiutare sarebbe veramente gentile!
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